按理论公式计算地基极限承载力

按理论公式计算地基极限承载力
按理论公式计算地基极限承载力2010-04-1709:58地基的极限承载力pu是指地基发生剪切破坏失去整体稳定时的基底压力，
地基承受荷载的极限压力。

将地基极限承载力除以安全系数K，
即为地基承载力的设计值。

求解地基的极限承载力的途径有二:一是用严密的数学方法求解土中某点达到极限平衡时的静力平衡方程组，以求得地基的极限承载力。

此方法过程甚繁，未被广泛采用。

二是根据模型试验的滑动面形状，通过简化得到假定的滑动面，然后借助该滑动面上的极限平衡条件，求出地基极限承载力。

此类方法是半经
验性质的，称为假定滑动面法。

不同研究者所进行的假设不同，所得的结果不同，下面介绍的是几个常用的公式。

7.3.1普朗德尔公式
普朗德尔(Prandtl,1920)根据塑性理论，导得了刚性冲模压入无质量的半
无限刚塑性介质时的极限压应力公式。

若应用于地基极限承载力课题，则相当
于一无限长、地板光滑的条形荷载板置于无质量(γ=0)的地基表面上，当土体
处于极限平衡状态时，塑性区的边界如图7-3所示(此时基础的埋置深度d=0，
基底以上土重q=γd=0)。

由于基底光滑，Ⅰ区大主应力σ1为垂直向，其边界AD或A1D为直线，破裂面与水平面成45°+φ/2，称主动朗肯区。

Ⅲ区大主应
力σ1为方向水平，其边界EF或E1F1为直线，破裂面与水平面成45°-φ/2，称被动朗肯区。

Ⅱ区的边界DE或DE1为对数螺旋线，方程为r=r0exp(θtan φ)，式中。

取脱离体ODEC(见图7-4)，根据作用在脱离体上力的平衡条件，如不计基底以下地基土的重度(即γ=0)，可求得极限承载力为
(7-8)
其中
Nc=(7-9)
式中Nc--承载力系数，是仅与φ有关的无量纲系数;
c--土的粘聚力(kPa)。

如果考虑到基础有一定的埋置深度d(见图7-3),将基底以上土重用均布超载q(=γd)代替，赖斯纳(Reissner,1924)导得了计入基础埋深后的极限承载力为
(7-10)
其中
(7-11)
(7-12)
式中Nq--是仅与φ有关的又一承载力系数。

普朗德尔的极限承载力公式与基础宽度无关，这是由于公式推导过程中不计基础土的重度所至，此外基底与土之间尚存在一定的摩擦力，因此，普朗德尔公式只是一个近似公式。

在此之后，不少学者在这方面继续进行了许多研究工作，如太沙基(1943)，泰勒(Taylor，1948)，梅耶霍夫(Meyerhof，1951)，汉森(Hansen，1961)，魏西克(Vesic，1973)等。

以下仅对泰勒、太沙基公式、汉森公式及泰勒公式作一简要介绍。

7.3.2泰勒对普朗特尔公式的补充
考虑土体重量，将其等代为换算粘聚力cˊ=γhtanφ,h为滑动土体的换算高度
用c+cˊ代替以上公式(7-10)的c得
式中
Nr--承载力系数，是仅与φ有关的函数。

7.3.3太沙基公式
实际上，地基土是有质量的介质，即γ≠0;基础底面并不完全光滑，而是
粗糙的，基础与地基之间存在着摩擦力。

摩阻力阻止了基底处剪切位移的发生，因此直接在基底以下的土不发生破坏而处于弹性平衡状态，此部分土体(图7-5
中的Ⅰ区)称为弹性楔体(或称为弹性核)。

由于荷载的作用，基础向下移动，弹性楔体与基础成为整体向下移动。

弹性楔体向下移动时，挤压两侧地基土体，
使两侧土体达到极限平衡状态，地基土随之破坏。

太沙基在求解地基极限承载
力公式时作了如下三条假设:条形基础底面是粗糙的;除弹性楔体外，滑动区域
范围内的土体均处于塑性平衡状态;基础底面以上两侧的土体用相当均布荷载
q=γd代替。

根据这三条假设，滑动面的形状如图7-5。

滑动土体共分三个区，Ⅰ区为基础下的弹性楔体(刚性核)，代替普朗德尔解的朗肯主动区，与水平面
成φ角。

Ⅱ区为过渡区，边界为对数螺旋曲线。

Ⅲ区为朗肯被动区，即处于被
动极限平衡状态，滑动边界与水平面成(450-φ/2)。

弹性体形状确定后，根据其静力平衡条件，可导得太沙基极限承载力计算
公式为
(7-13)
式中q--基底水平面以上基础两侧的超载(kPa)，q=γd;
b,d--基底的宽度和埋置深度(m);
Nc,Nq,Nγ--无量纲承载力系数，仅与土的内摩擦角有关，可由图7-6中实线查得，Nc及Nq值也可按式(7-11)及式(7-12)计算求得。

