概率论与数理统计第四版第一章答案

习题解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}
{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数
之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(ΛΛΛΛ=Ω；
{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；
{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(Λ=+B A ；
Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；
{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A
3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用C B A ,,表示以下
事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。

解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；
（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；
（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；
（9）C B A ++
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。

试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A ,
313221A A A A A A ++.
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。

5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：
C B A ++，C AB +，AC B -.
解：如图：
BC
A C
B
C AB A B BC
A C
B A
C AB AC B C C AB C AB C B A C B A BC A ABC C AB C B A C B A C B A +=+=++=-+=+++++++=++;
;
6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立举例说明。

解：不一定成立。

例如：{}5,4,3=A ，{}3=B ，{}5,4=C ， 那么，C B C A +=+，但B A ≠。

7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立举例说明。

解：不一定成立。

例如：{}5,4,3=A ，{}6,5,4=B ，{}7,6=C ， 那么{}3)(=--C B A ，但是{}7,6,3)(=+-C B A 。

8. 设3
1)(=
A P ，21)(=
B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ：
（1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）8
1)(=AB P .
解：
（1）2
1)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）6
1)()()()(=
-=-=A P B P A B P A B P ； （3）8
3
8121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。

9. 已知41)()()(===C P B P A P ，16
1)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件
C B A ,,全不发生的概率。

C
B A C
B A C
B A ABC
BC
A C
AB C
B A Ω
A
B
C
C
B A
解：()
)(1)(C B A P C B A P C B A P ++-=++=
=[]
)()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-8
3
016116104141411=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---++-=
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。

一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相
同”； =G
“颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。

解：
271333111)()()(=⨯⨯⨯⨯=
==C P B P A P ；27
8
333222)()(=
⨯⨯⨯⨯==E P D P ； 91271271271)(=++=F P ；9
2
333!3)(=⨯⨯=G P ；
98
911)(1)(=-=-=F P H P .
11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。

解：
一次拿3件：
（1）0588.03
100
12
298==C C C P ； （2）0594.03
100
198
2229812=+=C C C C C P ； 每次拿一件，取后放回，拿3次：
（1）0576.0310098232=⨯⨯=
P ； （2）0588.01009813
3
=-=P ； 每次拿一件，取后不放回，拿3次：
（1）0588.0398
9910097
982=⨯⨯⨯⨯⨯=
P ；
（2）0594.098
9910096
97981=⨯⨯⨯⨯-
=P 12. 从9,,2,1,0Λ中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
{}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。

解：
15
7
)(310381==C C A P ；
15142)(31038392=-=C C C A P 或1514
1)(310
182=-=C C A P 13. 从9,,2,1,0Λ中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。

解：9041
454
10
2839=-=P P P P 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；
解：
（1）41.01211166
=-=&P ； （2）00061.012116
246=⨯=&C P ； （3）0073.012116
2
46112==&C C P
15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

解：
602.03521392131431314=+=&C C C C C C P 或602.013
52
11311311334=-=&C C C C C P
习题解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。

解：
令=i A “取到的是i 等品”，3,2,1=i
3
2
9.06.0)()()()()(3133131====
A P A P A P A A P A A P 。

2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不
合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解：
令=A “两件中至少有一件不合格”，=B “两件都不合格”
5
11)
(1)
()()()|(210
2
621024
=
-
=
-==C C C C A P B P A P AB P A B P 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。

两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别和，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为，求
（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率； （2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率； （3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。

解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P （1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=
862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P （3）8286.093
.01058
.0)()()|(=-==
&B P B A P B A P
4. 设1)(0<<A P ，证明事件A 与B 独立的充要条件是
)|()|(A B P A B P =
证：
⇒：A Θ与B 独立，A ∴与B 也独立。

)()|(),()|(B P A B P B P A B P ==∴ )|()|(A B P A B P =∴
⇐： 1)(01)(0<<∴<<A P A P Θ
又)
()
()|(,)()()|(A P B A P A B P A P AB P A B P ==Θ 而由题设)
()
()()()|()|(A P B A P A P AB P A B P A B P =∴=
即)]()()[()()](1[AB P B P A P AB P A P -=- )()()(B P A P AB P =∴，故A 与B 独立。

5. 设事件
A 与
B 相互独立，两个事件只有A 发生的概率与只有B 发生的概率都
是4
1，求)(A P 和)(B P .
解：4
1
)()(=
=B A P B A P Θ，又ΘA 与B 独立 ∴41)()](1[)()()(=
-==B P A P B P A P B A P 4
1
)](1)[()()()(=-==B P A P B P A P B A P
4
1)()(),()(2
=-=∴A P A P B P A P
即2
1
)()(==B P A P 。

