高等土力学(李广信)5.4 土的三维固结

[vx dxdydz vy dydxdz vz dzdxdy]dt v dtdxdydz
x
y
z
t
流出水量＝体积压缩
vx
k
w
u x
,vy
k
w
u y
, vz
k
w
u z
达西定律
k 2u v
w
t
连续性方程
k 2u v
w
t
v
p K
1 2v' E'
3u
x y z
v
t
1 2v' E'
t
5.4.1 三向压缩比奥（Biot）固结理论
1. 平衡方程
z
z
z
z
d
z
ij, j fi
fi为体积力,以土 体为隔离体
x
y
z z u
图5－46 单元体上的应力
以土骨架作隔离体的平衡方程
' x
yx
zx
u
0
x y z x
xy
' y
zy
u
0
x y z y
(1)
xz
yz
' z
平衡、变形协调及本构关系三方程叠加
2u s
' G'
( G' )
v
x
1 G'
u x
0
2vs ( ' G' ) v 1 u 0
G' y G' y
(4)
2ws
' G'
( G' )
v
z
1 G'
u z
'
v'E'
(1 v' )(1 2v' )
G'
E' 2(1 v' )
般是十分相近的 。
图5－66 最大剪应力随时间的变化
由于曼代尔-克雷尔效应，地面透水的土体中一点的剪应力 随时间变化，最大值可能在固结过程中的基础边缘产生。
准三向固结理论只研究土体中超静水 压力的消散过程，不涉及与变形的耦合作 用，并用超静水压力的消散程度定义固结 度，而且认为它等于按土体变形定义的固 结度。
（3）某个区域内的总应力将超过它们的起始 值，因而内部孔隙水由于收缩力迫使其 压力上升。
2）影响曼代尔-克雷尔效应的因素
（1）随地面排水性能增强而强烈。 （2）点的位置：超静水压力出现峰值点的时间随
深度而推后；（平面应变条件）离基础轴线 愈近，效应愈明显 。 （3）随土的泊松比的增大而减小。
0.5 体积不变，没有这一效应。
z=a
M
时间因数 lgTv
图5－59 条形基础下M点的孔压发展
1） 曼代尔-克雷尔效应的原理
u
图5－60 圆形土体的曼代尔-克雷尔效应的原 理示意图
1） 曼代尔-克雷尔效应的原理
（1）在表面透水的地基面上施加荷载，经过 短暂的时间，靠近排水面的土体由于排 水发生体积收缩。
（2）但是内部土体还来不及排水。为了保持 变形协调，表层的压缩必然挤压土体内 部，使那里的应力有所增大。
3u
Cv32u
u t
1 3
t
(5)
Cv3
3
w
kE' (1
2v' )
Cv32u
u t
1 3
t
(5)
Cv3
3
kE' w (1
2v' )
（1） Cv3是三维固结系数；
（2） x y z 是时间t 的函数。
比较：
Cv2u
u t
单向固结
微分方程
2us
(
'
G
G
'
'
)
v
x
1 G'
u x
u t
Cv2
2
w
kE ' (1 v')(1
2v'
)
Cv1
w
kE' (1 ')
(1 v' )(1 2v'
)
Cv3
3 w
kE ' (1
2v' )
Cv2
kE '
2 w (1 v' )(1
2v' )
Cv1
w
kE'(1 ')
(1 v' )(1 2v'
)
Cv1
2(1 v' )Cv2
1 v' 31 v'
Cv3
Cv12u
u t
1 2
t
Cv1
w
kE'(1 ')
(1 v' )(1 2v'
)
1 z
对于荷载一次施加，并且不变
1 0 t
Cv12u
u t
可见，此时比奥理论与太沙基单 向固结理论一致
6.比奥固结理论原理及其在数值计算中应用
（1）未知变量：结点的 us, vs, ws; u； （2）有效应力原理； （3）平衡方程； （4）连续性方程； （5）变形协调条件； （6）本构模型：线性，非线性，弹塑性； （7）时间：从t=0开始，每次增加t； （8）应力应变的非线性：不同时刻参数随有效
Cv
( 2u z2
1 r
u r
2u r 2
)
u t
砂井固结的轴对称问题
图5－71 砂井渗流固结
等效直（半）径：de=1.05t， de=1.125t