式(7-13)适用于条形荷载下的整体剪切破坏(坚硬粘土和密实砂土)情况。

对于局部剪切破坏(软粘土和松砂)，太沙基建议采用经验方法调整抗剪强度指
标c和φ，即以cˊ=2c/3，
φˊ=arctan(2tanΦ/3)代替式(7-13)中的c和φ，故式(7-13)变为
(7-14)
式中Ncˊ、Nqˊ及Nrˊ--相应于局部剪切破坏的承载力因数，可由φ查图
7-6中的虚线;
其余符号同前。

方形和圆形基础属于三维问题，因数学上的困难，至今尚未能导得其分析解，太沙基根据试验资料建议按以下公式计算:
方形基础(宽度为b)
(7-15)
圆形基础(直径为b):
(7-16)
对于矩形基础(b×l)，可按b/l值在条形基础(b/l=10)与方形基础(b/l=1)之间插入法求得。

若地基为软粘土或松砂，将发生局部剪切破坏，则上两式中的承载力因数均应改用Ncˊ、Nqˊ及Nrˊ值。

7.3.4汉森公式
汉森公式是一个半经验公式，其应用范围较广，北欧各国应用颇多。

我国《港口工程技术规范?》(第5章)也推荐使用该公式。

汉森建议，对于均质地基、基底完全光滑，在中心倾斜荷载作用下地基的竖向承载力可按下式计算
(7-17)
式中Sc、Sq、Sr--基础的形状系数;
ic、iq、ir--荷载的倾斜系数;
dc、dq、dr--基础的深度系数;
gc、gq、gr--地面的倾斜系数;
bc、bq、br--基底倾斜系数;
Nc、Nq、Nγ--承载力系数，Nc、Nq可由式(7-11)及(7-12)计算，Nγ
=1.5(Nq-1)tanΦ。

其余符号意义同前。

汉森认为，极限承载力的大小与作用在基底上倾斜荷载的倾斜程度及大小
有关。

当满足H≤CaA+Ptanδ时(H和P分别为倾斜荷载在基底上的水平及垂直
分力;Ca为基底与土之间的附着力;A为基底面积;δ为基底与土之间的摩擦角)，荷载倾斜系数可按下式计算
(7-18)
(7-19)
(7-20)
β式中η--倾斜地基与水平面的夹角(°)，图7-7所示。

基础的形状系数可由下式确定
η(7-21)
(7-22)
(7-23)
当计入基础两侧土的相互作用及基底以上土的抗剪强度等因素时，可用下
式深度系数近似加以修正
(7-24)
(7-25)
(7-26)
地面或基础底面本身倾斜，均对承载力产生影响。

若地面与水平面的倾角
β(°)以及基底与水平面的倾角η(°)为正值(见图7-7)，且满足η+β≤90°时，两者的影响可按下列近似公式确定
地面倾斜系数
(7-27)
(7-28)
基底倾斜系数
(7-29)
(7-30)
(7-31)
7.3.5地基承载力的安全度
由理论公式计算的极限承载力是在地基处于极限平衡时的承载力，为了保
证建筑物的安全和正常使用，地基承载力设计值应以一定的安全度将极限承载
力加以折减。

安全系数K与上部结构的类型、荷载性质、地基土类以及建筑物
的预期寿命和破坏后果等因素有关，目前尚无统一的安全度准则可用于工程实践。

一般认为可取2~3，但不得小于2，下表给出了汉森公式的安全系数参考值。

表7-1汉森公式的安全系数
土或荷载情况安全系数无粘性土
粘性土
瞬时荷载(风、地震及相当的活载)
静荷载或长时期的活荷载2.03.02.02或3(视土样而定)
【例7-2】若例7.1的地基属于整体剪切破坏，试分别采用太沙基公式及汉森公式确定其承载力设计值，并与p1/4进行比较。

【解】1)根据Φ=22°，由图查得太沙基承载力因数为
Nc=16.9,Nq=7.8，Nr=6.9
则其极限承载力由式(7-13)得
2)根据汉森公式可得Nc=16.9,Nq=7.8,Nr=4.1;垂直荷载ic=iq=ir=1;条形基础Sc=Sq=Sr=1;又因β=0，η=0,有gc=gq=gr=bc=bq=br=1;根据d/b=0.24，可得
dc=1+0.35×0.24=1.1dq=1+2tan22°(1-sin22°)×0.24=1.1dr=1
所以由式(7-17)得
3)若取安全系数K=3(粘性土)，则可得承载力设计值pV为
太沙基公式pV=732.5/3kPa=244.2kPa
汉森公式pV=648.7/3kPa=216.2kPa
而p1/4=219.7kPa
因此，对于该例题地基，汉森公式计算的承载力设计值与p1/4比较一致，而太沙基公式计算的结果相差较大。