三角函数的值域与最值(教师版)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[小试身手]1.已知函数 ， ，直线x＝t（t∈ ）与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值是多少？
2.求函数 的值域.
3.
4. 求函数 的值域.
（Ⅳ）配方法： 型。此类型可化为 在区间 上的最值问题.
【例6】求函数 （ ）的最值.
解：
∴函数的最大值为 ，最小值为
【例8】求函数 （ ， ）的最大值.
∵ ，∴ ，∴
∴ 的最小值为 ，此时 ， 无最大值.
【例6】）求函数 的值域.
方法小结：求只含有 ， 的函数的最值问题，通常方法是换元法：令 ( )，将 转化为 的关系式，从而使问题转化为二次函数的最值问题.但要注意换元后变量的取值范围.
[小试身手]已知： 求 的最大值及此时 的集合．
[分析]此类问题为 的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 型求解.
教学
重难点
重点：求三角函数的最值与值域
难点：灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域
教学过程
一、知识检测
1．在下列说法中：（1）函数 的最大值为3；（2）函数 最小值是4；（3）函数 的值域是 ；(4)存在实数 ，使得 成立．正确的是 （ ）
A．（1）（2）B．（2）（4）C．（1）（3）D．（1）（4）
解： 转化为
配方得：
①当 ，即 时，在sinx=1，
②当 时，即 时，在sinx=－1，
③当 ，即 时，在 时，
综上：
小结：对于二次型函数，都可通过换元构造二次函数 ，进而转化为二次函数在某个区间上的值域问题，但一定要注意新元的范围.
[小试身手]1.函数 的值是多少？
2.求函数 的最值.
[分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一.
家长签名及建议：
3.设 ，用 表示 的最大值
.解： 令sinx=t,则
（1）当 ，即 在[0，1]上递增，
（2）当 即 时， 在[0，1]上先增后减，
（3）当 即 在[0，1]上递减，
3.求函数 在区间 上的值域.
（Ⅴ）数形结合: 型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为 再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值.
2．函数 的值域为（ ）
A．[－1，1]B． C． D．
3．函数 的最大值为，最小值为．
4． _________时，函数 的最大值为__________
5．函数 的值域为
6．函数 （ 为常数，且 ）的最大值是1，最小值是 ，则函数 的最大值是_______________.
二、互动平台
（Ⅰ）简单三角函数的值域
4．函数 的值域为.
5．已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等于_________．
6．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值和最大值．
7.已知函数 的定义域为[－ ，0]，值域为[－5，1]，求常数 、 的值
教学反思：
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现.其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳
课后作业
1.函数 在区间 上的最小值为．
2.函数 的最大值等于．
3.函数 且 的值域是___________________．
4.当 时，函数 的最小值为．
1．函数 的最小值等于__________．
2．当 时，函数 的最小值是_______．
3．函数 的最大值为_______，最小值为________.
【例9】求函数 的值域
解法1：将函数 变形为
∴ 由 ，
解得： ，故值域是
解法2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx,sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数 得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为 、 。结合图形可知，此函数的值域是 .
【例1】1.求下列三角函数的值域.
（1） （2）
2.若函数 的最大值是1，最小值是 ，求 、 .
小结：求基本三角函数值域，一定要结合三角函数的图像，故切记正、余弦函数的图像.
（Ⅱ）与三角函数有关的复合函数的值域: 型函数的值域
【例2】
【例3】求函数 的值域
小结：对于 的最大值为 ，最小值为 ，若 ， ，先由 求出 的范围，然后结合图像求出，即由内而外逐层求值域
教师姓名
郭鹏
学生姓名
刘晓航
填写时间
年级
高一升高二
学科
数学
上课时间
阶段
基础（）提高（√）强化（）
课时计划
第（）次课
共（）次课
教
学Fra Baidu bibliotek
目
标
1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；
2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值；
3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。
（Ⅲ）引入辅助角法：
类型一： 型.（此类型通常可以可化为 求其最值（或值域）.）
【例4】求函数 （ ）的最值.
解法: ，
∴函数的最大值为 ，最小值为 .
类型二： 型.形如这种类型的，可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为 型再利用辅助角公式求出最值.
