生活中的优化问题

（２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 3 4 r 润为：y f (r ) 0.2 0.8r 2 0 r 6 令 f ' ( r ) 0.8 ( r 2 2r ) 0 当r 2时, f ' ( r ) 0. 当r (0,2)时, f ' (r ) 0;
60 x 则箱高为 h 2 2 60 x 箱子容积为 V ( x) x ( ) (0 x 60) 2 3 2 由 V ( x) 60 x x 0 2
解得 x1=0 (舍), x2=40. h x
练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长 相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个 无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大? 最大容积是多少? 解 设箱底边长为 x,
解 设箱底边长为 x, 箱子容积为
2
解得 x1=0 (舍), x2=40.
60 x V ( x) x ( ) (0 x 60) 2 由 V ( x) 60 x 3 x 2 0 2
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0. ∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个 极大值就是函数V (x)的最大值.
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问题2:饮料瓶大小对饮料公司 利润 有影响吗?
来自百度文库
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品 一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道 它的道理吗? • 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
知识背景 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子制造成 本是0.8πr2分.其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出 售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶 子的最大半径为6cm. （１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
当x (0,16)时, s' ( x ) 0; 当x (16,)时, s' ( x ) 0;
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也 是最小值点。所以，当版心高为16dm,宽 为8dm时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报 四周空白面积最小。
练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？ 解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0<x<l 则两个正方形面积和为
128 dm 解：设版心的高为xdm,则宽为 x
此时四周空白面积为
512 2x 8, x 0 x
128 2) 128 x
s( x ) ( x 4)(
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣 传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报， 要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空 1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最 小？ 128 dm, 解：设版心的高为xcm,则宽为 x 此时四周空白面积为：
1.4 生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题，通过前面的学习， 知道，导数是求函数最大（小）值的 有力工具，本节我们运用导数，解决 一些生活中的优化问题。
问题1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报 进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各 空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才 能使四周空白面积最小？
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当r (2,6) 时, f ' (r ) 0.
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 3 4 r 润为： y f (r ) 0.2 0.8r 2 (0 r 6)
令 f ' ( r ) 0.8 ( r 2 2r ) 0
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当r 2时, f ' ( r ) 0. 当r (0,2)时, f ' (r ) 0; 当r (2,6) 时, f ' (r ) 0. 因此，当r>2时，f’(r)>0,它表示f(r)单调递 增，即半径越大，利润越高； 当r<2时，f’(r)<0,它表示f(r)单调递减，即 半径越大，利润越低。 （1）半径为2时，利润最小。这时f(2)<0,表示 此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时 利润是负值； （2）半径为6时，利润最大。
s( x ) ( x 4)( 128 2) 128 x
2x
512 8, x 0 x
求导数，有 S ' ( x ) 2
512 令s' ( x ) 2 2 0, x
128 128 于是宽为 8 x 16
512 , 2 x
解得，x=16 (x=-16舍去）
练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高与底半径,使得所用材料最省? 解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2. 又V=πR2h(定值), 则h V 2 . R V S ( R) 2R 2 2R 2 2V 2R 2 . R R
x 2 lx 2 S s1 s2 ( ) ( ) 4 4 1 2 2 (2 x 2lx l ) 16
1 1 S (4 x 2l ) (2 x l ) 16 8 l 令S 0, 得x 2
由问题的实际意义可知：
l l 当x 时, S取最小值. 最小值为 . 32 2
2
60 40 V (40) 40 ( ) 16000 (cmh )3 2
答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为16000cm3
x
说明
1、设出变量找出函数关系式； 确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义 2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)