基于二次B样条的广义差分法
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ＱＩ Ｄａ — ａ Ｆ Ｎ ｎ ｄ ｎ， ＥＮＧ ｅ Ｚ Ｘｕ ， ＵＯ Ｐｉｇ ｎ
（ ｎ ａ Ｆｕ ｄ ｍｅ ｔ ｌＤｅ ａ ｔ ｅ ｔ ｎ ａ ｐ ｒｍ ｎ ，Ａｖ ａ ｉ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｒ Ｆ ｃ ，Ｃｈａ ｇ ｈ ｎ １ ０ ２ ｉｔｏ ｉ ｅ ｓｔ ｆＡｉ ｏｒ ｅ ｎ ｃ ｕ ３ ０ ２，Ｃｈ ｎ ） ｉａ
（ ） １ （ ） ０ ｉ ～ ２ ， 右 端 点 处 满 。 一 ， ｏ 一 （ ≠ ）在
１ ） １ （ 一 Ｏ ｉ － － １ 。 （ 一 ， ， ） （￣ ｎ ）
∈ ［ ，］ ０ １
一
。
足
一 一
！ 一妄 ， ∈ ［ ，］ ＋３ １２
（ 一 ３ ｚ ）， ｚ∈ ［ ， ］ ２ ３
则 数 组 ｛ （ ） 为区 间［ ，］ 以 ｛ ｝ －｝ 『 “６上 为节 点 的
二 次样 条 的一组 基 。
为方便 处理 边 值 条 件 ， 前 两 个 函 数 换成 线 将
（ 一去 ％）一 （ 一 ） 去 （）一 ２＝ 吾 Ｃ ｎ
ｉ一 ０， … ， 一 ３ １， ”
ｂ ｓ ｄ ｇｅ ｅ ａ ｉｅ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｍｅ ｈ ａ ｅ ｏｎｄ ｏｒ ｅ ｏｎ ｅ ｇｅ ｅ ｐ ｅ ｉｉ ｎ ａ ｅ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｔ ｏｄ ｈ ｓ ｓ ｃ — ｄ ｒ ｃ ｖ ｒ ｎｃ ｒ ｃｓ ｏ ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ：Ｂ ｐ ｉ ｄ ｓ ｌｎｅ；ｇｅ ｒ ｌｚ ｄ ｄｉｆ ｒ ｎｃ ｅ ｈｏ ｎｅ ａ ｉ ｅ ｆ ｅ ｅ ｅ ｍ ｔ ｄ；Ｈ ｓ ｍｉｎ ｍ ；Ｌ ｎ ｍ． ｅ — ｏｒ ｏｒ
点： ， 和 ， ， 邻 节 点 间 的 距 离 相
在 网格 节点 处取 值非 零 的导数 有
， ］ ， 。
（）一 ￣一 去 ２ ２ １
（ ）一 １
构 造 基 函 数 ，
一
Ｓ ） （
ｉ一 一 ２，一 １， ， ～ １ …
基 于二 次 Ｂ样 条 的广 义 差 分 法
秦 丹 丹 ， 冯 雪 ， 左 平
（ 军 航 空 大 学 基 础 部 ， 林 长 春 １０ ２ ） 空 吉 ３ ０ ２
摘 要 ：构 造 了基 于二次 Ｂ样 条 的广 义 差分 格 式 ， 利用 该格 式求 解 二 阶常微 分方程 ， 并 通过 数 值试验 分 析差 分解 的收 敛性 ： Ｈ 半 范数 和 Ｌ 在 。范数 下 ， 次 Ｂ样 条 广 义 差分 法均 具 有 ２阶 二
收敛 精度 。
关 键词 ： Ｂ样 条 ； 义 差分 法 ；Ｈ 半 范数 ；Ｌ 广 。范数 中图分 类号 ： ４ ０２ １ 文献 标 志码 ： Ａ 文 章编 号 ：１ ７— ３ ４ ２ １ ）３０ ０ —３ ６ ４１ ７ （ ０ １ ０ —３ ３０
Ｇｅ ｅｒ ｅ ｆ ｅ ｃ ｅ ｈ ａ ｅｄ ｏ ｕ ｄｒ ｔｃ Ｂ— ｐｌ ｅ ｎ ａｌ ｄ ｄｉ ｅｒ ｎ ｅ ｍ ｔ ｏｄ ｂ ｓ ｎ ｑ ａ ａ ｉ ｓ ｉ ｚ ｆ ｉ ｎ
