5.3筛分和分级模型
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一、粒度特性曲线
矿物的粒度组成可以用不同的粒度特性 曲线来表示。 通常采用累积粒度特性曲线来表示矿物 的粒度组成。 累积粒度特性曲线又分为正累积粒度特 性曲线和负累积粒度特性曲线。
一、粒度特性曲线
正累积粒度特性曲线是用正累积产率作 出的，它表示大于某一粒度的物料产率总 和。 负累积粒度特性曲线是用负累积产率作 出的，它表示小于某一粒度的物料产率总 和。 同一煤样，正累积曲线和负累积曲线是 互相对称的，并在产率为50%处相交。
二、粒度特性公式
3、洛辛-拉姆勒公式： 洛辛-拉姆勒在研究破碎机和磨矿机的产物粒 度组成时，发现若以z表示物料中的正累积产 率，则在lnln(100/z)和lnx坐标系中，大部分试 验点在一条直线上，直线方程是：
100 ln ln( ) m ln X ln R Z
由此得出： Z 100e 式中：X-产物粒度；Z-正累积产率，%； R、m-参数。
2
m
其中投掷次数 m K L f ; K -效率常数； L-筛面长度； f-筛子负荷减小系数。
2
1
1
第二节 筛分数学模型
而某一粒级不透过筛孔的平均概率为：（下限 为s1，上限为 s2）
E( s1 ,s2 )
1 (h s) /(h d )
s2 s1
m
ds
s2 s1
第二节 筛分数学模型
韦兰特利用了指数函数的形式，根据振动筛的一 些试验结果，他进一步提出了一个计算筛上产物 产率的经验公式：
C ( s) e
A(1 s ) so
式中，C(s)—平均粒度为s的限下物料在筛上产物 中的分配率； so—筛孔尺寸； s—限下物料的平均粒度； A—模型参数（筛子分离强度常数）。
为了便于求解上式，我们先看下面二个单 项式展开情况，根据二项式定理，有：
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 (1 x) 1 mx x x 2 ! 3 !
m
源自文库
第二节 筛分数学模型
而 e mx 的泰勒级数展开式为：
e mx m 2 2 m3 3 1 m x x x 2! 3!
第二节 筛分数学模型
下面介绍模型参数A值的估算方法 如果我们对筛分机进行单机检查，就可以得到限下 物料的部分筛分效率，设限下物料的各粒级的算术平均 粒度为 s1 , s2 ,, sn且s1 s2 sn ，对应的部分筛分效率为 Es , Es ,, Es (试验值)。 s A (1 ) s ˆ 若任给一个A值，利用模型 E si 1 e
oi o
oi
oi
0
第二节 筛分数学模型
（1）当筛子的筛孔恰等于原料中某一粒级时 （即 s s ）， 例如：原料粒级 s 分别为50，25，13，6mm，筛 孔尺寸恰好等于13mm时，这时，限下物各粒级重 量与原料的各粒级重量一致。 （2）如果 s s 时，例如：在上例中筛孔尺寸s0＝ 20mm时，则筛孔所在的25－13mm粒级就需作一些 计算，这时可按比例把20－13mm粒级的重量算出， 加到下一粒级中，然后再根据部分筛分效率计算 筛下产物重量。
2、高登-安德烈夫公式：
y Axk
100 说明:（3）当x=xmax时，y=100%,则：A k xmax
当参数k一定时，A取决于物料的最大粒度xmax,， 因此，将A代入高登-安德烈夫公式可得：
y Axk 100( x xmax )k
该式为采用相对粒度表示的高登-安德烈夫公式， 该式变为了只有一个参数k的方程。
当m很大时， (1 x) m
通过对比后可得：
可近似地用
e mx
代替，因此，
2 h s 2 m (h s ) h d 1 e (h d )
第二节 筛分数学模型
若设
y hs hd m 则 ds dy h d m
5.3 筛分和分级模型
§8-1 煤炭的粒度模型
