电磁学第四章习题答案

第四章 习题一(磁场)
1、一根载有电流I 的无限长直导线，在A 处弯成半径为R 的圆形，由于导线外
有绝缘层，在A 处两导线并不短路，则在圆心处磁感应强度B
的大小为( C )
(A) I (μ0＋1)／(2πR) (B) μ0πI ／(2πR) (C) μ0I(1＋π)／(2πR) (D) μ0I(1＋π)／(4πR)
2、载有电流为I 的无限长导线，弯成如图形状，其中一段是半径为a 的半圆，
则圆心处的磁感应强度B
的大小为( D )
(A) μ0I ／(4a ) + μ0I ／(4πa )
(B))8/(2)4/()4/(a I a I a I o o o πμπμμ++
(C) ∞
(D))4/(2)4/()4/(a I a I a I o o o πμπμ
μ+-3、如图，电流I 均匀地自下而上通过宽度为a 的 无限长导体薄平板，求薄平板所在平面上距板的一 边为d 的P 点的磁感应强度。

解：该薄板可以看成是由许多无限长的细直载流 导线组成的，每一条载流线的电流为dI =Idx /a ， 根据无限长直载流线磁场公式，它们在P 点产 生的磁感应强度的大小为
x
dx
a πI μx πdI μdB 2200=
=，B d 的方向⊗ ∴ d
a
d a πI μx dx a πI μdB B a d d a
d d
+==
=⎰⎰++ln 2200，B 的方向⊗
P
B
4、电流均匀地自下而上通过宽为2a 的无限长导体薄平板，电流为I ，通过板的中线并与板面垂直的平面上有一点P ，P 到板的垂直距离为x ，设板厚可略去不计，求P 点磁感应强度B 。

解：面电流线密度a I j 2/=
在离轴线y 处取一宽为dy 的窄条，其电流为
dy a I
jdy dI 2==, 22y x r +=
P 点B d
的方向如图所示。

r πdI μdB 20=
2
2
0044y
x dy a πI μr dy a πI μ+== 2
2
cos sin y
x x r
x φθ+==
=，2
2
sin cos y
x y r
y φθ+==
=
2204cos y x ydy
a πI μθdB dB x +=
=，2
204sin y x xdy a πI μθdB dB y
+== 04220=+==⎰⎰--a a a
a x x y
x ydy
a πI μdB B
x
a
a πI μx y a πI μy x dy a
πIx μdB B a
a a
a a
a y y arctan 2arctan 4400220
==+==---⎰⎰ y y y x x e x a a
πI
μe B e B B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=arctan 20
5、求上题当a →∞，但维持a
I
j 2=(单位宽度上的电流，叫做电流线密度)为一常量时P 点的磁感应强度。

解：y y
y a e j μe ππj μe x a a πI μB 2
2arctan 2lim 000==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→
第四章 习题二(磁场)
1、如图。

真空中环绕两根通有电流为I 的导线的两种环路，则 对环路L 1有⎰=⋅1
L L d B
I μ0-，
对环路L 2有⎰=⋅2
L
L d B
I μ0，
对环路L 3有⎰
=⋅3
L L d B
0。

2．如图，在无限长直导线的右侧有面积为S 1 和S 2的两个矩形回路与长直载流导线在同一 平面，且矩形回路的一边与长直载流导线平行， 则通过面积S 1的矩形回路的磁通量与通过面积 为S 2
的矩形回路的磁通量之比为： 1:1 。

3．在安培环路定理⎰∑=⋅
L
i
i I μL d B 0
中，∑i
i I 是指闭合路径L 所包围的电流强度
的代数和,B
是指闭合路径L 上各点的磁感应强度,它是由所有电流产生的。

4、一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向 均匀地流有电流I ，若作一个半径为R ＝5a ， 高为L 的柱形曲面，已知柱形曲面的轴与 载流导线的轴平行且相距3a ，如图，则
B
在圆柱侧面S 上的积分⎰=⋅S
S d B 0 。