“ ） ｉ（ ｒ ） （ 一ｓｎ ２ｒ 。用 “ （ 表 示 数 值 解 ， 义 数 ｘ ） 定 值 解在 Ｈ 半模 和 Ｌ 模 下 的误差 ：
ｅｒｒ ｒｏ １一 ｌ （ 一 “ （ 甜 ） ＾ ）｝ ｌ
ｅｒｒ “ ｚ） Ｍ （ ｌ ｒｏ２＝ （ 一 ＾ ）ｌ 误 差 ｅｒｒ ｒｏｌ对 应 的 收 敛 阶 记 为 ｏ ｄ ｒ ， 差 ｒ ｅ１ 误
。
在 已知二 阶常 微 分 方 程 中， “一０ ｂ ｌ 令 ，— ， 一０ ／（７ ＝ ４ ｉ ２ ） ， ｏ） ２ ｘｓ ｎ（ 。此 问 题 的 精 确 解 为
一 － ）＋ 。． （ ｒ
（ 工 ）。 同理 ， 以计 算 出位 函数 在 节 点 处 可
通 过研 究学 习 ， 们 发现 二 次 Ｂ样 条 广 义 差 我
“（ “） 一 ０
进一 步 应用分 部 积 分 公 式 ， 合 边 值 条 件 就 得 到 结 微分 方 程 的积 分 守 恒 形 式 如 下 ， “ ∈Ｕ 使 求
得
Ⅱ＜ ＜ ｂ
Ｉ（）一 ０ “６
其 【 ， ∈ ｃ ） ｐ ０ ， ｛ １ （ ， ≥ ， ∈Ｃ（ ） Ｊ Ⅱ ６ 。 ， ， 一［ ，］
第３ ２卷 第 ３期
长 春 工 业 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＣｈ ｎ ｃ ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ（ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ａ ｇ ｈ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｙ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ） ｉ
样 条 的广义 差分 法 。Ｂ样条 函数 具 有很 多 优 良性 质 ， ： 明确 的表 达 式 ， 有有 限支 集 、 称性 和 如 有 具 对
１ Ｂ样 条 函数
； 阶 Ｂ样 条 函数 Ｓ （ ） ９ ／ － － ［ 义 如下 ： ， １ 定
Ｓ（ ）＝ （ ，ｌ １ （ Ｓ 一 ＊Ｓ ） ）一 ｌＳ （ — ） ｔ 一１ — ｆｄ 其 中 Ｓ （ 为 Ｅ ， ］ 的 特 征 函数 。值 得 注 意 的 ） ｏ １ 上
ｅｓ ｌｅ
试 探 函数 空 间 Ｕ 取 为满 足 边 值 条件 的 二 次 Ｂ样 条有 限元 空 间 。由于 文 中考 虑 的是零 边 值 问
题 ， 以任一 ∈ 所 可 以表示成
０，
“ 一∑ｃ ） （ （）
式 中 ： Ｃ —— 待定 系数 ；
然， ， ”阶 Ｂ样条是 分 段 一 １次多 项式 ， 且
．
（ 一 ＋ｆ ） “ ） ． 厂 （
√ ｒ
ｌ
ｄ—ｒ ／ ’ ｄ
Ｊ Ｊ １
Ｊ— ｌ ２， ， ， …
对区 间［ ，］ “ ６ 进行 均匀 剖 分 ， 网格 节点 为 “ 一 ０ ＜ … ＜ ＿ ６ 且 在 区问 ［ ，］ 分 别 扩充 ． ｎ６外
∈
为： 求 ∈ ， 使得
ａ（ ， ）＝ （ ） “ － 厂，
Ｊ— ｌ ２， ， ， …
Ｂ样 条性 质 的证 明详见 文献 ［ — ］ ２３。
２ 基 于 Ｂ样 条 的广 义 差 分 法
考 虑二 阶 常微分 方程 ：
ｆ Ｍ 一一 “ ＋ “ ＝ ／， Ｌ ’
