2.3常用的离散型分布

定理2.4(泊松定理) 在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为 pn(注意这与试验的次数n有关), 如果n→∞时, npn→λ (λ>0为常 数), 则对任意给定的k, 有
λk e−λ . limb(k; n, pn ) = n →∞
k!
(2.63)
说明 由该定理, 我们可以将二项分布用泊松分布来近似: 当二 项分布b(n, p)的参数n很大, 而p很小时, 可以将它用参数为 λ=np的泊松分布来近似, 即有
P{0 ≤ X ≤ 2} = ∑ P{X = k} = ∑ b(k; 800, 500)
k =0
2
2
2
k =0
4k e−4 = e−4(1+ 4 +16) ≈ 0.2381 , ≈∑ k =0 k! 2!
从而
P{X>2} =1−P{0≤X≤2} ≈1−0.2381=0.7619.
说明 在一次试验中, 观察A是否发生, 记A发生的次数为X, 则X 要么取值为1, 要么取值为0, 于是X服从参数为p的0−1分布.
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值, 且其概率分布为 P{X = xi} = 1 , i=1, 2, ⋅⋅⋅ , n, n 则称 X 服从 n 个点{x1, x2, ⋅⋅⋅ , xn}上的均匀分布.
五、几何分布
几何分布 如果随机变量X的概率分布为 P{X=k}=q k−1p, k=1, 2, ⋅⋅⋅ , (2.50) 其中q=1−p, 则称随机变量X服从参数为p的几何分布, 记为 X~g(k, p). 几何分布的期望和方差
EX = 1 , p q DX = 2 . p
(2.51)
(2.53)
p = q ∑ q j −1 p = qm ,
m j =1
∞
Байду номын сангаас
同理, 有 P{X>m+n}=qm+n, P{X>n}=qn. 于是得
qm+ n n P{X > m + n| X > m}= m = q = P{X > n} . q
说明 式(2.54)通常称为几何分布的无记忆性, 意指几何分布对 过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了.
§2.3 常用的离散型分布
一、退化分布 二、两点分布 三、n个点上的均匀分布 四、二项分布 五、几何分布 六、超几何分布 七、泊松(Poisson)分布
一、退化分布
退化分布 一个随机变量X以概率1取某一常数, 即 P{X=a}=1, 则称X服从a处的退化分布. 说明 由定理2.3的推论3知, X服从退化分布的充要条件是 DX=0. 且若X服从a处的退化分布, 则EX=a. 退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定 的, 即这样的随机变量退化成了一个确定的常数.
k =0
k!
七、泊松分布
泊松分布(Poisson) 如果一个随机变量X的概率分布为
k! 其中λ>0为参数, 则称X服从参数为λ的泊松分布, 记作X~P(λ).
λk e−λ , k=0, 1, 2, ⋅⋅⋅, P{X = k} =
(2.60)
泊松分布的期望和方差 EX =λ, DX=λ. (2.61) (2.62)
(2.42)
n个点上的均匀分布的期望和方差
n 1 ∑ x =def= x , EX = i = n i =1 n 1 ∑( x − x )2 . DX = n i =1 i
(2.43)
(2.44)
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值, 且其概率分布为 P{X = xi} = 1 , i=1, 2, ⋅⋅⋅ , n, n 则称 X 服从 n 个点{x1, x2, ⋅⋅⋅ , xn}上的均匀分布.
λk e−λ , k=0, 1, 2, ⋅⋅⋅, P{X = k} =
(2.60)
泊松分布的期望和方差 EX =λ, DX=λ. 提示
∞ ∞ λk e−λ = λ ∑ λk −1 e−λ = λ ∑ λk e−λ = λ . EX = ∑ k k =0 ∞
(2.61) (2.62)
k!
k =1
(k −1)!
四、二项分布
二项分布
如果一个随机变量 X 的概率分布为 P{X = k}= Ck pk (1− p)n−k , k=0, 1, 2, ⋅⋅⋅ n. (2.45) n 则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布, 并记作 X~b(n, p), 且记 b(k; n, p) = Ck pk (1− p)n−k . n
说明 电话交换台在一给定时间内收到用户的呼叫次数, 售 票口到达的顾客人数, 保险公司在一给定时期内被索赔的次 数等, 均可近似地用泊松分布来描述.
例2.20 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的 销售量可以用参数为λ=10的泊松分布来描述, 为了以95%以 上的概率保证不脱销, 问商店在月底应存多少件该种商品(设 只在月底进货)？ 解 设该商店每月销售该 由附录的泊松分布表知 14 商品的件数为X, 月底存货为a 10k e−10 ≈ 0.9166 < 0.95 , ∑ k =0 k! 件, 则当X≤a时就不会脱销, 据 15 10k e−10 ≈ 0.9513 > 0.95 . 题意, 要求a使得 ∑ k =0 k! P{X≤a}≥0.95. 于是, 这家商店只要在月底 由于已知X服从参数为λ=10的 保证存货不低于15件就能以 泊松分布, 上式即为 95%以上的概率保证下个月 a k ∑ 10 e−10 ≥ 0.95 , 该种商品不会脱销. k =0 k!