5、一无限大载流导体平面簿板，面电流密度(即 单位宽度上的电流强度)为j ，试求空间任意点的 磁感应强度。

解:根据电流分布的对称性,磁感应线如图所示
B
线平行于平板平面,垂直于电流的方向,
根据磁场分布的面对称性，选取安培环路abcda 定理：
⎰⎰⎰⎰
⎰⋅+⋅+⋅+⋅=⋅cd
da
bc
L
ab
l d B l d B l d B l d B l d B
ab j μab B cd B ab B 0200==+++= ∴ j B 02
1
μ=
6、有一很长的载流导体直圆管，内半径为a ，外半径为b ，电流为I ，电流沿轴线方向流动，并且均匀地分布在管壁的横截面上。

空间某一点到管轴的垂直距离为r ，如图所示。

求(1)r <a ；(2)a <r <b ；(3)r >b 等各处的磁感应强度。

解: 磁场分布有轴对称性，在垂直于轴的平面上以轴为中心作半径为r 的闭合圆
周L ，根据安培环路定理∑⎰==⋅i L
I μr πB l d B 02。

得：
∑=
i I r
πμB 20。

(1) r < a 时，0=∑i I ，∴0=B (2) a < r < b 时，I a b πa r πI i )
()
(2
222--=∑，∴222202a b a r r πI μB --=。

(3) r > b 时，I I i =∑，∴r
πI
μB 20=
7、将半径为R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h (h < R )无限长狭缝后，再沿轴向均匀地流有电流，其面电流密度为i (如图) ，求管轴线上磁感应强度的大小。

解: 设面电流密度为i ,完整薄管在轴线上产生的磁
感为0B ,割去部分在轴线上产生的磁感为'B
，剩余
部分在轴线上产生的磁感为B
，据磁场的叠加原理
'0B B B +=，∵,00=B ∴'B B
-=而 R
πih μB B 20='=
第四章 习题三(磁场)
1、用相同的导线组成的一导电回路，由半径为R 的圆周及距圆心为R ／2的一直导线组成如图，若直导线上一电源ε，且通过电流为I ，则圆心O 处的磁应强度B 的大小为( C )
(A) )2/(0R I μ (B) 0
(C) )2/(30R I πμ (D)
/31)(2/(0μ+R I 2、如图，由截面均匀的金属丝制成一圆环，在环上两点P 、Q 沿径向引出导线与远处的电源相连，试求圆环中心O 处的磁感应强度。

解：两段沿径向的直线电流和远处电路在O 304r r l Id πμB d
⨯=，204R Idl πμdB =，202044R l I πμR dl I πμB 大大大弧大大弧==⎰，方向⊗
202044R l I πμR dl I πμB 小
小小弧小小弧==⎰
，方向⊙
∵ 大
小小大l l I I = ∴ B 0=B 大-B 小=0 4、(改错)有人作如下推理：“如果一封闭曲面上的磁感应强度B 大小处处相等，
则根据磁学中的高斯定理0=⋅⎰S
S d B
可得到0=⋅=⎰S B dS B S
，又因S ≠0，故
可推知必有B ＝0”，这个推理正确吗？如果错，请说明错在哪里？
答: 这个推理是错误的。

因为⎰⎰⎰==⋅S
S
S
dS B dS B S d B ϕϕcos cos
，而一般情
况下B
与S d 的夹角φ在封闭曲面上各处并不相等，是逐点变化的，因而一般
⎰S dS ϕcos ⎰≠S dS ， 所以BS dS B S d B S S =≠⋅⎰⎰。

可见由上0=⋅⎰S d B S 并不
能推出0==⎰
BS dS B S。

3、如图半径为R 的圆盘均匀带电，电荷面密度为σ(σ>0)，令圆盘以匀速度ω绕过盘心并垂直 于盘面的轴旋转，求轴线上距中心O 为x 处的磁感应强度及O 处的磁感应强度。