０ 引 言
广义 差 分 法 从 微 分 方 程 的 积 分 守 恒 形 式 出 发 ， 过选 取试探 函数空 间为 有 限元 子 空 间 ， 通 检验 函数空 问 为相应 于对 偶剖 分 的分段 低次 多项 式 函 数 空 间来 导 出计算 格 式 。文 中介绍 了基 于二 次 Ｂ
ｑ ａ ｄ ｎ ６＠ ｌ ３ Ｃ Ｉ ． ｄ ｎ ａ６ ． Ｏｌ ６ １
３０ Ｏ
长 春 工 业 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
第 ３ ２卷
… 以 上定 义 式 可 以得 到 三 阶 二 次 Ｂ样 条 函 二 数 的 达 ：
１ ｒ：
，
价 的 。改 换 后 的 基 函数 称 为变 形 的 二 次 Ｂ样 条 基 函 数 ， 记 为 ｛ （ ） 。 在 左 端 点 处 满 足 仍 ｝
组 合 ： ｚ、） ） ２ （ ， （ 一 ｚｚ） 同时将 最 ｒ 一 （ 。
后 个 基 函 数 换 成 ： 一 ）一 一 （ ， ｚ（ ｚ）
将这 些值 代 入上式 就 可 以求 出系数
不 同
２
（’。变换前 后基 函数 对 应 的函数 空 间 是等 ）
于一 次元 情形 ， 系数 ｃ 不 是位 函数 于 节点 处 的 函
的导 数值 ， 而求 出误 差与 收敛 阶 。 从 分法 有 以下误 差估 计 ＇ ： ］
Ｉ Ｍ一 “ ≤ ｈ “ｌ ＾ｌ 三Ｃ Ｊ ｌ ３
ｌ ｌ “一 “ ｌ ｃ ｆ ｌ ｌ 。≤ ｈ ｉ 。 “ｌ
具 有 紧史集 ｓ ｐ Ｓ （ ） Ｏ ］ 此 外 ， 阶 Ｂ样 ｕ ｐ － 一［ ， ； ， ｍ
条还 具有 如下性 质 ： １ ｓ ） 以 ＝ 为 对称 轴 的单 峰值 山丘 ） （ 是
状 数 ；
“ — — 自由度 为 ”， 故试 探 函数 空 间 的维 数
为 。
第 ３ 期
秦 丹 丹 ， ： 于 二 次 Ｂ样 条 的 广 义羞 分 法 等 基
３５ ０
数值。 任 对于 意点－ 式“（） ｒ 和 一∑ ｃ Ｃ） ３ 数 值 算 例 ｃ中
一 １
最 多 含 ３个 非零 项 ； 计算 节点 处 函数值 ， 和式 要 则 中最 多 含 两 个 非 零 项 ： （ ）一 ，
对 偶剖 分取 为 “ 。 一ｚ ＜ ＜ …＜ 一『 即对 ） ， 偶 剖分 与原 剖分 相 同。检 验 函数 空 间
为：
取 为 相
２ Ｓ ｊ ｄ ）１ （’ ） ｒ： １ ；
√ Ｋ
应 于对 偶 剖分 的 分 段 常 数 函数 空 间 。检 验 函数
Ｌ
＝
ｒ
３ Ｓ ＋（ ） ｌ ）一 ｆ Ｓ （） ｔ； ｄ
ａ ａ ｙ ｅ ｔ ｍ ｅ ｉａ ｅ ｎ ｌ ｚ ｄ ｗｉｈ ｎｕ ｒｃ ｌ ｘｐｅ ｉ ｅ Ｓ ｕｎ ｒ ｔ Ｈ ｓ ｍ ｉｎ ｍ ａ ｄ ｉ ｒｍ ｎｔ ： ｄｅ ｈｅ ｅ — ｏｒ ｎ ｎ Ｌ。 ｎ ｍ ， ｑｕ ｄ ａ ｉ Ｂ— ｐ ｉ ｏｒ ａ ｒ ｔｃ ｓ ｌｎｅ
１ ）
Ｊ＝ ， … ， ＝ ２， ＝１
，
ｓ， （ ， ． ）一 』 ） （ ＋ １ ） （ ＿５ （ ＋ ［ ～ Ｓ 一 １］ ）
可见， 检验 函数 空 间与试 探 函数空 问维 数相 同 。
因 此 ， 于 二 次 Ｂ 样 条 的 广 义 差 分 格 式 基
５ ∑ Ｓ （ 一是 三 ｌ ） 』 ） 。 ，