粒度组成是煤炭的一个重要特征。研 究煤的可选性、选择选煤方法和设备，往往 都要考虑煤的粒度。煤的粒度组成是经试验 确定的，一般可用不同的曲线来描述。在计 算机应用中，如果能用经验公式描述粒度组 成，则可以通过模型进行产物预测，避免繁 重的筛分试验。
§8-1 煤炭的粒度模型
代入上式，可得：
E( S1 ,S2 ) h d y2 y 2 e dy (s s ) y 2 1 m 1
则部分筛分效率为：
( s ,s ) 1 E( s ,s
1 2 1
2)
第二节 筛分数学模型
二、煤用筛分数学模型 1．模型建立 1978年，美国韦兰特建立了一个煤用筛分模 型，他假定粒度分别为S1和S2的两个小颗粒同时 透过一个筛孔的概率与粒度等于S1＋S2的一个颗 粒透过筛孔的概率相等，而且粒度为S1的颗粒透 过筛孔的事件与S2颗粒透过筛孔的事件无关，用 公式表示为：
第二节 筛分数学模型
所以单个颗粒透筛的概率为： 而不透筛的概率即为:
(h s) K1 (h d )
2
(h s) K2 1 (h d )
2
若在m项投掷中，颗粒s的不透筛概率为：
E( s ) (h s ) 2 1 ( h d )
si
可采用0.618寻优法求得上式的模型参数A值。
第二节 筛分数学模型
3．预测计算 对于一个筛分过程来说，若已知模型参数A，就 可用公式
E( s ) 1 e
A (1 s ) so
计算出限下物料的部分筛分效率，从而算出筛下 产物的粒度重量。 使用计算机计算筛下产物重量时，首先要计 算限下物料的粒度组成，然后用相应的部分筛分 效率来计算筛下产物。
第二节 筛分数学模型
一、振动筛数学模型 怀坦从单个颗粒透筛概率出发，导出了单层振动 筛的数学模型，并通过最小二乘法 求得有关模型参数。 h 设单个筛孔尺寸为h，筛丝 d 直径为d，粒度为s的单个颗粒垂 h-s 直地投射在单个筛孔上，若要使 s 该颗粒透过筛孔进入筛下物，则 颗粒的中心必须落在筛孔的 (h-s)2面积内，而一个筛孔在筛 面上实际所占面积为(h+d)2，所 以单个颗粒透筛的概率为：[(h-s)/(h+d)]2
RX m
第二节 筛分数学模型
1．筛分过程预测的一般方法和要解决的题： 筛分过程的预测主要是根据原料的粒度组 成来确定筛分产物的数量和它的粒度组成。在 一般的工艺计算中，多数都是根据经验选定一 个总筛分效率，利用它来计算筛分产物的数量。 这种粗略的计算对不出分级产品的选煤厂是可 行的，但对生产多粒级产品的选煤厂或筛选厂， 则显得不够准确。为此，就要使用部分筛分效 率。
二、粒度特性公式
许多学者认为，破碎和磨矿产物的粒度组 成具有一定的稳定性，它的粒度分布有一定的 规律，所以，设想是否可以用一种经验公式表 示其粒度组成。 比较有代表性的公式有两个，即高登公式 和洛辛-拉姆勒公式： 1、高登公式 高登在研究了大量的破碎和磨矿产物的粒 度组成的基础上，在双对数坐标中按粒级的产 率画出曲线，发现在细粒范围内，曲线呈直线， 因此，导出了粒度特性公式如下：
第二节 筛分数学模型
则部分筛分效率为：
E( s ) 1 e
A (1 s ) so
式中：E(s)—平均粒度为s的限下物料的部分筛分 效率。 该模型和怀坦的振动筛模型相比，公式简单， 使用计算都比较方便，模型参数的确定也相对容 易一些。
第二节 筛分数学模型
2．模型参数的确定 模型参数A，韦兰特称之为筛子的分离强度 常数，它与筛子的型式、筛孔大小和给料量有关。 同时，A还与筛子所处的位置和筛分工作条件有 关，与给料的粒度分布无关，一般下层筛的A值 比上层筛小，干筛的A值比湿筛小,（A和E(s)成 正比）。
二、粒度特性公式
2、高登-安德烈夫公式：
y Axk
式中： x—物料粒度；y—负累积产率； A、k—粒度分布参数。 说明：（2）参数k决定曲线的形状，k=1时，曲 线呈直线，表示物料粒度分布均匀；k>1时，曲 线呈凸形，表示大粒度居多；k<1时，曲线呈凹 形，物料以细颗粒为主。
二、粒度特性公式
一、粒度特性曲线
一、粒度特性曲线