2.卡雷洛(Carrillo) 的解答
（1）卡雷洛(Carrillo)也已证明，上述固结方 程可以分解为两种渗流来计算：
2.位移协调条件：应变-位移条件
x
u s x
， y
vs y
， z
ws z
yz
( ws y
v s z
)
zx
u s (
z
ws x
)
xy
( vs x
u s y
)
(2)
u s , vs , ws ：土骨架在x,y,z 方向的位移
3.土骨架的应力应变关系-线弹性广义胡克定律
x
1 E'
3）讨论 （1）由于曼代尔-克雷尔效应，地面透水的土
体中一点的剪应力随时间变化，最大值可
能在固结过程中的基础边缘产生；
（2）由于曼代尔-克雷尔效应，会延滞了固结
使固结速度减少；
（3）按沉降计算固结度Us与按孔压计算固结度 Up可能不同；
（4）在扩散方程中，对于三向和二向问题，固
结系数采用Cv3, Cv2，则解得的超静水压力 的消散过程及固结度U与比奥的精确解一
5.4 土的三维固结
5.4.1 三向压缩比奥（Biot）固结理论 5.4.2 太沙基（Terzaghi）-伦杜立克
（Rendulic）准三维固结理论（扩散方程） 5.4.3 两种固结论理的比较——原理与条件 5.4.4 三向固结的轴对称问题——砂井预
压固结计算
Terzaghi一维固 结曲线
图5－58 圆形基础下土层的三维固结曲线 一维（单向）与三维固结计算的区别
应力变化。
5.4.2 太沙基（Terzaghi)-伦杜立克 （Rendulic）准三维固结理论(扩散方程)
根据一维固结论理，将固结方程进行重要的 简化，解决二、三维固结问题。
1. 变形条件 骨架体应变：
v
p K
3u 3K
K E
3(1 2 )
骨架体变率： v 1 2 ( 3 u )
表面透水性的影响 图5－61 表面透水性对孔压变化的影响
计算点的深度 图5－62 不同深度的计算点孔压的发展
计算点的水平位置 图5－63不同水平位置的计算点孔压的发展
泊松比的影响 图5－64 泊松比的影响
按扩散理论求解固结问题不会出现曼代尔-克 雷尔效应。
u u0
0 t
Tv
图5－65 扩散理论与比奥理论的解答
=0.4~0.5
与一维固结理论计 算结果接近
图5－70 不同条件下计算的
条形基础固结度Us
5.4.4 三维固结的轴对称问题——砂井固 结理论
1. 固结微分方程 2. 卡雷洛(Carrillo) 的解答 3. 理想井的等竖向应变解——巴隆（Barron）
解答 4. 非理性井的情况 5. 其它
1. 固结微分方程 对于轴对称问题，固结微分方程表示为：
u
x y z z
' x
yx
zx
u
0
x y z x
xy
' y
zy
u
0
x y z y
xz
yz
' z
u
x y z z
三个方向上的渗透力：
ixw, iyw, izw
u , u , u x y z
u: 为超静水压力时， 为浮容重 ；
u: 为总水压力（包括静水压力）时， 为饱和容重sat。
比奥
＝0.5, Us
比奥
＝0.5, Up
比奥 扩散方程
1.0 Tv
图5－68 两种理论计算的固结度
比奥理论与扩散方程计算结果比较
a
Us
扩散方程
比奥
扩散方程 a/h =10
a/h =1
h
不排 水
比奥
Tv
图5－69 比奥理论与扩散方程计算的固结度
条形基础以沉降定义
固结度Us
条形基础 a/h=2~ 4
v x
1 G'
u x
0
2vs
(
'
G
G
'
'
)
v y
1 G'
u 0 y
2ws
(
'
G
G
'
'
)
v z
1 G'
u
z
Cv32u
u t
1 3
t
Cv3
3
w
kE' (1
2v' )
太沙基（Terzaghi)-伦杜 立克(Rendulic)
Cv32u
u t
Cv3
3
w
kE ' (1
2v' )
2. 理论假设的比较
相同之处 线弹性 （?） 小变形（小应变） 达西定律 连续性条件：饱和、 不可压缩
主要区别 是否假设正应力之 和在固结与变形过程 中为常数；实际上为 是否满足变形协调条 件。
x y z
0 t