6. 证明 若)(A P >0，)(B P >0，则有
（1） 当A 与B 独立时，A 与B 相容； （2） 当A 与B 不相容时，A 与B 不独立。

证明：0)(,0)(>>B P A P
（1）因为A 与B 独立，所以
0)()()(>=B P A P AB P ，A 与B 相容。

（2）因为0)(=AB P ，而0)()(>B P A P ， )()()(B P A P AB P ≠∴，A 与B 不独立。

7. 已知事件C B A ,,相互独立，求证B A Y 与C 也独立。

证明：因为A 、B 、C 相互独立， ∴)(])[(BC AC P C B A P Y I Y =
)()()()]()()([)()()()()()()()
()()(C P B A P C P AB P B P A P C P B P A P C P B P C P A P ABC P BC P AC P Y =-+=-+=-+=
B A Y ∴与
C 独立。

8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为，和，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。

解：
令321,,A A A 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么9.0)(,8.0)(,7.0)(321===A P A P A P 令B 表示最多有一台机床需要工人照顾，
那么)()(321321321321A A A A A A A A A A A A P B P +++=
902
.01.08.07.08.02.07.09.08.03.09.08.07.0)
()()()(321321321321=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=A A A P A A A P A A A P A A A P
9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为)10(<<p p ，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。

解：令=A “系统（Ⅰ）正常工作” =B “系统（Ⅱ）正常工作” =i A “第i 个元件正常工作”，n i 2,,2,1Λ= n i A A A P A P 221,,,,)(Λ=相互独立。

那么
[])()()(22121n n n n A A A A A A P A P ΛΛ+++=
][[]
)
2(2)
()()()
()()(221
21
1
22122121n n n n n
i i
n n i i
n i i
n n n n n P P P P A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-=-+=
-+=∏∏∏=+==++ΛΛΛ
)]())([()(22211n n n n A A A A A A P B P +⨯⨯++=++Λ
n
n n i n i i n i i
n i
n
i i n i P P P P A P A P A
P A P A A P )2(]2[)]()()()([)
(1
211-=-=-+=
+=∏∏∏==++=+
10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求 （1） 前三人中恰有一人中奖的概率； （2） 第二人中奖的概率。

解：令=i A “第i 个人中奖”，3,2,1=i (1) )(321321321A A A A A A A A A P ++ )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=
)
|()|()()|()|()()|()|()(213121213121213121A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P ++=
注：利用第7题的方法可以证 明)(i n i A A ++与)(j n j A A ++
j i ≠时独立。

系统I
系统II
2
1859410684951068596104=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
或213
10
2614==C C C P （2）)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=
5
2
9410693104=⨯+⨯=
11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。

根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。

解：
令=B “被检验者患有肝癌”， =A “用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么，0004.0)(,10.0)|(,95.0)|(===B P B A P B A P （1）)|()()|()()(B A P B P B A P B P A P += 10034.01.09996.095.00004.0=⨯+⨯=
（2）)
|()()|()()
|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=
0038.01
.09996.095.00004.095
.00004.0=⨯+⨯⨯=&
12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：
（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。

解：令=i B “5件中有i 件优质品”，5,4,3,2,1,0=i
（1）3087.0)7.0()3.0()(3
2252==&C B P
（2）)()
()|()|
(002025
1
2B P B B P B B P B B P i i =
==Y
371.0)
7.0(13087
.0)(1)(5
02=-=-=&B P B P 13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。

开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。

假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算：
（1）抽取的1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。

解：令=A “抽取一件产品为正品” =i A “箱中有i 件次品”，2,1,0=i =B “该箱产品通过验收”
（1）9.010103
1)|()()(2
02
0=-⨯==
∑∑==i i i
i i
A A P A P A P （2）)|()()|()()(A
B P A P A B P A P B P +=
887.005.01.098.09.0=⨯+⨯=
14. 假设一厂家生产的仪器，以概率可以直接出厂，以概率需进一步调试，经调试后以概率可以出厂，并以概率定为不合格品不能出厂。

现该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：
（1）全部能出厂的概率； （2）其中恰有2件不能出厂的概率； （3）其中至少有2件不能出厂的概率。