【例5】求函数 的最值，并求取得最值时x的值.
解：
2.求函数 的值域.
3.
4. 求函数 的值域.
（Ⅳ）配方法： 型。此类型可化为 在区间 上的最值问题.
【例6】求函数 （ ）的最值.
解：
∴函数的最大值为 ，最小值为
【例8】求函数 （ ， ）的最大值.
∵ ，∴ ，∴
∴ 的最小值为 ，此时 ， 无最大值.
【例6】）求函数 的值域.
方法小结：求只含有 ， 的函数的最值问题，通常方法是换元法：令 ( )，将 转化为 的关系式，从而使问题转化为二次函数的最值问题.但要注意换元后变量的取值范围.
[小试身手]已知： 求 的最大值及此时 的集合．
[分析]此类问题为 的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 型求解.
教学
重难点
重点：求三角函数的最值与值域
难点：灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域
教学过程
一、知识检测
1．在下列说法中：（1）函数 的最大值为3；（2）函数 最小值是4；（3）函数 的值域是 ；(4)存在实数 ，使得 成立．正确的是 （ ）
A．（1）（2）B．（2）（4）C．（1）（3）D．（1）（4）
解： 转化为
配方得：
①当 ，即 时，在sinx=1，
②当 时，即 时，在sinx=－1，
③当 ，即 时，在 时，
综上：
小结：对于二次型函数，都可通过换元构造二次函数 ，进而转化为二次函数在某个区间上的值域问题，但一定要注意新元的范围.
[小试身手]1.函数 的值是多少？
2.求函数 的最值.
[分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一.
家长签名及建议：
3.设 ，用 表示 的最大值
.解： 令sinx=t,则
（1）当 ，即 在[0，1]上递增，
（2）当 即 时， 在[0，1]上先增后减，
（3）当 即 在[0，1]上递减，
3.求函数 在区间 上的值域.
（Ⅴ）数形结合: 型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为 再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值.
2．函数 的值域为（ ）
A．[－1，1]B． C． D．
3．函数 的最大值为，最小值为．
4． _________时，函数 的最大值为__________
5．函数 的值域为
6．函数 （ 为常数，且 ）的最大值是1，最小值是 ，则函数 的最大值是_______________.
二、互动平台
（Ⅰ）简单三角函数的值域
4．函数 的值域为.
5．已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等于_________．
6．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值和最大值．
7.已知函数 的定义域为[－ ，0]，值域为[－5，1]，求常数 、 的值
教学反思：
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现.其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳
课后作业
1.函数 在区间 上的最小值为．
2.函数 的最大值等于．
3.函数 且 的值域是___________________．
4.当 时，函数 的最小值为．
1．函数 的最小值等于__________．
2．当 时，函数 的最小值是_______．
3．函数 的最大值为_______，最小值为________.
【例9】求函数 的值域
解法1：将函数 变形为
∴ 由 ，
解得： ，故值域是
解法2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx,sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数 得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为 、 。结合图形可知，此函数的值域是 .
【例1】1.求下列三角函数的值域.
（1） （2）
2.若函数 的最大值是1，最小值是 ，求 、 .
小结：求基本三角函数值域，一定要结合三角函数的图像，故切记正、余弦函数的图像.
（Ⅱ）与三角函数有关的复合函数的值域: 型函数的值域
【例2】
【例3】求函数 的值域
小结：对于 的最大值为 ，最小值为 ，若 ， ，先由 求出 的范围，然后结合图像求出，即由内而外逐层求值域
教师姓名
郭鹏
学生姓名
刘晓航
填写时间
年级
高一升高二
学科
数学
上课时间
阶段
基础（）提高（√）强化（）
课时计划
第（）次课
共（）次课
教
学Fra Baidu bibliotek
目
标
1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；
2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值；
3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。
（Ⅲ）引入辅助角法：
类型一： 型.（此类型通常可以可化为 求其最值（或值域）.）
【例4】求函数 （ ）的最值.
解法: ，
∴函数的最大值为 ，最小值为 .
类型二： 型.形如这种类型的，可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为 型再利用辅助角公式求出最值.
【例5】求函数 的最值，并求取得最值时x的值.
解：