关于混合偏导数与求导顺序无关的判定方法的补充——高阶混合偏导数与求导次序的无关性

ＡＣＡＤＥ Ｃ Ｒ Ｓ ＡＲ ｔ 学术 研 究 ＭＩ Ｅ Ｅ Ｃｔ
以据定理２ （ｏ存在 ，且有 （， ＝ （ｏ＝ 。 ，． ０ ） ， ０ ） ０ ） ｏ ‘ ０ ，
”
ｇ ＋ ）ｇ ） 一
”
：
Ｃ ＋ ｌ ＋ ） ｏＯ ， 一
＋。
＋ ， 。
，
在 （， 存 在 ，且 ｉ ｌ ｊ ，） ｒ ） 。 ｍ— ￣ ｉ ｙ ａ ｒ
） ２ 肇 ； ＝ ｘ ：墨 ．４ ｙ ３
Ａ ｘｙ ＇ ２
＿ ＿
证 明：证 明 ：作辅助函数中 ） ， ， ＋ ） ｆｘ ＇ Ｇ ＝ Ｙ 一 （ ３） 。 ， － 。 先暂时 固定ｈ ，且使 ／ ， ＋ ） ｖｐ，） ’ Ｙ ｅ （。 ，这样 （ 是 。 ６ ｐ ） ｘ 的一元函数 ，在 ， ＋】 由拉格 朗 日中值定理 ，有 ： ，上
｛ ’、 ｌ ’’ ， 尚 ，， ０
ｌａ ｉ ｒ 一
十Ｉ ０
，
（ ） １
同理令 ） 厂 。 Ａ ， － （ ，） ： ＋ ｘ ） ｆｘ ．则对于０ ０ ＜ 有 ： ｙ 。ｙ ＜， １ ＋ ） ｈ 。＝ ” ， ＋ 一 （ ） ｏ ｙ 。
＝
一
关 键 词 ：连 续 ； 可微 ；混合 偏 导数
对 于许多二元 函数而言 ，它们 的混合偏导数都是相
ห้องสมุดไป่ตู้
再 固定 ， ，则 。 ０，） 是 Ｙ的一 元 函 数 ，在 ＋， 又 ， ｙ
，
等的 ，但也确实存在着这样的情形 ，当取混合偏导数的
次序不 同时 ，所得结果也不相等 。例如 函数
，
【 。 ，。 一 ＋， ） 【 。 。 ＾ ， 。 。 ＝ Ｇ ＋ Ｙ＋ ） ， ＋． ＋ ） ， 。 ， 。一厂 ， ＋ ） Ｇ， ） ， 。 ０， ｏｙ ｙ Ｙ］ ｙ 一 Ｙ］ ／。
有 Ｇ ＝ ， ，
ｆ
ｘ￣ 。 ｚ０ ： ＋ ｙ ２ ：
（ｏ＝ ， 即 ０） １ ， 及
Ｇ ＋） 。＝ ｐ ｏ ） ｆ 。 Ｙ ＋ ） Ｏ ＋ ＹＷ（＜ ） 。ｆ 一 ）ｈ 。 ，：【 ０，。 ＾ ， ｆ 。 ０，。 ｏ ０ ＜】 ，
厶”
因 …ｌ ｉ ￣ ｉ ． ｍｌ ｍｆ
…
ｌ ｉｉ ｍ ｍｌ。
＇ 所 ０ ）
信 息系 统工 程 Ｉ２ １．．０ １ ７ ０ １６ ４ ２
（） 两边 同除 以ｈ ３式 ，取 极 限让 ｈ ，由已知条 件 一０
， ， 的偏导数存在及 ， ） Ｙ ） （ 连续 ，得 ： ，
。 ， 。 。 。＝ ＋， ） Ｙ一 ， ） Ｙ 。 ｏ， 。 ｆ、 ＋ Ｙ ） ４ ，
又 根 据 定 义 ：就 有 ． （ｏ— ｏ ） １， ， ” ＇ ” ， （（ ０】 ） （） ０ ｏ
但是 ，因为 ，） （ ｏ 时 ，沿直线 船有 ０ ） ，
ｌ ｉ ｍ
＋ ｏ
（ ２）
莆 ｌ ｉ ａ ｒ