累积粒度特性曲线形状可能是凸形、凹形或 直线形。 烟煤通常是凹形曲线，这说明煤比矿石易于 破碎，它是由大量细粒级所组成。 累积粒度特性曲线的优点是能很快地看出任 一粒级物料的累积产率，但是，它对粒度组成 的变化反应不灵敏。 物料粒度组成也可以采用分布曲线表示，分 布曲线是根据各粒级的产率绘制的。即在各粒 级产率的柱状图上，由中点连成曲线。
1 2 n
i o
ˆ 可计算出平均粒度为 s 的限下物料的部分筛分效率 E ， ˆ E si si ，则偏差平 设实测值与计算值的偏差为 Esi ，即 Esi E 方和为： E E 1 e E
i
si
n
n
2
A (1
s
i 1
si
si ) so
2
i 1
第二节 筛分数学模型
2、什么是部分筛分效率？ 部分筛分效率就是原料中各种粒级的筛分效率， 由于不同粒级透筛难易程度的不一样，所以部 分筛分效率也是不同的。为此我们可以利用部 分筛分效率分别计算筛下产物中各粒级的产率， 最后综合计算筛分产物的数量。这样就能更准 确地预测生产多粒级的筛选厂的筛分过程。 ∴目前，筛分数学模型主要是解决如何确定筛 分过程的部分筛分效率问题。
P(S1 S 2 ) P(S1 ) P(S 2 )
式中P(S)—粒度为S的颗粒透过筛孔的概率
第二节 筛分数学模型
该方程的一个特解是：
P( S ) e ks
就是说，颗粒透过筛孔的概率是粒度的指数函数。 把 P(s ) e ks1 和P(s ) e ks2
1 2
代入上式，即可证明特解。
二、粒度特性公式
1、高登公式：
w cX k
式中： w-粒级产率；X-物料粒度； k、c-粒度分布参数。 说明：高登公式实际上是一种分布曲线，虽然 也适用于球磨机、棒磨机及辊式破碎机等产物， 但是在使用上并不是很方便。
二、粒度特性公式
2、高登-安德烈夫公式：
y Axk
式中： x—物料粒度；y—负累积产率； A、k—粒度分布参数。 说明：（1）高登-安德烈夫公式的优点是形式 简单，便于计算，式中各参数都具有一定的物理 意义，能够较好地反映物料中细粒（y<60%） 的粒度分布。
矿物的粒度组成可以用不同的粒度特性 曲线来表示。 通常采用累积粒度特性曲线来表示矿物 的粒度组成。 累积粒度特性曲线又分为正累积粒度特 性曲线和负累积粒度特性曲线。
一、粒度特性曲线
正累积粒度特性曲线是用正累积产率作 出的，它表示大于某一粒度的物料产率总 和。 负累积粒度特性曲线是用负累积产率作 出的，它表示小于某一粒度的物料产率总 和。 同一煤样，正累积曲线和负累积曲线是 互相对称的，并在产率为50%处相交。
二、粒度特性公式
3、洛辛-拉姆勒公式： 洛辛-拉姆勒在研究破碎机和磨矿机的产物粒 度组成时，发现若以z表示物料中的正累积产 率，则在lnln(100/z)和lnx坐标系中，大部分试 验点在一条直线上，直线方程是：
100 ln ln( ) m ln X ln R Z
由此得出： Z 100e 式中：X-产物粒度；Z-正累积产率，%； R、m-参数。
2
m
其中投掷次数 m K L f ; K -效率常数； L-筛面长度； f-筛子负荷减小系数。
2
1
1
第二节 筛分数学模型
而某一粒级不透过筛孔的平均概率为：（下限 为s1，上限为 s2）
E( s1 ,s2 )
1 (h s) /(h d )
s2 s1
m
ds
s2 s1
第二节 筛分数学模型
韦兰特利用了指数函数的形式，根据振动筛的一 些试验结果，他进一步提出了一个计算筛上产物 产率的经验公式：
C ( s) e
A(1 s ) so
式中，C(s)—平均粒度为s的限下物料在筛上产物 中的分配率； so—筛孔尺寸； s—限下物料的平均粒度； A—模型参数（筛子分离强度常数）。
为了便于求解上式，我们先看下面二个单 项式展开情况，根据二项式定理，有：
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 (1 x) 1 mx x x 2 ! 3 !
m
源自文库
第二节 筛分数学模型
而 e mx 的泰勒级数展开式为：
e mx m 2 2 m3 3 1 m x x x 2! 3!