解：令=A “仪器需进一步调试” ；=B “仪器能出厂” =A “仪器能直接出厂” ；=AB “仪器经调试后能出厂” 显然AB A B +=，
那么8.0)|(,3.0)(==A B P A P
24.08.03.0)|())(=⨯==A B P PA AB P 所以94.024.07.0)()()(=+=+=AB P A P B P 令=i B “n 件中恰有i 件仪器能出厂”，n i ,,1,0Λ= （1）n
n B P )94.0()(= （2）222
222
2)06.0()94.0()06.0()94.0()(----==n n n n n
n C C B P
（3）n n n n n n k k
C B P B
P B P )94.0()94.0(06.01)()(1)(
11
1
2
0--=--=---=∑
15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p ，试求以下事件
的概率：
（1）直到第r 次才成功；
（2）第r 次成功之前恰失败k 次； （3）在n 次中取得)1(n r
r ≤≤次成功；
（4）直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功。

解：
（1）1
)
1(--=r p p P
（2）k
r r k r p p C P )1(11-=--+
（3）r
n r r n p p C P --=)1(
（4）r
n r r n p p C P ----=)1(11
16. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为，第二次为，第三次为. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为，击中飞机二次而飞机被击落的概率为，若被击中三次，则飞机必被击落。

求射击三次飞机未被击落的概率。

解：令=i A “恰有i 次击中飞机”，3,2,1,0=i =B “飞机被击落” 显然：
09.0)7.01)(5.01)(4.01()(0=---=A P
36
.07
.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01()5.01(4.0)(1=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=A P 41
.07
.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)(2=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=A P
14.07.05.04.0)(3=⨯⨯=A P
而0)|(0=A B P ，2.0)|(1=A B P ，6.0)|(2=A B P ，1)|(3=A B P
所以
458.0)|()()(3
==∑=i i i A B P A P B P ；542.0458.01)(1)(=-=-=B P B P
习题解答
1. 设X 为随机变量，且k k X
P 2
1)(==(Λ,2,1=k ), 则
（1） 判断上面的式子是否为X 的概率分布；
（2） 若是，试求）为偶数X P (和)5(≥X P .
解：令Λ,2,1,2
1
)(==
==k p k X P k k （1）显然10≤≤k p ，且
112
1
2121
11=-==∑∑∞
=∞
=k k k k p
所以Λ,2,1,2
1
)(===k k X P k 为一概率分布。

（2）X P (为偶数31
12
1)41411212=-===∑∑∞
=∞=k k k k p
161
121)5(2
121
555=-===≥∑∑∞
=∞=k k k k p X P
2.设随机变量X 的概率分布为λλ-==e k C k X P k
!
)((Λ,2,1=k ), 且0>λ，求常数C .
解：1!1=-∞=∑λλe k c k k Θ，而1!
0=-∞
=∑λ
λe k k k
1!010=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∴-λλe c ，即1)1(---=λe c
3. 设一次试验成功的概率为)10(<<p p ，不断进行重复试验，直到首次成功为止。

用随机变量X 表示试验的次数，求X 的概率分布。

解：Λ,2,1,)1()(1
=-==-k p p k X P k
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p =，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求
（1）X 的概率分布； （2）)5(≥X P 。

解：
（1）Λ,2,1,0,1.0)9.0()1()(=⨯=-==k p p k X P k
k
（2）55
5
)9.0(1.0)
9.0()()5(=⨯===
≥∑∑∞
=∞=k k
k k X P X P
5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。

求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少
解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为41=p ，所以这是一个5=n ,4
1=p 的独立重复试验。

64
1)43()41(43)4
1
()4(0
5554
4
5=
+⨯
=≥C C X P 6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。

根据经验每台设备发
生故障的概率为，各台设备工作情况相互独立。

（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；
（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过
解：
（1）0175.0)99.0(01.020)99.0(119
20
≈⨯⨯--（按Poisson (泊松)分布近似）
（2）λ==⨯==101.0100,100np n （按Poisson (泊松)分布近似） 01.0!1)
99.0()01.0()1(100
1
1
100
1
100100
≤⨯≈=+≥∑∑+=-+=-N k k N k k
k k k e C
N X P
查表得4=N
7. 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson(泊松)分布，且2
1)0(==X P ，求
（1）λ； （2）)1(>X P .
解：2ln ,2
1
!0)0(0
=∴=
=
=-λλλe X P Θ
)]1()0([1)1(1)1(=+=-=≤-=>X P X P X P X P
)2ln 1(2
1
]2ln 2121[1-=+-=
8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X 服从Poisson(泊松)分布。

经统计发现在某本
书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。

解：)2()1(===X P X P Θ，即
2,!
2!
12
1
==
--λλλλλ
e e
2
0-==∴e X P ）
（ 8
4
2)(--==∴e e P
9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的
Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
9. 在长度为t 的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X 服从参数为2t
的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. 求 （1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
解：
（1）2
3)0(23
,3-
===
=e X P t λ
（2）2
51)0(1)1(2
5
,5--==-=≥=
=e X P X P t λ
10. 已知X 的概率分布为：
试求（1）a ； （2）12-=X Y
的概率分布。