ｇ ＋ ）ｇ ） ［ ＋ ｘ 。 ）， ＋ ， ［ ＋ 一 ， ） 一 ＝厂 Ａ， ＋ 一 Ｙ 一厂 Ｙ 。 ， 如）， Ｙ 】 。 Ｇ ＋ｘｙ＋ ） ， … 母） Ｇ ＋ ， ）， 。 。＝ ６。 ） ｈ 。 。 Ｓ， 一 Ｇ Ｙ＋ ｊ 。 Ｙ 一 Ｇ ， ｈ， 。 — 。 Ｙ ＋ 一 ◇）
Ｘ 跺 ２ Ｖ ２
定 理２ ：若 ＿ Ｙ 在点 。 ） 厂 ） ， 的邻域
满足 （ ） ＧＪ １ ， ， ），
｛ ｙ ＝｝ ： 、 、 ｙ
， 定义 ， ）
， ），并 有
｛ ’ Ｉ ’ 南 ，， ０ 、
，
（＾ 在 。 。存 在 ，（ ） （ ｙ ，） ，） Ｙ ２ ） ，
Ａ Ａ Ｍｉ Ｅ Ｅ Ｃ 学 术研 究 Ｃ ＤＥ ｃＲ Ｓ Ａ歉 Ｈ
关 于混合 偏导数 与求导顺序 无 关 的判 定 方法 的补 充
高阶混合偏导数 与求导次序 的无关性
曹 珍
摘要 ：多元 函数 的 混合偏 导数 相等是 有 条件 的 ，现 行许 多教材 中，给 出的混合偏 导数相 等的充分条件是 ：两个混合偏 导数连 续。这 条件 实际上还 可进 一步减弱 ，本文不仅在较弱条件 下证 明 了二元函 数 在 一 点 的二 阶混 合 偏 导数 与 求导 次 序 的 无 关性 。
故 厶 ｏ ｏ 厶 ｏ 。，命题成立 。 （，） Ｘ Ｙ ＝ （， ） ｘＹ
例１ 求下面函数 在原点 的两个混合偏导数
某 领 域 ｕ（ ） 存 在 ，且 在 点 只Ｇ ， ） 续 ， 则 Ｐ０ 内 。。连 Ｙ （ ｙ ＝ （，） ， ） Ｘ Ｙ 。在 实 际 问题 中该 条件 可 减弱 。 由 ０ ｏ 此 给 出定 理２ 。
（１ 两 边 同 除 以Ｚ ４式 ，取 极 限让 卜 ０ ： 得
， 】
Ｇ＋Ｙ一 。ｌｏ ，）
） ｌｍ ｉ
＝
由此 可见 ，函数 ｌ ， ， Ｇ ）的二 阶 混合 偏 导 数
判断 。
，
。
＋ ｌ ） （， ： ） ，
，） 。
的相等是 有一定条 件的 ，许 多书上都 运用定理 １ 来 定 理 １： 若 ）与 ）在 点 尸 。 ０ ， Ｇ ）的
Ｙ＋ ］ 由拉格 朗 日中值定理 ，有 ： 上
Ｇ ＋ ｙ＋ ） 。０， ） Ｇ ＋ Ｙ＋ ）０ ０ ＜） 。 ｏ， ＾ Ｇ ＋。 。 。ｏ． ０ （＜ １ ｚ。 一 ， ＝ ｙ １。 Ｙ 由（） １ 式与（） ２式得（） ： ３式
）Ｘ２ ： ＝ Ｘ２ ｛＋ ２／ － －０ ２ ： ｝ ＿ － ｙ ３ ￣ ＇ ： 。 ：
十ｅ 血 ， 十ｏ ＝ ， 。＋ｅ ｙ ＋０
可见 ｌ （） ｉ。 。 厶 ，） ｍ ｙ不存在 ，即也就是说厶 ，） 在
，
点 （ ，０） ０ 处不连续 ，因此本题不 能用定 理 １ 来求解 。 再举例说明定理２ Ｚ 例２ Ｚ ｘ ２ ３ ３ ｘ ＋ ，求 ： Ｚ ＝ ３ －ｘ －ｙ Ｉ ｙ ｙ ＯＺ ＯＺ