知识点25 可导、可微与连续三个概念之间的关系

f ( x) , x 0, 设 F ( x) x ，其中 f ( x) 在 (, ) 上具有二阶连续导数，且 f (0) 0 ， f (0), x 0.
求 F ( x) 并讨论 F ( x) 的连续性. 解析：同上. 解： x 0 时， F ( x)
x x0 x x0
（A） f ( x) 在 x x0 处必可导且 f ( x0 ) a （B） f ( x) 在 x x0 处连续但未必可导 （C） f ( x) 在 x x0 处有极限但未必连续 （D）以上结论都不对.
x 1, x 0, 解析：用特例法，设 f ( x) x 1, x 0. 1, x 0 ， lim f ( x) lim f ( x) 1 . f ( x ) x 0 1, x 0 x 0
数相等也不能断言此点可导！只需要将导函数视为一般的函数即可：相当于函数 左右极限存在且相等，不等于此点有定义. 解： （D）. 例25.3(难度系数0.4) 设 f x x n sin ( ). （A）令当 lim f x lim x n sin
x 0 x 0
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1 ( x 0 )且 f 0 0 ，则 f x 在 x 0 处 x
1
0
f '(0) lim
x 0
f ( x) f (0) (1 x) e lim lim x 0 x 0 x x
1 x
(1 x) x
x (1 x) ln(1 x) e x 2 (1 x) .. 1 2
综上所述，可知函数 f ( x) 在 (1 , ) 上可导；导函数 f ( x) 在 x 0 点处连续. 例25.5(难度系数0.4)
g ( x) ( x) g (a ) (a ) 存在，即 xa
再据 lim[
xa
g ( x) g (a) ( x)] 存在，可推出 g (a) 0 ，故 g (a) 0 也是 F ( x) 在 xa
x a 处可导的必要条件；故选择（C）.
例25.9(难度系数0.6)
学科：高等数学
第二章 导数与微分
知识点25 可导、可微与连续三个概念之间的关系 精选习题 作者：邹群
例25.1(难度系数0.4) 若 f x 在 x0 可导，则 f x 在 x0 处( （A）必可导 （C）一定不可导 （B）连续但不一定可导 （D）不连续
x x0
).
解析：连续性：若 f x 在 x0 可导，则一定连续，故 lim f x f x0 .下面研 究 可导性：例如 f x x, 则 f x 在 x0 0 处可导；但是 f x x 在 x0 =0处不可导. 解：（B）. 例25.2(难度系数0.6) 设 lim f ( x) lim f ( x) a ，则（ ）.
1 ，因此得 1 2a .故 a , b c 1 . 2
例25.8(难度系数0.6) 设 F ( x) g ( x) ( x) ， ( x) 在 x a 处连续但不可导，
g (a ) 存在，则 g (a ) 0 是 F ( x) 在 x a 处可导的（ ）.
（A）充分条件，但非必要条件 （B）必要条件，但非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分，也非必要条件 解析：遇到两个函数相乘，其中有一个函数不可导，不能轻言相乘后不可导， 需要紧紧抓住导数的定义. 解：据 ( x) 在 x a 处连续但不可导，得 lim ( x) (a ) ，但 lim
x ，而 x 在 x a 处连续但不可导，则 f x 在 x a 处 ( ). 设 f x x a
（A）连续但不可导 （C）仅有一阶导数
x a
（B）可能可导，也可能不可导 （D）可能有二阶导数
x a x a x a
解析： f a lim f x lim x a x lim x a lim x 0 a 0 ,
f x , 设 F x ax b,
若x x0 若x x0
，其中函数 f x 在 x x0 为左方可导的，应当如何选
取系数 a 和 b ，使函数 F x 在点 x0 处连续且可微. 解析：利用可导、可微和连续的关系： F x 在点 x0 处连续得出 a 和 b 的关系； 再由 F x 在点 x0 可微分，则 F ' x0 存在，求出 a ，回代求出 b . 解：由 F x 在点 x0 处连续可知 lim F x lim F x = F ( x0 ) ，因此得
xa
( x) (a)
xa
xa
不
存在，据 g (a ) 存在，即得 lim
xa
g ( x) g (a) 存在， xa g ( x) ( x) g (a ) (a ) g ( x) ( x) lim 设 g (a ) 0 ，则 F (a ) lim xa xa xa xa [ g ( x) g (a )] ( x) lim g (a ) (a ) ， xa xa
xf ( x) f ( x) , x 0, 2 x F ( x) f (0) , x 0. 2
lim F ( x) lim
x 0 x 0
xf ( x) f ( x) xf ( x) f (0) lim F (0) ， 2 x 0 x 2x 2
ex , x0 例25.7(难度系数0.6) 设 f ( x ) 2 ， f (0) 存在，求 a, b, c . ax bx c, x 0
解析：若 f (0) 存在，则 f (0) f (0) ， f ( x) ， f ( x) 在 x 0 连续，由定义即可 计算 a, b, c . 解：因为 f (0) 存在，所以 f (0) f (0) ，首先增多非分段点求导，则
f ( x) 1 ， lim f ( x) 1 ， f ( x) 在 x 0 处极限不存在，自然不连续. 但是 lim
x 0 x 0
故排除（A），（B），（C），选择（D）. 注意:这几个结论都容易误导人！凡是遇到诸如概念之间的关系的题目均应 视为“雷区”须小心翼翼，才不会“触雷”.例如(A),在某点周边有导数，甚至左右导 数相等也不能断言此点可导！只需要将导函数视为一般的函数即可：相当于函数 左右极限存在且相等，不等于此点有定义. 解： （D）. 例25.6(难度系数0.6)
要使 lim h
h 0
n 2
1 h lim h n 2 存在，即 n 2 .
