最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

则复合函数 y＝f[g(x)]为奇函数。 说明： （1）复数函数 f[g(x)]为偶函数，则 f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是 f[－g(x)] ＝f[g(x)]，复合函数 y＝f[g(x)]为奇函数，则 f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是 f[－g(x)]＝－f[g(x)]。 （2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则 f(x＋a)＝f(－x＋a)；
性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
f
(x)
f f
(x) (x
kT)
xa, b xkT a, kT b
2、奇偶函数：
设 y f (x), x a,b或x b,a a,b
①若 f (x) f (x), 则称y f (x)为奇函数； ②若 f (x) f (x)则称y f (x)为偶函数 。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：
6、函数对称性的应用
（1）若 y f (x)关于点（ h, k)对称，则 x x / 2h, y y / 2k ,即
f (x) f (x/ ) f (x) f (2h x) 2k
f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) f (2h xn ) f (2h xn1 ) f (2h x1 ) 2nk
A2 B2
A2 B2
Ax By C 0 成轴对称。
Leabharlann Baidu
③ F(x, y) 0与F(x 2A(Ax By C) , y 2B(Ax By C)) 0 关于直线
A2 B2
A2 B2
Ax By C 0 成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数 y f (x) 图象本身的对称性（自身对称） 若 f (x a) f (x b) ，则 f (x) 具有周期性； 若 f (a x) f (b x) ，则 f (x) 具有对称性： “内同表示周期性，内反表示对称性”。
①点 A(x, y)与B(2a x,2b y)关于点(a,b)对称； ②点A(a x,b y)与B(a x,b y)关于(a,b)对称； ③函数y f (x)与2b y f (2a x)关于点(a,b)成中心对称； ④函数b y f (a x)与b y f (a x)关于点(a,b)成中心对称； ⑤函数F（x, y) 0与F(2a x,2b y) 0关于点(a,b)成中心对称。
1、 f (a x) f (b x) y f (x) 图象关于直线 x (a x) (b x) a b 对称
2
2
推论 1： f (a x) f (a x) y f (x) 的图象关于直线 x a 对称
推论 2、 f (x) f (2a x) y f (x) 的图象关于直线 x a 对称
3、 f (x a) f (x) y f (x) 的周期为T 2a
4、 f (x a) 1
y f (x) 的周期为T 2a
f (x)
5、 f (x a) 1
y f (x) 的周期为T 2a
f (x)
6、 f (x a) 1 f (x) y f (x) 的周期为T 3a 1 f (x)
2
2
11、 y f (x) 有两条对称轴 x a 和 x b (b a) y f (x) 周期T 2(b a)
推论：偶函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期T 2a
12、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b a) y f (x) 周期T 2(b a)
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函 数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值, 特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一 个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比 较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及 函数知识灵活运用的能力
7、 f (x a) 1
y f (x) 的周期为T 2a
f (x) 1
8、 f (x a) 1 f (x) y f (x) 的周期为T 4a 1 f (x)
9、 f (x 2a) f (x a) f (x)
y f (x) 的周期为T 6a
10、若 p 0, f ( px) f ( px p ) , 则T p .