解:如图所示rdr dS dq πσσ2==,
σωdq π
ω
dI ==22
/3223
02/32
220)(2)(2x r dr
r σωμx r dI r μdB +=
+=
⎰⎰⎰+=+==∴R R x r dr r σωμx r dr r σωμdB B 02/3222
2002/32230)(41)(21 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=⎰⎰R R x r x r d x x r x r d σωμ02/32222202/122220)()()
()(41 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+++=x x R x x R σωμ221222220，B 的方向垂直盘面向右
在O 处x =0，R σωμB 002
1
=
5、(回答)根据毕一萨定律，算AB 直线电流在P 点产生的磁感应强度
),4/()sin (sin 120OP πββI μB -=现以OP 为半径，在垂直于电流的平面内作一
圆，并以圆为回路，计算B 的环流⎰-=⋅L
ββI μl d B )sin )(sin 2/(120
，为什么
与安培环路定理⎰=⋅L
I μl d B 0
不一致？
答: 此题中用毕─沙定律计算的B 的环流与用安培环路 定理计算的B 的环流不是同一个磁场的环流。

用用毕─沙 定律计算的只是AB 合路径(圆周)所张的任一曲面,只有电流形成回路并与圆周环扣在一起才能满足这一要求,AB 段显然不满足这一条件。

所以AB 的B 的环流不能用安培环路定理表示。

第四章 习题四(磁力)
1、真空中毕一沙定律表达式3
04r
r
l Id B d
⨯=πμ；稳恒磁场的安培环路定理的表达式∑⎰=⋅i L
I l d B 0μ ；磁场的高斯定理表达式0=⋅⎰S
S d B
；安培环路定理说明磁
场是有旋场；磁场的高斯定理说明磁场是无源场。

2、如图在X >0的空间存在均匀磁场，其磁感应强度为B
，方向垂直纸面向里，
当一质量为M ，电量为Q 的电荷以速度
V 在X =0，Y =0处向X 轴正方向进入磁 场，则电荷飞出磁场时的坐标是X = 0 ，
Y =2MV /(QB )；在磁场运动的时间T =πM /(QB )。

3、一氘核在B =1.5T 的均匀磁场中运动，轨迹是半径为40cm 的圆周。

已知氘核的质量为3.34×10-27kg ，电荷为1.60×10-19C 。

(1)求氘核的速度和走半圈所需的时间；(2)需多高的电压才能把氘核从静止加速到这个速度？
已知B =1.5T ，R =0.4m ，q =1.60×10-19C ，m =3.34×10-27kg ，求：(1) v =？Δt =？(2) V =？
解：(1) 由qB mv
R = → )/(1087.210
34.34.05.1106.172719s m m qBR v ⨯=⨯⨯⨯⨯==-- 由v R πT 2=
→ )(1038.410
87.24.014.328
7
s v R πT t Δ-⨯=⨯⨯=== (2) 根据动能定理：02
1
2-=
=mv qV A 得：)(1060.8106.121087.21034.326
19142272V q mv V ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--
Y
× × × × × × × × × × × × × × × ×
X
●
V
Q
4、如图所示，一根长直导线载有电流I 1=30A ，矩形回路载有电流I 2=20A ，试计算作用在回路上的合力。

已知d =1.0cm ，a =8.0cm ，L =0.12m 。

解：x
I B πμ21
0= 在I 1右边,磁场方向为⊗
BC 、DA 所受的安培力大小相等，方向相反，合力为零。

d
πL I I μL I B F AB AB 22102=
=，方向向左AB F
)
(22102d a πL I I μL I B F CD CD
+=
=，方向向右CD F
∴ 作用在回路上的合力的大小为：)
(2210d a d La
I I F F F CD AB +=-=πμ
F
的方向水平向左，指向I 1
5、如图所示，一根长为l 的直导线，质量为m 用细绳子
平挂在外磁场B 中，导线中通有电流I ，I 的方向与B 垂直。

（1）求绳子张力为0时的电流I ，当l =50cm ，m =10g ， B =1.0T 时，I 为多少？（2）在什么条件下导线会向上运动？ 解：(1) 导线所受的安培力大小为F =BIl ，方向向上。

重力大小为W =mg ，方向向下。

绳子张力为0时，F =W ，即BIl=mg 。

∴ Bl
mg
I =
当l =50cm ，m =10g ，B =1.0T 时，)(2.05.0110
10103A Bl mg I =⨯⨯⨯==- (2) 导线向上运动的条件：F > W ，即BIl > mg ，∴ Bl
mg
I >。

l × × × ×
CD I 1
第四章 习题五(磁力)
1、如图一等腰直角三角形线圈abc 与一根无限长直导线处在同一平面内，已知bc=L ，且平行于直导线，a 点与直导线相距R ，导线和线圈分别通于电流I 1和I 2，求线圈所受的磁力。