解：
（1）123101
2=++++
+a a a a a Θ 10
1
=∴a 。

（2）
11. 设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图所示.
试求:（1）t 的值； （2）X 的概率密度； （3）)22(≤<-X P .
解：
（1）135.02
1
5.0)(21=⨯⨯+⨯-t Θ
1-=∴t
（2）⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∈+--∈+=其它，0
)3,0[,216
1
)0,1[,2121)(x x x x x f
（3）1211
)2161()2121()22012
=+-++=≤<-⎰⎰-dx x dx x X P （
12. 设连续型随机变量X 的概率密度为
⎩
⎨
⎧≤≤=其他,00,sin )(
a
x x x f 试确定常数a 并求)6
(π>X
P .
解：令
1)(=⎰+∞∞
-dx x f ，即1sin 0
=⎰dx x a
1cos 0
=-∴a x
，即2
,0cos π
=
=a a
2
3
|cos sin )6
(2
6
2
6
=
-==>
⎰π
ππ
π
π
x xdx X P 13. 乘以什么常数将使x
x e
+-2变成概率密度函数
解：令
12=⎰+∞
∞
-+-dx ce
x
x
即 14
1)2
1(2
=⎰
+∞
∞---dx e e c x
即 14
1=πce
4
11
-
=
∴e c π
14. 随机变量),(~2
σμN X ，其概率密度函数为
6
4
4261)(+--=
x x e x f π
(+∞<<∞-x )
试求2
,σμ；若已知
⎰
⎰
∞
-+∞
=C
C
dx x f dx x f )()(，求C .
解：
2
22)3(2)2(6
4
43
21
61)(--+--
=
=
x x x e
e
x f ππ
Θ
2=∴μ , 32=σ
若
⎰⎰∞
-+∞
=c
c
dx x f dx x f )()(，由正态分布的对称性
可知 2==μc .
15. 设连续型随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧≤≤=其他,
01
0,2)(x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复试验中“2
1≤X ”出现的次数，试求概率)2(=Y P .
解：412)21(2
1
==≤
⎰xdx X P 64
9)43()4
1()2(2
2
3=
==C Y P 。

16. 设随机变量X 服从[1,5]上的均匀分布，试求)(21x X x P <<. 如果 （1）5121<<<x x ； （2）2151x x <<<.
解：X 的概率密度为⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤=其他
,
051,4
1)(x x f
（1）⎰-=
=<<2
1
221)1(4
1
41
)(x x dx x X x P （2）⎰-==
<<5
1211
)5(4141)(x x dx x X x P 17. 设顾客排队等待服务的时间X （以分计）服从5
1=λ
的指数分布。

某顾客等待
服务，若超过10分钟，他就离开。

他一个月要去等待服务5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y 的概率分布和)1(≥Y P .
解：
2105
1]1[1)10(1)10(-⨯-=--=<-=≥e e X P X P
5,4,3,2,1,0,)1()()(5225=-==∴---k e e C k Y P k k k
5167.0)1(1)1(5
2≈--=≥-e Y P
习题解答
1. 已知随机变量X 的概率分布为
2.0)1(==X
P ，3.0)2(==X P ，
5.0)3(==X P ，试求X 的分布函数；)25.0(≤≤X P ；画出)(x F 的曲线。

解：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥<≤<≤<=3
,
1
32,5.021,2.01
,0)(x x x x x F ；
5.0)25.0(=≤≤X P
)(x F 曲线：
)
(x F 5
.01
2. 设连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥<≤<≤--<=331111,
1,8.0,4.0,
0)(x x x x x F 试求:（1）X 的概率分布； （2）)1|2(≠<X X P .
解：
（1）
（2）3
2
)1()1()1|2(=≠-==
≠<X P X P X X P
3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立
的，且概率均是，设X 为途中遇到红灯的次数，试求（1）X 的概率分布； （2） X 的分布函数。

解：
（1）3,2,1,0,)
5
3()5
2()(33===-k C k X P k
k
k
列成表格
（2）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧≥<≤<≤<≤<=3
,
1
32,12511721,12581
10,125270,0)(x x x x x x F 4. 试求习题中第11题X 的分布函数，并画出)(x F 的曲线。

