量子力学3.3一维谐振子

n
第二式称作n阶厄米多项式，宇称为(-1)
满足下列递推关系
dH n ( ) 2nH n 1 ( ) d H n 1 ( ) 2H n ( ) 2nH n 1 ( ) 0
H n ( )是的n次多项式 :
H 0 ( ) 1 H ( ) 2 1 2 H 2 ( ) 4 2
π 在其它范围也能找到粒子。
W0 ( x) 0 ( x)
2

e
2 x 2
经典：
在x 0处粒子的速率最大，概率最小。
基态谐振子只允许在 | x | 1 (| | 1)的区域 中运动，而 | x | 1属于经典禁区。
当振子处于最大位移处时，势能=总能量 1 1 2 2 V ( x) x =E= 2 2
2
线性谐振子 n=11 时的概率密度分布
11
2
n 11
x
虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短 粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。
当n 时 :
量子概率分布过渡到经典概率分布 符合玻尔对应原理
11(x)2
量子
经典
3、经典禁区
量子： 以基态为例，在x = 0 处概率最大
§3.3
一维谐振子
引
言
1.经典谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力 F k x 作 用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
d 2x 2 k x x 2 x 0 k dt 其解为 x A cos t 。这种运动称为简谐振动，作这种运
n n ( x) n ( 1 ) e 2 n!
1/ 2
2 2
x /2
d 2 x 2 e n d(x)
n
最常用的几个态：
n 0， 基态
1 E 0 ， 2
1/ 2
n 1, 第一激发态 E1 ，
2
1 2 x2 2 2 1 ( x) xe 1/2
( x a) 2
xa
记
2V k 2 x
xa
若取 V0 0，即平衡位置处于势 V0 0 点；并记
k 2 ，x'=x-a则
1 V x 2 x 2 2
1 2 凡是在势能为U( x ) kx 的场中运动的微观体系都称之为 2
线性谐振子。
1.能级
1 E n (n ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
E n E n 1 E n
即能级是等间距的。 1 E （基态能量） (2)存在零点能 0 。 2 在T 0 时也有振动，这是旧量子论中没有的，已被实验所
证实，这纯属量子效应，是由于微观粒子具有波粒二象性所导 致的。
在 x a 处，有一极小值 。 x a势可以展开 在 V0 附近， 成泰勒级数：
V(x) a 0
V0
x
V (a) V0
V x
0
xa
1 V 1 2V V ( x) V (a ) ( x a) 1! x xa 2! x 2 1 V0 k ( x a ) 2 2
x
2



1

2
x

1


1

为 谐 振 子 的 特 征 长 度 。
1
| ( x) | 2
x ~ 为振动转折点，
| x | 1属于经典禁区.
见右图。
1
1
但按照量子力学观点，粒子仍有一定几率 出现在这个区域。容易算出此几率为

e
1

2
d / e
一维谐振子的本征值问题是处理量子力学 问题的最基本的范例。
一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点 以坐标原点为零势能点 则一维线性谐振子的势能为：
1 2 1 V ( x) kx m 2 x 2 2 2 m 是粒子的质量 k 是谐振子的劲度系数
k m
是谐振子的角频率
二、薛定谔方程及解
2
为得到有界解，幂级数要求中断为一多项式。
可以证明，当 2n 1时可以得出一多项式解
H n ( )
此时
1 1 E En (n ) (n )h 2 2 n 2 2 d n H n ( ) (1) e e n d n = 0, 1, 2, …
x 的 n 次多项式，当 n 为奇数时，只存在奇幂次； 因 H n ( x ) 为
当 n 为偶数时，只存在偶幂次。
( 1) n 。 所以： n ( x ) ( 1) n n ( x ) ，即宇称为
(3) n 有 n 1 个极大值，有 n 个零点（与经典分布不同） ，分 布关于 y 0 对称。
（2）求实际解
1 2 2
利用 ( ) e
2 /2
H ( ) 有
dH 2 /2 H ( ) e d
d 2 /2 2 /2 dH e H ( ) e d d
2 d 2 dH d H 2 /2 2 H ( ) 2 H ( ) 2 e 2 d d d
为化简上述方程，方便求解，引进无量纲参数 x, / , 2E /
上述方程可化为
d2 2 ( ) ( ) ( ) 0------------------- 2 2 d 这是个变系数常微分方程。
(1)先讨论 行为，求渐近解 （此时可略去）。
动的粒子称为（线性Fra Baidu bibliotek谐振子。


2 p • 谐振子哈密顿量：H x 1 2 x 2 2 2
• 谐振子能量：
1 2 2 E A 2
经典允许的振动范围
2.量子谐振子 中运动的质量为
1 2 2 量子力学中的线性谐振子是指在势场V ( x) x 2
的粒子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小 振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射 场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。 简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的 研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子间的势 V 是二者相对距离 x 的函 数，如图所示。 p2 1 2 H kx 2 2 x m1m2 m1 m2
0

2
d 0.16
如下图所示：
d 2 2 [ E V ( x)] 0 2 dx
2
或
d 2 1 2 2 2 [ E x ] 0---------- 1 2 dx 2
2
理想的谐振子是一个无限深势阱，
因为 | x | 时，V ( x) ， ( x) 0为束缚态。
1 2 2 x 2 0 ( x) e 3
（偶宇称）
（奇宇称）
5 n 2, 第二激发态 E2 ， 2 1 1/ 2 x 2 2 2 ( x) (2 x 1)e 2 2
2 2
（偶宇称）
三、结果讨论
对方程
d2 2 ( ) ( ) 0 2 d
1 2 2
其解显然可以写为
( ) ~ e
2
因为
2 ' ( ) ( ), ' ' ( ) ( ) ( ) ( )
根据束缚态边界条件，有 ( ) ~ e
归一化波函数为
是一个实函数。
n ( x) Ae
1/ 2
1 2 2 x 2
H n (x)
其中
A n 2 n!
在求归一化系数A时，要用到厄米多项式的 正交性关系


e
2
H n ( ) H m ( )d 2 n! mn
n
所以归一化波函数为
2. 波函数 n ( x ) 和几率密度 n 0
n0
2
：
0
2
n0
线 性 谐 振 子 波 函 数
x
1
n 1
x
1
x
2
n 1
x
2
n2
2
x
2
n2
线 性 谐 振 子 位 置 概 率 密 度
x
(1) n （ n 0,1,2,... ）有 n 个节点。
(2)宇称为 (1) n ：
代入方程(4)得u( )所满足的方程 2 d H dH 2 ( 1) H ( ) 0-------- 3 2 d d
这就是所谓的Hermite 方程。
0为方程的常点，可在 0邻域用幂级
数展开。
计算表明，一般情况下解为无穷级数。
当 | | 时， ( ) ~ e , 不能满足有界条件。