Ａｂｓ ｒ ｔ ｔａｃ ：Ｔｈｅ ｇｅ ｒ ｌ ｅ ｉｆ ｒ ｎｃ ｏ ｍａ ｓ ｄ ｏｎ ｑｕ ｄｒ ｔｃ Ｂ— ｐｌｎ ｓ ｂｕ ｌ ｒ ． Ｔｈｅ ｆ ｒ ｔ ｉ ｎｅ ａ ｉ ｄ ｄ ｆ ｅ ｅ ｅ ｆ ｒ ｔ ｂａ ｅ ａ ａ ｉ ｓ ｉ ｅ ｉ ｉｔ ｈｅ ｅ ｚ ｏ ｍａ ｓ ｕｓ ｄ ｔ ｏｌ ｅ ｔ ｅ ｏ ｒ ｒ ｄｉｆ ｒ ｎｔａ ｑｕ ｔｏ ｎｄ ｔ ｅ ｃ ｖ ｒ ｎｃ ｆ ｔ ｆｅ ｅ ｔａ ｏ ｕｔｏｎ ｉ ｅ ｏ ｓ ｖ ｈｅ ｓ ｃ ｎｄ ｏ ｄｅ ｆ ｅ ｅ ｉ ｌｅ ａ ｉ ｎ ａ ｈ ｏｎ ｅ ｇｅ ｅ ｏ ｈｅ ｄｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌｓ ｌ ｉ ｓ
是 Ｂ 样 条 函 数 的 卷 积 定 义 式 有 下 面 的 等 价 形
式［ ：
ｓ 一 一 一
良好 的光滑 性 等 。 因此 ， Ｂ样 条 函数 作 为 试 探 函 数 空间 的基 函数 可 以保 证 系数 矩 阵 的对 称性 、 正 定 型和稀 疏 性 。二 次 Ｂ样 条 广 义 差 分 法 既保 持 了 差分 法 的简单性 ， 又兼具 有 限元 的精确 性 。
收稿 日期 ：２）Ｉｏ ２ （ ，０ ｌ ｉ
杀 ！ ｃ ｌ ～ 。 （ １ 走 。 一） 』
ｍ≥ ２
作 者 简 介 ：秦 丹 丹 （ ２ ， ， 族 ， 龙 江 齐 齐 哈 尔 人 ， 军 航 空 大 学 助 教 ， 士 ， 要 从 事 微 分 方 程 数 值 解 方 向 研 究 ， ｌ １ 一） 女 汉 黑 空 硕 主 Ｅ Ｆａ Ｆ
（ ｎ ａ Ｆｕ ｄ ｍｅ ｔ ｌＤｅ ａ ｔ ｅ ｔ ｎ ａ ｐ ｒｍ ｎ ，Ａｖ ａ ｉ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｒ Ｆ ｃ ，Ｃｈａ ｇ ｈ ｎ １ ０ ２ ｉｔｏ ｉ ｅ ｓｔ ｆＡｉ ｏｒ ｅ ｎ ｃ ｕ ３ ０ ２，Ｃｈ ｎ ） ｉａ
（ ） １ （ ） ０ ｉ ～ ２ ， 右 端 点 处 满 。 一 ， ｏ 一 （ ≠ ）在
１ ） １ （ 一 Ｏ ｉ － － １ 。 （ 一 ， ， ） （￣ ｎ ）
∈ ［ ，］ ０ １
一
。
足
一 一
！ 一妄 ， ∈ ［ ，］ ＋３ １２
（ 一 ３ ｚ ）， ｚ∈ ［ ， ］ ２ ３
则 数 组 ｛ （ ） 为区 间［ ，］ 以 ｛ ｝ －｝ 『 “６上 为节 点 的
二 次样 条 的一组 基 。
为方便 处理 边 值 条 件 ， 前 两 个 函 数 换成 线 将
（ 一去 ％）一 （ 一 ） 去 （）一 ２＝ 吾 Ｃ ｎ
ｉ一 ０， … ， 一 ３ １， ”
ｂ ｓ ｄ ｇｅ ｅ ａ ｉｅ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｍｅ ｈ ａ ｅ ｏｎｄ ｏｒ ｅ ｏｎ ｅ ｇｅ ｅ ｐ ｅ ｉｉ ｎ ａ ｅ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｔ ｏｄ ｈ ｓ ｓ ｃ — ｄ ｒ ｃ ｖ ｒ ｎｃ ｒ ｃｓ ｏ ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ：Ｂ ｐ ｉ ｄ ｓ ｌｎｅ；ｇｅ ｒ ｌｚ ｄ ｄｉｆ ｒ ｎｃ ｅ ｈｏ ｎｅ ａ ｉ ｅ ｆ ｅ ｅ ｅ ｍ ｔ ｄ；Ｈ ｓ ｍｉｎ ｍ ；Ｌ ｎ ｍ． ｅ — ｏｒ ｏｒ