解：2/L ac ab ==
在I 1的右边，)2/(10x πI μB =，方向⊗。

在ab 取电流元，其受安培力大小
dx x
πI
I μdl x πI I μdl BI dF ab 2222
102102==
=，方向如图。

⎪⎭⎫
⎝
⎛+==
=
⎰⎰+R L πI I μx dx π
I I μdF F L R R
b
a
ab ab 21ln 222102
/2
10，方向垂直ab 斜向上。

同理，⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=
R L πI I μF ac 21ln 22
10，方向垂直ab 斜向下。

而 R
L R
L πI I μL R πL I I μBL I F bc 2/12/)2/(22102102+=+=
=，方向向右。

线圈所受的磁力大小：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
-︒=R L R L R L π
I I μF F F bc ac 2/12/21ln 45cos 22
10 ∵ 恒有R L R L R L 2/12/21ln +>
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+，∴方向垂直于I 1向左。

？ 2、横截面积S =2.0mm 2的铜线弯成如图所示形式，其中OA 和DO'段固定在水平方向不动，ABCD 段是边长为a 的正方形的三边，可以绕OO'转动；整个导线
放在均匀磁场B 中，B
的方向竖直向上，已知铜的密度ρ=8.9g /cm 3，当这铜线
中的I =10A
时，在平衡情况下，AB 段和CD 段与竖
直方向的夹角α=15º。

求磁感应强度B
解：已知S =2.0×10-6m 2，ρ=8.9×103kg /m 3 AB 、BC 、CD 的质量均为m = aS ρ
b
I R
ac O
AB 、CD 所受的安培力方向如图所示
AB F
和CD F 对OO'的力矩为零
BC 所受的安培力大小为aB aB F BC =︒=90sin ，方向垂直BC 水平向外。

BC F 对OO'的力矩大小为αB a αa F h F M BC BC cos cos 2
===，M 的方向向左
BC 所受的重力对OO'的力矩大小为αg ρS a αmga M sin sin 21==，方向向右
AB 、CD 所受的重力对OO'的力矩为αg ρS a αa
mg M sin sin 2222==，方向向右
三边所受重力对OO'的合力矩大小为αg ρS a M M M G sin 2221=+=，方向向右
平衡时，0=+G M M ，即G M M =，有αg ρS a αB a sin 2cos 2
2=
∴ )(104.915tan 8.9109.81022tan 2236T αg ρS B --⨯=︒⨯⨯⨯⨯⨯⨯== 3、如图长直载流导线I 1的右侧，与其共面放置另一导线，轨迹为x =y 2+1，端点的坐标a (2，1)，b (2，-1)，通以电流I 2，试求载有电流I 2的导线所受的安培力。

解：I 1在右侧平面上任一点产生的磁场为
x πI μB 210=
，B 方向⊗，即k x
πI μB
210-= 在通有I 2的导线上任取一电流元)(22j dy i dx I l d I
+=
该电流元受I 1磁场的作用力如图所示。

)()(22102k j dy i dx x
πI I μB l d I F d
-⨯+=⨯=
)1
(2)(22210210j x dx i y dy πI I μj x dx i x dy πI I μ
++-=+-=
载有电流I 2的导线所受的安培力为
1
1210221122
10arctan 212--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-==⎰⎰⎰y i πI I μx dx j y dy i π
I I μF d F b a i I I μi πππ
I I μ 4)4(42210210=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=
I
4、如图所示，一半圆形闭合线圈，半径R =0.1m ，通有电流I =10A ，放置在均匀 磁场中，磁场方向与线圈直径平行，且
B =5.0×10-1T ，试求线圈所受的磁力矩。

解：S I m =,m 的方向⊙。

B m M ⨯=,M
Nm B R πI mB M 0785.02190sin 2==︒= 5、如图一固定的载流大平板，在其附近，有一载流小线框能自由转动或平动，线框平面与大平板垂直，大平板电流与线框中电流方向如图所示，则通电线框
的运动情况从大平板向外看是( C )
(A)靠近大平板AB ； (B)顺时针转动；
(C)逆动时针转动； (D)离开大平板向外运动。