2017《优化方案》高考理科数学(新课标)

1．(2015·高考湖北卷改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为

⎩

⎨⎧

x ＝t －1t

，

y ＝t ＋

1t

(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB |. 解：由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y ＝3x .

由⎩

⎨⎧x ＝t －1t

，

y ＝t ＋1t

，

得y 2－x 2＝4.

由⎩⎪⎨⎪

⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，可得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝322或⎩

⎨⎧x ＝－22，y ＝－32

2

，

不妨设A ⎝⎛⎭⎫22，322，则B ⎝⎛⎭⎫

－22

，－322，

故|AB |＝

⎝⎛⎭⎫－22

－222＋⎝⎛⎭⎫－322－3222＝2 5.

2．(2016·唐山模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 2

3＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t

(t 为参数)．

(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；

(2)设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．

解：(1)椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，

y ＝3sin θ

(θ为参数)，直线l ：x －3y ＋9＝0.

(2)设P (2cos θ，3sin θ)，

则|AP |＝（2cos θ－1）2＋（3sin θ）2＝2－cos θ， 点P 到直线l 的距离

d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92

.

由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，

又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝3 5，cos θ＝－4

5

.

故P ⎝⎛⎭

⎫－85，335.

3．(2016·沈阳质量监测)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，

y ＝4sin θ(θ

为参数)，直线l 经过点P (1，2)，倾斜角α＝π

6

.

(1)写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|P A |·|PB |的值． 解：(1)圆C 的标准方程为x 2＋y 2＝16.

直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6

(t 为参数)，即⎩

⎨⎧x ＝1＋3

2

t ，y ＝2＋1

2t (t 为参数)．

(2)把直线l 的参数方程⎩

⎨⎧x ＝1＋3

2

t ，

y ＝2＋12

t

代入x 2＋y 2＝16，

得⎝

⎛⎭⎫1＋3

2t 2＋⎝⎛⎭⎫2＋12t 2

＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0， 所以t 1t 2＝－11，即|P A |·|PB |＝11.

4．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩

⎨⎧x ＝3＋12

t ，

y ＝32

t

(t 为参

数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.

(1)写出⊙C 的直角坐标方程；

(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.

(2)设P ⎝⎛⎭

⎫3＋12t ，3

2t ，又C (0，3)，

则|

PC |＝ ⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭

⎫32t －32

＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．

1．(2016·唐山统考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)，斜率为3的直线l 交y 轴于点E (0，1)．

(1)求C 的直角坐标方程，l 的参数方程；

(2)直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|EA |＋|EB |. 解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)， 得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，

即x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2.

l 的参数方程为⎩

⎨⎧x ＝12

t ，y ＝1＋3

2

t

(t 为参数，t ∈R )．

(2)将⎩

⎨⎧x ＝12

t ，y ＝1＋3

2t

代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得t 2－t －1＝0.

解得t 1＝1＋52，t 2＝1－5

2

，

则|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝ 5.

2．(2016·长春调研)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－3t 2，

y ＝3＋1

2t

(t 为参数)，以坐标原点为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝

⎛⎭⎫θ－π

6.

(1)求圆C 的直角坐标方程；

(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝

⎛⎭⎫θ－π

6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．

解：(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝

⎛⎭⎫θ－π

6，

所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭

⎫32sin θ－1

2cos θ.

又ρ2＝x 2＋y 2

，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，

所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，

由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.

将⎩

⎨⎧x ＝－1－3

2

t ，

y ＝3＋1

2

t

代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t ，

又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]． 3．(2016·太原联考)已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建

立极坐标系，点P 的极坐标为⎝

⎛⎭⎫23，π

6，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋23ρsin θ＝1.

(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；

(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，

y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小

值．

解：(1)点P 的直角坐标为(3，3)．

由ρ2＋23ρsin θ＝1，得x 2＋y 2＋23y ＝1， 即x 2＋(y ＋3)2＝4，

所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋3)2＝4. (2)曲线C 的参数方程为 ⎩⎨

⎧x ＝2cos θ，

y ＝－3＋2sin θ

(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －2y －7＝0. 设Q (2cos θ，－3＋2sin θ)，

则M ⎝⎛⎭⎫32＋cos θ，sin θ，那么点M 到直线l 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪32＋cos θ－2sin θ－712＋22

＝⎪

⎪⎪⎪

cos θ－2sin θ－1125