第二节 筛分数学模型
下面介绍模型参数A值的估算方法 如果我们对筛分机进行单机检查，就可以得到限下 物料的部分筛分效率，设限下物料的各粒级的算术平均 粒度为 s1 , s2 ,, sn且s1 s2 sn ，对应的部分筛分效率为 Es , Es ,, Es (试验值)。 s A (1 ) s ˆ 若任给一个A值，利用模型 E si 1 e
oi o
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第二节 筛分数学模型
（1）当筛子的筛孔恰等于原料中某一粒级时 （即 s s ）， 例如：原料粒级 s 分别为50，25，13，6mm，筛 孔尺寸恰好等于13mm时，这时，限下物各粒级重 量与原料的各粒级重量一致。 （2）如果 s s 时，例如：在上例中筛孔尺寸s0＝ 20mm时，则筛孔所在的25－13mm粒级就需作一些 计算，这时可按比例把20－13mm粒级的重量算出， 加到下一粒级中，然后再根据部分筛分效率计算 筛下产物重量。
2、高登-安德烈夫公式：
y Axk
100 说明:（3）当x=xmax时，y=100%,则：A k xmax
当参数k一定时，A取决于物料的最大粒度xmax,， 因此，将A代入高登-安德烈夫公式可得：
y Axk 100( x xmax )k
该式为采用相对粒度表示的高登-安德烈夫公式， 该式变为了只有一个参数k的方程。
当m很大时， (1 x) m
通过对比后可得：
可近似地用
e mx
代替，因此，
2 h s 2 m (h s ) h d 1 e (h d )
第二节 筛分数学模型
若设
y hs hd m 则 ds dy h d m
5.3 筛分和分级模型
§8-1 煤炭的粒度模型
粒度组成是煤炭的一个重要特征。研 究煤的可选性、选择选煤方法和设备，往往 都要考虑煤的粒度。煤的粒度组成是经试验 确定的，一般可用不同的曲线来描述。在计 算机应用中，如果能用经验公式描述粒度组 成，则可以通过模型进行产物预测，避免繁 重的筛分试验。
§8-1 煤炭的粒度模型
代入上式，可得：
E( S1 ,S2 ) h d y2 y 2 e dy (s s ) y 2 1 m 1
则部分筛分效率为：
( s ,s ) 1 E( s ,s
1 2 1
2)
第二节 筛分数学模型
二、煤用筛分数学模型 1．模型建立 1978年，美国韦兰特建立了一个煤用筛分模 型，他假定粒度分别为S1和S2的两个小颗粒同时 透过一个筛孔的概率与粒度等于S1＋S2的一个颗 粒透过筛孔的概率相等，而且粒度为S1的颗粒透 过筛孔的事件与S2颗粒透过筛孔的事件无关，用 公式表示为：
第二节 筛分数学模型
所以单个颗粒透筛的概率为： 而不透筛的概率即为:
(h s) K1 (h d )
2
(h s) K2 1 (h d )
2
若在m项投掷中，颗粒s的不透筛概率为：
E( s ) (h s ) 2 1 ( h d )
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可采用0.618寻优法求得上式的模型参数A值。
第二节 筛分数学模型
3．预测计算 对于一个筛分过程来说，若已知模型参数A，就 可用公式
E( s ) 1 e
A (1 s ) so
计算出限下物料的部分筛分效率，从而算出筛下 产物的粒度重量。 使用计算机计算筛下产物重量时，首先要计 算限下物料的粒度组成，然后用相应的部分筛分 效率来计算筛下产物。
第二节 筛分数学模型
一、振动筛数学模型 怀坦从单个颗粒透筛概率出发，导出了单层振动 筛的数学模型，并通过最小二乘法 求得有关模型参数。 h 设单个筛孔尺寸为h，筛丝 d 直径为d，粒度为s的单个颗粒垂 h-s 直地投射在单个筛孔上，若要使 s 该颗粒透过筛孔进入筛下物，则 颗粒的中心必须落在筛孔的 (h-s)2面积内，而一个筛孔在筛 面上实际所占面积为(h+d)2，所 以单个颗粒透筛的概率为：[(h-s)/(h+d)]2
RX m
第二节 筛分数学模型