(2.36)
(2.37) . (2.38)
(2.41)
二、两点分布
特殊的两点分布 如果X只取0, 1两个值, 其概率分布为 P{X=1}=p, P{X=0}=1−p, 0<p<1. (2.39) 则称X服从参数为p的0−1分布, 也称X是参数为p的伯努利随机 变量. 此时 EX=p, DX=p(1−p). = , = (1− ). (2.40)
以(2.55)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布. 超几何分布的期望和方差
N1 EX = n⋅ , N N N D( X ) = n⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ N − n . N N N −1
(2.58)
(2.59)
七、泊松分布
泊松分布(Poisson) 如果一个随机变量X的概率分布为
k! 其中λ>0为参数, 则称X服从参数为λ的泊松分布, 记作X~P(λ).
二项分布的期望和方差 设X~b(n, p), 则 EX=np, DX=npq, 其中q=1−p.
(2.47) (2.49)
例2.18 一个袋子中装有N个球, 其中N1个白球, N2个黑球 (N1+N2=N)每次从中任取一球, 查看完其颜色后再放回去, 一 共取n次, 求取到的白球数X的分布. 解 每次取球看成是一次试验, n次取球看成是n重伯努利 试验. N N 取到白球的概率为 p = 1 , 故 X ~ b(n, 1 ) , 其分布为 N N k N1 k N 2 n − k P{X = k}= Cn ( ) ( ) , 0≤k≤n. (2.46) N N
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值, 且其概率分布为 P{X = xi} = 1 , i=1, 2, ⋅⋅⋅ , n, n 则称 X 服从 n 个点{x1, x2, ⋅⋅⋅ , xn}上的均匀分布.
(2.42)
说明 设 X 表示投掷一枚均匀的骰子出现的点数, 此时Ω={1, 2,
⋅⋅⋅ , 6}, 令 X(ω)=ω, ω∈Ω, 则 X 服从{1, 2, ⋅⋅⋅ , 6}上的均匀分布.
说明 设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 事件A发生的 概率为p(0<p<1), 则X~b(n, p).
四、二项分布
二项分布
如果一个随机变量 X 的概率分布为 P{X = k}= Ck pk (1− p)n−k , k=0, 1, 2, ⋅⋅⋅ n. (2.45) n 则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布, 并记作 X~b(n, p), 且记 b(k; n, p) = Ck pk (1− p)n−k . n
(2.42)
说明 在古典概型中, 试验共有 n 个不同的可能结果, 且每个结 果出现的可能性相同, 设Ω={ω1, ω2, ⋅⋅⋅, ωn ), 则 P{ωi} = 1 (i=1, 2, n ⋅⋅⋅ , n). 如果随机变量 X 是Ω上的一一对应的函数, 那么 X 便服 从均匀分布.
三、n个点上的均匀分布
例2.19 设X服从几何分布, 则对任何两个正整数m, n, 有 P{X>m+n|X>m}=P{X>n}. (2.54)
由 P{X > m + n | X > m} = P{X > m + n} , 据(2.50)知 证明 P{X > m}
P{X > m} = ∑ q
k = m +1 ∞ k −1
六、超几何分布
超几何分布 一个袋子中共装有N个球, 其中N1个白球, N2个黑球, 从中 不放回地抽取n个球, X表示取到白球的数目, 那么X的分布为
Ck 1Cn−2k P{X = k} = N n N , 0 ≤k≤n. CN (2.55)
以(2.55)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布. 在实际中, 当N很大时, 且N1和N2均较大, 而n相对很小时, 通常将不放回近似地当作放回来处理, 从而用二项分布作为 超几何分布的近似, 即
(np)k −np b(k; n, p) ≈ e . k! (2.64)
例2.21 纺织厂女工照顾800个纺锭, 每一纺锭在某一短时 间内发生断头的概率为0.005(设短时间内最多只发生一次断 头). 求在这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率. 解 设X为800个纺锭在该段时间内发生的断头次数. 则 X~b(800, 0.005), 它可近似于参数为λ=800×0.005=4的泊松分 布, 从而有
五、几何分布
几何分布 如果随机变量X的概率分布为 P{X=k}=q k−1p, k=1, 2, ⋅⋅⋅ , (2.50) 其中q=1−p, 则称随机变量X服从参数为p的几何分布, 记为 X~g(k, p).
说明 在独立重复试验中, 事件A发生的概率为p, 设X为直到A 发生为止所进行的试验的次数, 则X~g(k, p).
Ck 1Cn−2k N N N N ≈ Ck ( 1 ) k ( 2 ) n − k . n Cn N N N (2.56)
六、超几何分布
超几何分布 一个袋子中共装有N个球, 其中N1个白球, N2个黑球, 从中 不放回地抽取n个球, X表示取到白球的数目, 那么X的分布为
Ck 1Cn−2k P{X = k} = N n N , 0 ≤k≤n. CN (2.55)
二、两点分布
两点分布 一个随机变量只有两个可能取值, 设其分布为 P{X=x1}=p, P{X=x2}=1−p, 0<p<1, 则称X服从x1, x2处参数为p的两点分布. 两点分布的期望和方差 EX=px1+ − 2, = +(1−p)x DX=p(1−p)(x1−x2)2 . 说明 设 P(A)=p, P( A)=1−p, 则随机变量 x1, ω ∈ A(即A发生), X (ω ) = x2, ω ∈ A (即A不发生), 便服从 x1, x2 处参数为 p 的两点分布.