点： ， 和 ， ， 邻 节 点 间 的 距 离 相
在 网格 节点 处取 值非 零 的导数 有
， ］ ， 。
（）一 ￣一 去 ２ ２ １
（ ）一 １
构 造 基 函 数 ，
一
Ｓ ） （
ｉ一 一 ２，一 １， ， ～ １ …
基 于二 次 Ｂ样 条 的广 义 差 分 法
秦 丹 丹 ， 冯 雪 ， 左 平
（ 军 航 空 大 学 基 础 部 ， 林 长 春 １０ ２ ） 空 吉 ３ ０ ２
摘 要 ：构 造 了基 于二次 Ｂ样 条 的广 义 差分 格 式 ， 利用 该格 式求 解 二 阶常微 分方程 ， 并 通过 数 值试验 分 析差 分解 的收 敛性 ： Ｈ 半 范数 和 Ｌ 在 。范数 下 ， 次 Ｂ样 条 广 义 差分 法均 具 有 ２阶 二
收敛 精度 。
关 键词 ： Ｂ样 条 ； 义 差分 法 ；Ｈ 半 范数 ；Ｌ 广 。范数 中图分 类号 ： ４ ０２ １ 文献 标 志码 ： Ａ 文 章编 号 ：１ ７— ３ ４ ２ １ ）３０ ０ —３ ６ ４１ ７ （ ０ １ ０ —３ ３０
Ｇｅ ｅｒ ｅ ｆ ｅ ｃ ｅ ｈ ａ ｅｄ ｏ ｕ ｄｒ ｔｃ Ｂ— ｐｌ ｅ ｎ ａｌ ｄ ｄｉ ｅｒ ｎ ｅ ｍ ｔ ｏｄ ｂ ｓ ｎ ｑ ａ ａ ｉ ｓ ｉ ｚ ｆ ｉ ｎ
“ ） ｉ（ ｒ ） （ 一ｓｎ ２ｒ 。用 “ （ 表 示 数 值 解 ， 义 数 ｘ ） 定 值 解在 Ｈ 半模 和 Ｌ 模 下 的误差 ：
ｅｒｒ ｒｏ １一 ｌ （ 一 “ （ 甜 ） ＾ ）｝ ｌ
ｅｒｒ “ ｚ） Ｍ （ ｌ ｒｏ２＝ （ 一 ＾ ）ｌ 误 差 ｅｒｒ ｒｏｌ对 应 的 收 敛 阶 记 为 ｏ ｄ ｒ ， 差 ｒ ｅ１ 误
。
在 已知二 阶常 微 分 方 程 中， “一０ ｂ ｌ 令 ，— ， 一０ ／（７ ＝ ４ ｉ ２ ） ， ｏ） ２ ｘｓ ｎ（ 。此 问 题 的 精 确 解 为
一 － ）＋ 。． （ ｒ
（ 工 ）。 同理 ， 以计 算 出位 函数 在 节 点 处 可
通 过研 究学 习 ， 们 发现 二 次 Ｂ样 条 广 义 差 我
“（ “） 一 ０
进一 步 应用分 部 积 分 公 式 ， 合 边 值 条 件 就 得 到 结 微分 方 程 的积 分 守 恒 形 式 如 下 ， “ ∈Ｕ 使 求
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Ⅱ＜ ＜ ｂ
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其 【 ， ∈ ｃ ） ｐ ０ ， ｛ １ （ ， ≥ ， ∈Ｃ（ ） Ｊ Ⅱ ６ 。 ， ， 一［ ，］
第３ ２卷 第 ３期
长 春 工 业 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＣｈ ｎ ｃ ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ（ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ａ ｇ ｈ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｙ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ） ｉ