1．筛分过程预测的一般方法和要解决的题： 筛分过程的预测主要是根据原料的粒度组 成来确定筛分产物的数量和它的粒度组成。在 一般的工艺计算中，多数都是根据经验选定一 个总筛分效率，利用它来计算筛分产物的数量。 这种粗略的计算对不出分级产品的选煤厂是可 行的，但对生产多粒级产品的选煤厂或筛选厂， 则显得不够准确。为此，就要使用部分筛分效 率。
二、粒度特性公式
许多学者认为，破碎和磨矿产物的粒度组 成具有一定的稳定性，它的粒度分布有一定的 规律，所以，设想是否可以用一种经验公式表 示其粒度组成。 比较有代表性的公式有两个，即高登公式 和洛辛-拉姆勒公式： 1、高登公式 高登在研究了大量的破碎和磨矿产物的粒 度组成的基础上，在双对数坐标中按粒级的产 率画出曲线，发现在细粒范围内，曲线呈直线， 因此，导出了粒度特性公式如下：
第二节 筛分数学模型
则部分筛分效率为：
E( s ) 1 e
A (1 s ) so
式中：E(s)—平均粒度为s的限下物料的部分筛分 效率。 该模型和怀坦的振动筛模型相比，公式简单， 使用计算都比较方便，模型参数的确定也相对容 易一些。
第二节 筛分数学模型
2．模型参数的确定 模型参数A，韦兰特称之为筛子的分离强度 常数，它与筛子的型式、筛孔大小和给料量有关。 同时，A还与筛子所处的位置和筛分工作条件有 关，与给料的粒度分布无关，一般下层筛的A值 比上层筛小，干筛的A值比湿筛小,（A和E(s)成 正比）。
二、粒度特性公式
2、高登-安德烈夫公式：
y Axk
式中： x—物料粒度；y—负累积产率； A、k—粒度分布参数。 说明：（2）参数k决定曲线的形状，k=1时，曲 线呈直线，表示物料粒度分布均匀；k>1时，曲 线呈凸形，表示大粒度居多；k<1时，曲线呈凹 形，物料以细颗粒为主。
二、粒度特性公式
一、粒度特性曲线
一、粒度特性曲线
累积粒度特性曲线形状可能是凸形、凹形或 直线形。 烟煤通常是凹形曲线，这说明煤比矿石易于 破碎，它是由大量细粒级所组成。 累积粒度特性曲线的优点是能很快地看出任 一粒级物料的累积产率，但是，它对粒度组成 的变化反应不灵敏。 物料粒度组成也可以采用分布曲线表示，分 布曲线是根据各粒级的产率绘制的。即在各粒 级产率的柱状图上，由中点连成曲线。
1 2 n
i o
ˆ 可计算出平均粒度为 s 的限下物料的部分筛分效率 E ， ˆ E si si ，则偏差平 设实测值与计算值的偏差为 Esi ，即 Esi E 方和为： E E 1 e E
i
si
n
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2
A (1
s
i 1
si
si ) so
2
i 1
第二节 筛分数学模型
2、什么是部分筛分效率？ 部分筛分效率就是原料中各种粒级的筛分效率， 由于不同粒级透筛难易程度的不一样，所以部 分筛分效率也是不同的。为此我们可以利用部 分筛分效率分别计算筛下产物中各粒级的产率， 最后综合计算筛分产物的数量。这样就能更准 确地预测生产多粒级的筛选厂的筛分过程。 ∴目前，筛分数学模型主要是解决如何确定筛 分过程的部分筛分效率问题。
P(S1 S 2 ) P(S1 ) P(S 2 )
式中P(S)—粒度为S的颗粒透过筛孔的概率
第二节 筛分数学模型
该方程的一个特解是：
P( S ) e ks
就是说，颗粒透过筛孔的概率是粒度的指数函数。 把 P(s ) e ks1 和P(s ) e ks2
1 2
代入上式，即可证明特解。
二、粒度特性公式
1、高登公式：
w cX k
式中： w-粒级产率；X-物料粒度； k、c-粒度分布参数。 说明：高登公式实际上是一种分布曲线，虽然 也适用于球磨机、棒磨机及辊式破碎机等产物， 但是在使用上并不是很方便。
二、粒度特性公式
2、高登-安德烈夫公式：
y Axk
式中： x—物料粒度；y—负累积产率； A、k—粒度分布参数。 说明：（1）高登-安德烈夫公式的优点是形式 简单，便于计算，式中各参数都具有一定的物理 意义，能够较好地反映物料中细粒（y<60%） 的粒度分布。