h 0
解：（C） 例25.4(难度系数0.4)
1 (1 x) x , x 0 证明函数 f ( x) 在 (1 , ) 上可导，并研 ,x0 e
究其导函数 f ( x) 在 x 0 点处的连续性. 解析：分段函数在分段点的连续性和可导性必须要根据导数的定义判断. 解：当 x 1 且 x 0 时，
1 f 0 0 时才可微 x
（B）在任何条件下都可微 （C）当且仅当 n 2 时才可微 （D）因为 sin
1 在 x 0 处无定义，所以不可微 x
解析：因为可微与可导两个概念是等价的，所以只需考虑可导性.
f (0 h ) f (0) h sin 1 h h n sin 1 1 f (0) sin h h， h n 2 1 h h
f x 在 x a 处连续； f ' a lim
x a
x a x lim x a ， f ( x ) f (a ) lim x a x a xa xa
一阶导数一定存在.由于在a点附近的一阶导不能求，因此函数的二阶导数不能求 . 解：（C）.
故 F ( x) 在 x 0 连续，又 F ( x) 在 x 0 连续，所以 F ( x) 在 (, ) 上连续.
例25.4(难度系数0.6) 设 lim f ( x) lim f ( x) a ，则（ ）.
x x0 x x0
（A） f ( x) 在 x x0 处必可导且 f ( x0 ) a （B） f ( x) 在 x x0 处连续但未必可导
（C） f ( x) 在 x x0 处有极限但未必连续
（D）以上结论都不对.
x 1, x 0, 解析：用特例法，设 f ( x) x 1, x 0. 1, x 0 ， lim f ( x) lim f ( x) 1 . f ( x ) x 0 x 0 1, x 0
1 ln(1x x ) x (1 x) ln(1 x) x ； f ( x) e (1 x) x 2 (1 x)
x (1 x ) ln(1 x ) 0 ln(1 x ) e lim f ( x ) e lim e lim ； 2 2 x 0 x 0 x 0 2 x 3 x x (1 x ) 2
f ( x) 1 ， lim f ( x) 1 ， f ( x) 在 x 0 处极限不存在，自然不连续. 但是 lim
x 0 x 0
故排除（A），（B），（C），选择（D）. 注意:这几个结论都容易误导人！凡是遇到诸如概念之间的关系的题目均应 视为“雷区”须小心翼翼，才不会“触雷”.例如(A),在某点周边有导数，甚至左右导
xf ( x) f ( x) ； x2
f ( x) f (0) F ( x) F (0) x F (0) lim lim x 0 x 0 x x f ( x) xf (0) f ( x) f (0) lim lim 2 x 0 x 0 x 2x f ( x) f (0) lim （据二阶导的连续性） x 0 2x 2
e x , e x , x 0, x 0, f ( x) f ( x) 2ax b, x 0, 2a, x 0,
因为 f ( x) 在 x 0 连续，所以 f (0 ) f (0 ) ，因此得 1 c ，因为 f ( x) 在 x 0 连续，所以 f (0 ) f (0 ) ，因此得 1 b ，因为 f (0) f (0) ，所以 f (0 ) f (0 )
故 g (a ) 0 是 F ( x) 在 x a 处可导的充分条件； 设 F ( x) 在 x a 处可导，所以 F (a ) lim
xa
F (a ) lim
xa
g ( x) ( x) g (a ) (a ) xa g ( x ) ( x ) g ( a ) ( x ) g ( a ) ( x ) g ( a ) ( a ) lim x a xa g ( x) g (a) ( x) (a) lim[ ( x) g (a) ] 存在 xa xa xa