样 条 的广义 差分 法 。Ｂ样条 函数 具 有很 多 优 良性 质 ， ： 明确 的表 达 式 ， 有有 限支 集 、 称性 和 如 有 具 对
１ Ｂ样 条 函数
； 阶 Ｂ样 条 函数 Ｓ （ ） ９ ／ － － ［ 义 如下 ： ， １ 定
Ｓ（ ）＝ （ ，ｌ １ （ Ｓ 一 ＊Ｓ ） ）一 ｌＳ （ — ） ｔ 一１ — ｆｄ 其 中 Ｓ （ 为 Ｅ ， ］ 的 特 征 函数 。值 得 注 意 的 ） ｏ １ 上
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式 中 ： Ｃ —— 待定 系数 ；
然， ， ”阶 Ｂ样条是 分 段 一 １次多 项式 ， 且
．
（ 一 ＋ｆ ） “ ） ． 厂 （
√ ｒ
ｌ
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Ｊ Ｊ １
Ｊ— ｌ ２， ， ， …
对区 间［ ，］ “ ６ 进行 均匀 剖 分 ， 网格 节点 为 “ 一 ０ ＜ … ＜ ＿ ６ 且 在 区问 ［ ，］ 分 别 扩充 ． ｎ６外
∈
为： 求 ∈ ， 使得
ａ（ ， ）＝ （ ） “ － 厂，
Ｊ— ｌ ２， ， ， …
Ｂ样 条性 质 的证 明详见 文献 ［ — ］ ２３。
２ 基 于 Ｂ样 条 的广 义 差 分 法
考 虑二 阶 常微分 方程 ：
ｆ Ｍ 一一 “ ＋ “ ＝ ／， Ｌ ’
０ 引 言
广义 差 分 法 从 微 分 方 程 的 积 分 守 恒 形 式 出 发 ， 过选 取试探 函数空 间为 有 限元 子 空 间 ， 通 检验 函数空 问 为相应 于对 偶剖 分 的分段 低次 多项 式 函 数 空 间来 导 出计算 格 式 。文 中介绍 了基 于二 次 Ｂ
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长 春 工 业 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
第 ３ ２卷
… 以 上定 义 式 可 以得 到 三 阶 二 次 Ｂ样 条 函 二 数 的 达 ：
１ ｒ：
，
价 的 。改 换 后 的 基 函数 称 为变 形 的 二 次 Ｂ样 条 基 函 数 ， 记 为 ｛ （ ） 。 在 左 端 点 处 满 足 仍 ｝
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后 个 基 函 数 换 成 ： 一 ）一 一 （ ， ｚ（ ｚ）
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不 同
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（’。变换前 后基 函数 对 应 的函数 空 间 是等 ）
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的导 数值 ， 而求 出误 差与 收敛 阶 。 从 分法 有 以下误 差估 计 ＇ ： ］
Ｉ Ｍ一 “ ≤ ｈ “ｌ ＾ｌ 三Ｃ Ｊ ｌ ３
ｌ ｌ “一 “ ｌ ｃ ｆ ｌ ｌ 。≤ ｈ ｉ 。 “ｌ
具 有 紧史集 ｓ ｐ Ｓ （ ） Ｏ ］ 此 外 ， 阶 Ｂ样 ｕ ｐ － 一［ ， ； ， ｍ
