立体几何习题课(分割法、补形法求体积等举例)
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a 2 b 2 25 a 3 2 1 2 a c 34 b 4 VP ABC 3 4 5 4 3 4 5 20 6 b 2 c 2 41 c 5 所以三棱锥P-ABC的体积为20（立方单位）。
例6、三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此棱锥沿三 条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P1P2P3A。 （1）求证：侧棱PB⊥ AC； （2）求侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值。
P1 P
2
m
A
B B
Ө
A D
m
m
2
D C n E n （乙）
P3
C （甲）
P2
P
2
（甲）
B
解:(1)（略） (2)甲图中，作PD⊥AC于D，连接BD，可得PDB 即为面PAC与面ABC所成二面角的平面角。 乙图中，作AE⊥CP3于E点，则AE=P1P2=4。 ∵PA=AC，即P3A=AC，∴E为CP3的中点。 设AP1=AC=AP3=m，CE=EP3=n，由CP2=CP3得： m-n=2n m=3n ……① 又在△ACP3中有：AE•CP3=AC•DP3 …… ②， 而AE=4 ……③， 由①②③ 得：DP3=8/3，即PD=8/3。 ∴甲图Rt△BPD里， BD=10/3， ∴ cosPDB=4/5,为所求。
立 体 几 何
习题课
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。
S
E A
F B
提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为 等边三角形，边长为 6 ，SASB。取SA中 点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得： SC 平面ABE。利用： VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE C 得三棱锥体积。
（2）求VC与AB所成的角的大小。
V
M A
G
E B F
C
（arccos (b a )(a c )
2 2 2 2
a c
2
2
）
例5、已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=AC = 34 ， PC=AB= 41 ，求三棱锥的体积。 P P A C A A`
C
B`
C` B
B
`
P`Байду номын сангаас
提示：分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图， 则V P-ABC=V长方体-4V P ABP 。设长方体长宽高分别为a、b、c，则有：
A
D B
例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求D1到截面C1BD的距离。
D1 A1 B1
C1
提示：利用 V D C B D =V B C D D 求解。
1 1
1
1
D
A B
C
KEY： 3 a
3
注意：等体积法求点面距离。
例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中， 15 arctan （1）BC1与侧面 ABB1A1所成的角为__________ ； 5 （2）如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成 45o 的角的大小为__________ 。
（KEY： 3 ） 注意：分割法求体积。
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。 （解法2） S
法二：取AB中点D，连接SD，CD。易得△ABC 为等腰直角三角形，ACB=90o。则有SD⊥AB， CD⊥AB。又SA=SB=SC，∴S在底面的射影为底 面的外心，即点D，∴SD⊥平面ABC。 C ∴由VS-ABC= 1 S •SD得三棱锥体积。 3 △ABC
A1 D C1 B1 C B A1 N B1 C1 M C B
A
A
注： （1）中利用面面垂直的性质找线面成角。 （2）中射影面积公式的应用：S△AB1M•cosα =S△ABC.
例4、三棱锥V-ABC中，VA底面ABC，ABC=90o， VA=a，VB=b，AC=c（cb），M是VC中点。
（1）求证：V，A，B，C四点在以M为球心的球面上；
Ө
C P1
2
D
m
A
A
m
（乙）
B
2
m
D
P2
C n E n P3
课本P81第8题 如图，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度 为h，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球的半径。
V1
h V2=V1+V球
2R
R
V2
小结： 1、分割法求体积； 2、利用射影面积法求二面角； 3、补形法求体积； 4、几何体展开问题。
例6、三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此棱锥沿三 条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P1P2P3A。 （1）求证：侧棱PB⊥ AC； （2）求侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值。
P1 P
2
m
A
B B
Ө
A D
m
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2
D C n E n （乙）
P3
C （甲）
P2
P
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（甲）
B
解:(1)（略） (2)甲图中，作PD⊥AC于D，连接BD，可得PDB 即为面PAC与面ABC所成二面角的平面角。 乙图中，作AE⊥CP3于E点，则AE=P1P2=4。 ∵PA=AC，即P3A=AC，∴E为CP3的中点。 设AP1=AC=AP3=m，CE=EP3=n，由CP2=CP3得： m-n=2n m=3n ……① 又在△ACP3中有：AE•CP3=AC•DP3 …… ②， 而AE=4 ……③， 由①②③ 得：DP3=8/3，即PD=8/3。 ∴甲图Rt△BPD里， BD=10/3， ∴ cosPDB=4/5,为所求。
立 体 几 何
习题课
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。
S
E A
F B
提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为 等边三角形，边长为 6 ，SASB。取SA中 点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得： SC 平面ABE。利用： VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE C 得三棱锥体积。
（2）求VC与AB所成的角的大小。
V
M A
G
E B F
C
（arccos (b a )(a c )
2 2 2 2
a c
2
2
）
例5、已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=AC = 34 ， PC=AB= 41 ，求三棱锥的体积。 P P A C A A`
C
B`
C` B
B
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P`Байду номын сангаас
提示：分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图， 则V P-ABC=V长方体-4V P ABP 。设长方体长宽高分别为a、b、c，则有：
A
D B
例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求D1到截面C1BD的距离。
D1 A1 B1
C1
提示：利用 V D C B D =V B C D D 求解。
1 1
1
1
D
A B
C
KEY： 3 a
3
注意：等体积法求点面距离。
例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中， 15 arctan （1）BC1与侧面 ABB1A1所成的角为__________ ； 5 （2）如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成 45o 的角的大小为__________ 。
（KEY： 3 ） 注意：分割法求体积。
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。 （解法2） S
法二：取AB中点D，连接SD，CD。易得△ABC 为等腰直角三角形，ACB=90o。则有SD⊥AB， CD⊥AB。又SA=SB=SC，∴S在底面的射影为底 面的外心，即点D，∴SD⊥平面ABC。 C ∴由VS-ABC= 1 S •SD得三棱锥体积。 3 △ABC
A1 D C1 B1 C B A1 N B1 C1 M C B
A
A
注： （1）中利用面面垂直的性质找线面成角。 （2）中射影面积公式的应用：S△AB1M•cosα =S△ABC.
例4、三棱锥V-ABC中，VA底面ABC，ABC=90o， VA=a，VB=b，AC=c（cb），M是VC中点。
（1）求证：V，A，B，C四点在以M为球心的球面上；
Ө
C P1
2
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m
A
A
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（乙）
B
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P2
C n E n P3
课本P81第8题 如图，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度 为h，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球的半径。
V1
h V2=V1+V球
2R
R
V2
小结： 1、分割法求体积； 2、利用射影面积法求二面角； 3、补形法求体积； 4、几何体展开问题。