数学建模课件03-2第三章 第9节 微分方程模型.

硫黄岛位于东京以南660英里的海面上，是日军 的重要空军基地，美军在1945年2月19日开始进攻， 激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日军守 军21500人全部阵亡或被浮，美军投入兵力73000人， 伤亡20265人，战斗进行到28天时美军宣布占领该岛， 实际战斗到36天才停止。美军的战地记录有按天统 计的战斗减员和增援情况，日军没有后援。根据实 际战地记录，由正规战争模型得到的美军伤亡的理 论曲线与实际伤亡曲线相当吻合。
所以正规战争模型为
dx dt
ay
dy
dt
bx
(10 1)
其中a 0,b 0 均为常数，
a(或b)越大，表示乙军（或甲军）战斗力越强。 记E＝ b 称为甲军与乙军的交换比，
a 联立方程(10-1)求解得
dy bx E x dx ay y
(10 2)
分离变量并积分得
2
y2 E x2 C 2 22
§9 作战模型
问题：两军对阵，现甲军有 x0个士兵，乙军有 y0
个士兵，试讨论战斗过程中双方的伤亡情况以及最 后的结局。
一、正规战争模型
令x (t )表示t时刻甲军人数， y(t) 表示t时刻乙军人数。 在以上假设下，显然甲军人数越多，乙军伤
亡越大，反之亦然，所以有 甲军人数的减员率与乙军人数成正比； 乙军人数的减员率与甲军人数成正比。 1
如果交换比E＝ 1
C
4 30002
1
60002
0
所以当乙军被消4 灭,即y＝0时，x＝0，即双
方“同归于尽”。1
如果交换比E＝ 5 得
C 30002 1 60002 180000 0 乙军胜
当x＝0时，
5
y C 1800000 1340
这说明虽然乙军人少，但能以一当五最后战胜
甲军，而只损失了1660人。
9
问题：如果两军作战时有增援，其作战模型如何？
令f(t)和g(t)分别表示甲军和乙军t时刻的增援率， 则正规战争模型为
dx dt
ay

f
(t)
dy
dt
bx
g(t)
J.H.Engel用二次大战末期美日硫黄岛战役中的美军 战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型 结果于实际数据吻合得很好。
10
当交换比E＝1时，即两军的装备和战斗力差不 多时，由(10-4)式可确定
C 30002 60002 2.7 107 0
从而得微分方程特解
x2 y2 2.7 107
由于交换比为1，而甲军人数占优势，故乙军失败。
6
当乙军被消灭光时，即y＝0 甲军还剩下的人数
x C 2.7 107 5200 E
若M＝0，平局，且当y减少到零时，x也将为零；
若M<0，甲军胜，且当x减少到
M
2
时，y将为零。
15
因此对于正规军来说，为了保证取胜的战斗态 势，必须M>0，即
y02 2x0 0
所以正规军取胜的条件：
y0
2x0
(10 11)
由于、 分别表示正规军与游击队的战斗有效
即甲军损失人数为 6000－5200＝800人
可见，中国古代凭战争经验总结出来的“杀人三千，
自损八百”确实存在数学上的理论根据。
如果交换比E=
1得 3
C 30002 1 60002 3000000 甲军胜 3
当y＝0时，x C 3 3000000 3000 E
所以甲军损失：
7
6000－3000＝3000人， 即杀人3000自损3000。
( y0 )2 b x0 a
(10 6)
(10-6)式说明双方初始兵力之比以平方关系
影响着战争的结局。
5
例如，若乙方兵力增加到原来的两倍（甲方不 变），则影响战争结局的能力增加到4倍；或者说， 若甲方的战斗力增加到原来的4倍，那么为了与此相 抗衡，乙方只需将初始兵力增加到原来的2倍，由于 这个原因，正规战争模型又称为平方律模型。 例如：如果战争开始时甲军为6000人，乙军为3000人。
dx dt
xy
dy
dt
x
(10 8)
13
由(10-8)得
dy dx y
积分
y2 2x M
(10 9)
若初始条件为 x(0) x0
y(0)
y0
M y02 2x0
(10 10)
(10-9)式在xoy平面上是一族抛物线，如图
14
图中箭头表示兵力随时间而变化的方向。
由图知： 若M>0，乙军胜，且当y减少到 M 时，x将为零；
(3)游击队和正规军的增援率分别为f(t),g(t)。
12
则混合战争模型：
dx dt
xy
f
(t )
dy
dt
x
g (t )
(10 7)
其中 0, 0 为常数。
称为正规军的战斗有效系数；
称为游击队的战斗有效系数；
战斗中，若双方都无增援，即f(t)＝g(t)＝0，
则(10-7)变为
11
二、混合战争模型
记 x(t) 表示t时刻游击队人数；
y(t) 表示t时刻正规军人数。 假设：
(1)游击队的战斗减员率与x(t)及 y(t) 的乘积成
正比，因为 x(t )越大，目标越大，被敌方子弹命中
的可能性越大，另一方面，y(t) 越大，火力越强，x(t)
的伤亡人数也就越大。 (2)正规军的战斗减员率与游击队人数成正比。
y2 Ex2 C
(10 3)
若初始条件为 x(0) x0
y(0)
y0
C y02 Ex02
(10 4)
(10-3)式就是“兰彻斯特平方定律”，它在 xoy平面上是一族双曲线，如图
3
图上箭头表示兵力随时间而变化的方向。 由图可知
若 C 0 ，乙军胜，且当y减少到 C 时，x将为零； 若 C 0 ，平局，且当y减少到零时，x也减少到零；
若 C 0，甲军胜，且当x减少到 C 时，y将为零。 E 4
对于乙军来说，为了保持取胜的战斗态势，
当然希望 C 0 ，即
y02 Ex02 0
ay02 bx02
(10 5)
所以要想取胜，要么士兵多，要么增加士兵的 战斗力；因此，如果士兵的战斗力强，当然可以以 少胜多。
另一方面，(10-5)式可写成
8
可见，战争胜负的决定性的因素是“交换比”， 即装备和战斗力（包括将帅的指挥和官兵的素质及 勇气），而不仅是人数，人数只是我们决定战斗的 形式，例如人多势大可以用来分割围攻、打进攻战； 人少势弱只能回避锐利、打防守战、游击战。总之， 在未来的战争中，要想取胜，不能抱着人多势重的 思想，而应大力进行国防现代化的建设，以提高我 军对敌作战的交换比。