条还 具有 如下性 质 ： １ ｓ ） 以 ＝ 为 对称 轴 的单 峰值 山丘 ） （ 是
状 数 ；
“ — — 自由度 为 ”， 故试 探 函数 空 间 的维 数
为 。
第 ３ 期
秦 丹 丹 ， ： 于 二 次 Ｂ样 条 的 广 义羞 分 法 等 基
３５ ０
数值。 任 对于 意点－ 式“（） ｒ 和 一∑ ｃ Ｃ） ３ 数 值 算 例 ｃ中
一 １
最 多 含 ３个 非零 项 ； 计算 节点 处 函数值 ， 和式 要 则 中最 多 含 两 个 非 零 项 ： （ ）一 ，
对 偶剖 分取 为 “ 。 一ｚ ＜ ＜ …＜ 一『 即对 ） ， 偶 剖分 与原 剖分 相 同。检 验 函数 空 间
为：
取 为 相
２ Ｓ ｊ ｄ ）１ （’ ） ｒ： １ ；
√ Ｋ
应 于对 偶 剖分 的 分 段 常 数 函数 空 间 。检 验 函数
Ｌ
＝
ｒ
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ａ ａ ｙ ｅ ｔ ｍ ｅ ｉａ ｅ ｎ ｌ ｚ ｄ ｗｉｈ ｎｕ ｒｃ ｌ ｘｐｅ ｉ ｅ Ｓ ｕｎ ｒ ｔ Ｈ ｓ ｍ ｉｎ ｍ ａ ｄ ｉ ｒｍ ｎｔ ： ｄｅ ｈｅ ｅ — ｏｒ ｎ ｎ Ｌ。 ｎ ｍ ， ｑｕ ｄ ａ ｉ Ｂ— ｐ ｉ ｏｒ ａ ｒ ｔｃ ｓ ｌｎｅ
１ ）
Ｊ＝ ， … ， ＝ ２， ＝１
，
ｓ， （ ， ． ）一 』 ） （ ＋ １ ） （ ＿５ （ ＋ ［ ～ Ｓ 一 １］ ）
可见， 检验 函数 空 间与试 探 函数空 问维 数相 同 。
因 此 ， 于 二 次 Ｂ 样 条 的 广 义 差 分 格 式 基
５ ∑ Ｓ （ 一是 三 ｌ ） 』 ） 。 ，
Ａｂｓ ｒ ｔ ｔａｃ ：Ｔｈｅ ｇｅ ｒ ｌ ｅ ｉｆ ｒ ｎｃ ｏ ｍａ ｓ ｄ ｏｎ ｑｕ ｄｒ ｔｃ Ｂ— ｐｌｎ ｓ ｂｕ ｌ ｒ ． Ｔｈｅ ｆ ｒ ｔ ｉ ｎｅ ａ ｉ ｄ ｄ ｆ ｅ ｅ ｅ ｆ ｒ ｔ ｂａ ｅ ａ ａ ｉ ｓ ｉ ｅ ｉ ｉｔ ｈｅ ｅ ｚ ｏ ｍａ ｓ ｕｓ ｄ ｔ ｏｌ ｅ ｔ ｅ ｏ ｒ ｒ ｄｉｆ ｒ ｎｔａ ｑｕ ｔｏ ｎｄ ｔ ｅ ｃ ｖ ｒ ｎｃ ｆ ｔ ｆｅ ｅ ｔａ ｏ ｕｔｏｎ ｉ ｅ ｏ ｓ ｖ ｈｅ ｓ ｃ ｎｄ ｏ ｄｅ ｆ ｅ ｅ ｉ ｌｅ ａ ｉ ｎ ａ ｈ ｏｎ ｅ ｇｅ ｅ ｏ ｈｅ ｄｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌｓ ｌ ｉ ｓ
是 Ｂ 样 条 函 数 的 卷 积 定 义 式 有 下 面 的 等 价 形
式［ ：
ｓ 一 一 一
良好 的光滑 性 等 。 因此 ， Ｂ样 条 函数 作 为 试 探 函 数 空间 的基 函数 可 以保 证 系数 矩 阵 的对 称性 、 正 定 型和稀 疏 性 。二 次 Ｂ样 条 广 义 差 分 法 既保 持 了 差分 法 的简单性 ， 又兼具 有 限元 的精确 性 。
收稿 日期 ：２）Ｉｏ ２ （ ，０ ｌ ｉ
杀 ！ ｃ ｌ ～ 。 （ １ 走 。 一） 』
ｍ≥ ２
作 者 简 介 ：秦 丹 丹 （ ２ ， ， 族 ， 龙 江 齐 齐 哈 尔 人 ， 军 航 空 大 学 助 教 ， 士 ， 要 从 事 微 分 方 程 数 值 解 方 向 研 究 ， ｌ １ 一） 女 汉 黑 空 硕 主 Ｅ Ｆａ Ｆ