解：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+
+-<≤-++-<=3
1
30412112
10
141214110)(22x x x x x x x x x F
5. 设连续型随机变量X 的分布函数为
⎩⎨
⎧≤>+=-0
0,0,
)(2x x Be A x F x
试求:（1）B A ,的值； （2）)11(<<-X P ； （3）概率密度函数)(x f .
解：
（1）11)(lim )(2=∴=+=+∞-+∞
→A Be A F x
x Θ
又10)0()(lim 20
-=-=∴==+-→+A B F Be
A x
x Θ
（2）2
1)1()1()11(--=--=<<-e
F F X P
（3）⎩⎨⎧≤>==-0,0
,2)(')(2x x e x F x f x
6. 设X 为连续型随机变量，其分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧
>≤≤++<=.,;1,ln ;1,)(e x d e x d cx x bx x a x F
试确定)(x F 中的d c b a ,,,的值。

解： 10)(=∴=-∞a F Θ 又11)(=∴=+∞d F Θ 又10
)1ln (lim 1
-=∴==++-→c a cx x bx x Θ
又111
)1ln (lim =+-∴==+--→e be d x x bx e
x Θ 即1=b
7. 设随机变量X 的概率密度函数为)
1()(2
x a x f +=
π，试确定a 的值并求)(x F 和
)1(<X P .
解：1)1(2=+⎰+∞
∞
-dx x a
πΘ
即 11|arctan =∴=∞
+∞-a x a π
+∞<<∞-+=+=
⎰∞-x x dt t a x F x
,arctan 1
21)
1()(2ππ 5.0)]1arctan(1
21[)1arctan 121()1()1()1|(|=-+-+=--=<π
πF F X P 8. 假设某地在任何长为t (年)的时间间隔内发生地震的次数)(t N 服从参数为
1.0=λ的Poisson(泊松)分布，X 表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），
试求:
（1）证明X 服从指数分布并求出X 的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率；
（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。

解：
（1） 当0≥t 时，t
e t N P t X P 1.0)0)(()(-===>
t
e t X P t X P t F 1.01)(1)()(--=>-=≤=∴
当0<t 时，0)(=t F
⎩
⎨⎧<≥-=∴-000
1)(1.0x x e x F x
X 服从指数分布（1.0=λ）
（2）26.01)3(3
1.0≈-=⨯-e
F （3）13.0)3()5(≈-F F
9. 设)16,1(~-N X ，试计算（1）)44.2(<X P ； （2）)5.1(->X P ；（3）)4(<X P ； （4）)11(>-X P .
解：
（1）8051.0)4
44
.3()4)1(44.2(
)44.2(=Φ=--Φ=<&X P （2）)5.1(1)5.1(-≤-=->X P X P
5498.0)81
(1)415.1(1=-Φ-=+-Φ-=& （3）)414()414()4|(|+-Φ-+Φ=<X P )43
()45(-Φ-Φ=
6678.01)4
3
()45(=-Φ+Φ=&
（4）[])2()0()2()0()1|1(|>+<=><=>-X P X P X X P X P Y )412(1)410(
+Φ-++Φ=8253.0)4
3
(1)41(=Φ-+Φ=& 10. 某科统考成绩X 近似服从正态分布)10,70(2
N ，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分
解：100
20
)60|(=≥≥X x X P Θ 而 [])
60()
()60()60()()60|(≥≥=≥≥≥=≥≥X P x X P X P X x X P X x X P I
又 Θ8413.0)1(1070601)60(=
Φ=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-=≥&X P 16826.08413.02.0)(=⨯=≥∴x X P
即 16826.0)1(10701)(=Φ=⎪⎭⎫
⎝⎛-Φ-=≥x x X P
83174.01070=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ∴x ，
96.01070≈-x ，6.79≈x 11. 设随机变量X 和Y 均服从正态分布，)4,(~2
μN X ，)5,(~2μN Y ，而)4(1-≤=μX P p ，)5(2+≥=μY P p ，试证明 21p p =.
证明：
)1(44)4(1-Φ=⎪⎭⎫
⎝⎛--Φ=-≤=μμμX P p Θ
)1()1(1551)5(2-Φ=Φ-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+Φ-=+≥=μμμY P p
21p p =∴.
12. 设随机变量X 服从[a,b ]上的均匀分布，令d cX Y +=()0≠c ，试求随机变量Y 的密度函数。

解：
⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=其它,0,||1)(b c
d
y a c c d y f y f X Y 当0>c 时，⎪⎩
⎪
⎨⎧+≤≤+-=其他,0,)(1
)(d cb y d a c a b c y f Y
当0<c 时，⎪⎩
⎪⎨⎧
+≤≤+--
=其他,0,)(1)(d ca y d b c a b c y f Y。