数学建模——基于投资风险决策的分析

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淮阴工学院

专业实践周 (2)

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选题： A 组第 30 题

教师：

基于投资风险决策的分析

摘要

本文是对开放式基金投资项目问题的研究，开放式基金投资项目问题在现实生活中有着广泛的应用前景。

本文主要采用运筹学的知识，同时采用了MATLAB的知识，采用整数线性规划建立模型，并进行优化，将实际问题数学化。对于本题，我们层层递进，考虑到了各项目之间的相互影响、风险等这些因素，综合考虑现实市场因素和股票的影响因素，对资金的投入和最终的利润进行比较，然后对各种方法得到的投资方案进行对比，优选出更合理的方案，最后采用数学软件（如：LinGo、MATLAB）进行模型求解。

关键词：整数线性规划LinGo MATLAB 风险率利润

一、问题重述

某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。

表1 项目投资额及其利润单位：万元

请帮该公司解决以下问题：

（1）就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？

（2）在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A1，A3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A4，A5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A2，A6，A7，A8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？

（3）如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。

表2

二、问题的假设

1. 不考虑投资所需的投资费，交易费；

2. 假设投资项目利润，投资风险率不受外界因素影响；

3. 不考虑保留资金以存款的形式获得的利润；

4. 在投资过程中，不考虑政策，政府条件对投资的影响；

5. 在利润相同的情况下，投资人对于每个项目的投资偏好是一样；

三、符号说明

x：第i个项目的投资股数

i

i a ：第i 个项目的年利润 i b ：第i 个项目的投资额

i c ：第i 个项目同时投资时所获得的利润

i t ：第i 个项目的投资上限 i y ：0-1变量，表示是否同时投资 a ：固定的风险度

i q ：第i 个项目的投资风险率

四、问题一的建模与求解

对于问题一，在各个投资项目之间不相互影响，不考虑投资风险，每个项目可重复投资的情况下，本问题是一个简单的整数线性规划问题。总目标是使得第一年所得总利润最大，约束条件是每项投资都不能超过其投资上限，项目投资总额不能超过15亿，重复投资次数必须为大于0的整数。因此，我们可以建立简单的整数线性优化模型，如下：

目标函数：8

1max i i i z a x ==∑

8

1150000..=i i i i i i

i b x s t b x t x =⎧≤⎪⎪⎪

≤⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎩

∑为整数,i 1,2，,8 通过编写lingo 程序（见附录一），解出该线性规划模型的结果，如表3所示：

所以1A 购买5股，2A 购买1股，3A 购买1股，4A 购买4股，5A 股买5股，6A 购买2股，7A 购买5股，8A 购买5股，利润最大为36841.50万元。

五、问题二的建模与求解

对于问题二，在不考虑投资风险的情况下，考虑了项目投资之间的相互影响。总目

标是使得第一年所得总利润最大，约束条件是每项投资都不能超过其投资上限，项目投资总额不能超过15亿，若1A 与3A ，4A 与5A ,2A 、6A 、7A 与8A 同时投资时，它们的年利润将发生改变，重复投资次数必须为大于0的整数。因此，我们可以建立简单的整数线性优化模型，如下：

目标函数：()8

1max 1i i i i i i i z a x y y c x ==-+∑

8

1

113131

4454542

26782678

213452

6

7827

1500010001000..1000=01,1,2,,8i i i i i i i i b x b x t y x x x x y y x x x x y y x x x x

s t x x x x y y y y y y y

y y y y x y i =⎧≤⎪⎪≤⎪⎪

≤⎪⎪≥⎪⎪

≤⎪⎪

⎪≥⎪⎪≤⎪⎨

⎪≥⎪

⎪=⎪

=⎪⎪=⎪=⎪⎪

=⎪⎪⋅⋅⋅⎪

=⋅⋅⋅⎪⎪⎩

∑为整数,i=1,2,,8、 通过编写lingo 程序（见附录三），解出该线性规划模型的结果，如表4所示：

所以1A 购买1股，2A 购买0股，3A 购买6股，4A 购买4股，5A 股买5股，6A 购买4股，7A 购买5股，8A 购买5股，利润最大为37607.00万元。

六、问题三的建模与求解

对于问题三，考虑投资风险，各项目的风险率，如表5所示：

条件是每项投资都不能超过其投资上限，项目投资总额不能超过15亿，重复投资次数必须为大于0的整数。不断改变风险度的数值，将双目标化为单目标函数，求出在不同风险度的情况下利润最大值，建立如下模型：

目标函数：8

1max i i i M a x ==∑

(){}min max i i i N b x q = 8

1150000..1,2,,8i i i i i i

i b x s t b x t x i =⎧≤⎪⎪⎪

≤⎨⎪=⋅⋅⋅⎪⎪⎩

∑为整数， 对此模型进行简化，固定投资风险，优化收益，设a 为固定的最大风险，简化模型如下：

目标函数：8

1max i i i z a x ==∑

81150000150000

..1,2,,8

i i i

i i i i i i i q b x a b x s t b x t x i =⎧≤⎪⎪⎪

≤⎨⎪

≤⎪⎪

=⋅⋅⋅⎩∑为整数， 通过编写matlab 程序（见附录五），得到该图，如图1所示：

4

a

Q

图1