推论 1:函数 y f (a x) 与 y f (a x) 图象关于直线 x 0对称
推论 2:函数 y f (x) 与 y f (2a x) 图象关于直线 x a 对称
推论 3:函数 y f (x) 与 y f (2a x) 图象关于直线 x a 对称
（三）抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性
推论 3、 f (x) f (2a x) y f (x) 的图象关于直线 x a 对称 2、 f (a x) f (b x) 2c y f (x) 的图象关于点 (a b , c) 对称
2
推论 1、 f (a x) f (a x) 2b y f (x) 的图象关于点 (a, b) 对称
推论 1、 复合函数 y＝f(a＋x)与 y＝f(a－x)关于 y 轴轴对称 推论 2、 复合函数 y＝f(a＋x)与 y＝－f(a－x)关于原点中心对称
4、函数的周期性 若 a 是非零常数，若对于函数 y＝f(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件 之一成立，则函数 y＝f(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 5、函数的对称性与周期性 性质 5 若函数 y＝f(x)同时关于直线 x＝a 与 x＝b 轴对称，则函数 f(x)必 为周期函数，且 T＝2|a－b| 性质 6、若函数 y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函 数 f(x)必为周期函数，且 T＝2|a－b| 性质 7、若函数 y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 x＝b 轴对 称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T＝4|a－b|
1、周期函数的定义：
对于 f (x) 定义域内的每一个 x ，都存在非零常数T ，使得 f (x T ) f (x) 恒成立，
则称函数 f (x) 具有周期性，T 叫做 f (x) 的一个周期，则 kT （ k Z, k 0 ）也是 f (x) 的
周期，所有周期中的最小正数叫 f (x) 的最小正周期。
（2）轴对称：对称轴方程为： Ax By C 0 。
① 点A(x, y)与B(x/ , y / ) B(x 2A(Ax By C) , y 2B(Ax By C)) 关 于
A2 B2
A2 B2
直线 Ax By C 0成轴对称；
②函数 y f (x)与y 2B(Ax By C) f (x 2A(Ax By C)) 关于直线
（2）例题
1、 f (x) a x 关于点（ 1 ，1）对称： f (x) f (1 x) 1;
ax a
22
f
(x)
4x 2
1
x1
2
x
1关于（ 0，1）对称：
f
(x)
f
(x)
2
f
(x)
1 x
1
(
R, x
0)关于（1 ，1）对称：f（x) 22
f
(1) x
1
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) f (x) 0 。
f (x 2)1 f (x) 1 f (x) ， f (1) 2 3, 求 f (1989) 的值. f (1989 ) 3 2 。
2、比较函数值大小
1.求函数值
例 1.（1996 年高考题）设 f (x) 是 (,) 上的奇函数， f (2 x) f (x), 当
0 x 1时， f (x) x ，则 f (7.5) 等于（-0.5）
（A）0.5;
（B）-0.5;
（C）1.5;
（D）-1.5.
例 2．（1989 年北京市中学生数学竞赛题）已知 f (x) 是定义在实数集上的函数，且
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a＝0 时的特例。
2、复合函数的奇偶性 定义 1、 若对于定义域内的任一变量 x，均有 f[g(－x)]＝f[g(x)]，
则复数函数 y＝f[g(x)]为偶函数。 定义 2、 若对于定义域内的任一变量 x，均有 f[g(－x)]＝－f[g(x)]，
y＝f(x＋a)为奇函数，则 f(－x＋a)＝－f(a＋x) （3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数 y＝f(x)关于直线 x ＝a 轴对称（或关于点（a，0）中心对称）
3、复合函数的对称性 性质 3 复合函数 y＝f(a＋x)与 y＝f(b－x)关于直线 x＝（b－a）/2 轴对称 性质 4、复合函数 y＝f(a＋x)与 y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中 心对称
分段函数的周期：设 y f (x) 是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C: y f (x),
x a,b,T b a 。把 y f (x)沿x轴平移KT K(b a) 个单位即按向量
a (kT,0)平移，即得y f (x) 在其他周期的图像：
y f (x kT), x kT a, kT b。
推论：奇函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期T 4a
13、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) (b a) f (x) 的T 4(b a)
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分 析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
推论 2、 f (x) f (2a x) 2b y f (x) 的图象关于点 (a, b) 对称
推论 3、 f (x) f (2a x) 2b y f (x) 的图象关于点 (a, b) 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数 y f (x) 与 y f (x) 图象关于 Y 轴对称
3、若 f (x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f (x) 的图像关于直线 x a 对
称。设 f (x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2 ) xn (2a xn ) na .
2
2、奇函数 y f (x) 与 y f (x) 图象关于原点对称函数
3、函数 y f (x) 与 y f (x) 图象关于 X 轴对称
4、互为反函数 y f (x) 与函数 y f 1(x) 图象关于直线 y x 对称
5.函数 y f (a x) 与 y f (b x) 图象关于直线 x b a 对称 2
2
(当n 2k 1时，必有x1 2a x1, x1 a)
（四）常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、 f (x T ) f (x) ( T 0 ) y f (x) 的周期为T ， kT ( k Z )也是函数的周期
2、 f (x a) f (x b) y f (x) 的周期为T b a