含有参数的分式方程

【问题一】解含有参数的分式方程

例如：解关于x 的方程11(1)1

a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。

解：去分母，方程两边同时乘以1x -

得：1(1)1a x x +-=-

整理方程得：(1)2a x a -=-

∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21

a x a -=- 检验，当21

a x a -=

-时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。

练习：解关于x 的方程

10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且 （1m x m

=-） 【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值

例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325

x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。

解：当x =0是方程的解时

有

0123025a a +-=-+，解得 15

a = 当15

a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152

a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。

练习：当a 为何值时，关于x 的方程

2334

ax a x +=-的解为1. （3a =） 【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值

例如：已知关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意方

程有意义这个前提条件.

解：去分母得：2(3)x x m --=

解得6x m =-

∵原方程的解为正数，

∴0x >，即60m ->……………①

又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………②

由①②可得6m <且3m ≠

所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数.

小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。

练习：若关于x 的方程2122212

x x x a x x x x --++=-+--的解为负数，试求a 的取值范围. （5a <-且7a ≠-）

【问题四】已知含有参数的分式方程有增根，求参数的值

例如：已知关于x 的方程211

x k x x +=--有增根，求k 的值. 分析：分式方程的增根不是原分式方程的解，而是分式方程去分母后所得的整式方程的解中使得最简公分母为0 的未知数的值.

解：去分母，等式两边同时乘以1x -，

得 22x k x +=-，

解得 2x k =+

∵分式方程有增根，

∴10x -=，即1x =

∴21k +=，解得1k =-

所以1k =-时，原方程有增根.

小结：含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法.

①解含有参数的分式方程（用含有参数的代数式表示未知数的值）；

②确定增根（最简公分母为0）；

③将增根的值代入整式方程的解，求出参数.

练习：已知关于x 的方程212122

k x x x x +=-++-有增根，求k 的值. 变式：已知关于x 的方程212221(2)(1)

x x x ax x x x x -++-=-+-+无增根，求a 的值. 【问题五】已知含有参数的分式方程无解，求参数的值

例如：已知关于x 的方程3

x m m x +=-无解，求m 的值. 分析：分式方程无解包含两种情况，①分式方程所转化成的整式方程无解；②分式方程所转化成的整式方程有解，但是这个解使最简公分母为0.

解：去分母，等式两边同时乘以3x -，

得(3)x m m x +=-………①

当方程①无解时，则原方程也无解，

方程①化为(1)4m x m -=-，当1040

m m -=⎧⎨-≠⎩时，方程①无解，此时1m =；

当方程①有解，而这个解又恰好是原方程的增根，此时原方程也无解， 所以，当方程①的解为3x =时原方程无解，

将3x =代入方程①，得30m +=，故3m =-.

综上所诉：当1m =或3m =-时，原方程无解.

小结：含有参数的分式方程无解求参数的一般方法.

①将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式（ax b =）； ②讨论整式方程无解的情况；（有可能整式方程一定有解）

③讨论整式方程的解为增根的情况.

练习：已知关于x 的方程

322133x ax x x

-++=---无解，求a 的值.