2. 理论建立条件的比较
比奥理论
平衡方程（＋有效应力 原理）
应力应变关系—— 线弹性模型（也可 以是其他模型） 应变－位移关系：变形 协调条件 连续性条件
萨 夫 曼 (Schiffman) 等 的 研 究 表 明 ， 尽 管 从理论上说，扩散理论并不是严密的方法， 如果基础半宽与压缩层厚度之比的a/h＞1， 在工程实用上，用简单的扩散理论估算沉 降-时间关系已有足够精度。
无限厚土层上的圆形基础，表面不排水
0 Up,Us
比奥固结与扩散方程计算比较
＝0, Us
0
2vs
'
(
G' )
v
1
u 0
G' y G' y
(4)
2 ws
(
'
G
G
'
'
)
v
z
1 G'
u z
Cv32u
u t
1 3
t
(5)
5. 二维与一维形式 平面应变
cv22u
u t
1 2
t
cv2
2
w
kE' (1 v' )(1
2v' )
2 2 2 x 2 z 2
2 x z
一维形式：单向渗流固结问题
2us
(
'
G
G
'
'
)
v
x
1 G'
u x
0
2vs
(
'
G
G
'
'
)
v
y
1 G'
u 0 y
2 ws
( ' G' ) v 1
G' z G'
u
z
Cv32u
u t
1 3
t
Cv32u
u t
比奥固结理论
太沙基一维固结理论
1. 两种固结微分方程
比奥(Biot)
2us
(
'
G
G
'
'
)
[
' x
v
'
(
' y
' z
)]
y
1 E'
[
' y
v
'
(
' x
' z
)]
z
1 E'
[
' z
v
'
(
' x
' y
)]
yz
yz
G'
yz
.2(1 E'
v
'
)
ij
1
E
ij
E
kk
ij
zx
zx
G'
zx
.2(1 E'
v
'
)
(3)
xy
xy
G'
xy .2(1 v' )
E'
x
2G' ( x
t E t t
假设：
0 v 31 2 u
t
t
E t
骨架体应变率：
v 31 2 u
t
E t
连续性方程：
k 2u v
w
t
微分方程：
Cv32u
u t
kE '
Cv3 3 w (1 2v' )
2. 二维与一维的形式
二维
一维
2u 2u u Cv2 ( x2 z2 ) t
Cv1
2u z 2
v' 1 2v'
v)
或 者
y
2G' ( y
1
v' 2v
'
v)
z
2G' ( z
v' 1 2v'
v)
xy G' xy， yz G' yz， zx G' zx
ij 2Gij kkij (3ˊ)
或者
ij
1
E
ij
E
kk
ij
(3)
ij 2Gij kkij
G E
2(1 )
E (1 )(1 2 )
3．曼代尔-克雷尔效应(Mandel-Cryer Effect)
在不变的荷重施加于土体上后的某时段内，土 体内的孔隙水压力不是下降，而是继续上升， 而且可能超过应有的压力值。
该现象由曼代尔（Mandel）和克雷尔(Cryer)发 现，故称为曼代尔-克雷尔效应，或称应力传 递效应。
u u0
1.0
2a
对于比奥固结论理，实际存在应力重 分布的真二向或三向固结，在同一时刻的 两种固结度并不相等，而且随值的不同而 改变。
只有在单向固结时二者才会相同。
无限厚土层上的圆形基础，表面不排水比奥固 结论理计算
0 Up/Us
＝0, Us
＝0.5, Us
（沉降）
＝0.5, Up
（孔压）
1.0 Tv
图5－67 按沉降和按孔压计算的固结度
太沙基-伦杜立克
平衡方程
p 3u 3
胡克定律
v
p K
3uwenku.baidu.com3K
不满足
连续性条件
k
w
2u
v
t
两种固结理论的比较
比奥理论
可解得土体受力 后的应力、应变 和孔压的生成和 消散过程，理论 上是完整严密的。
太沙基-伦杜立克
扩散方程假设三个主应 力（总应力）之和不 变，不满足变形协调 条件，（应力应变解 不严密）。只能解出 孔隙水压力u。
v' 0.5 Cv1 Cv2 Cv3
v' 0 Cv1 2Cv2 3Cv3
3. 固结系数的比较
Cv1
w
kE'(1 ')
(1 v' )(1 2v' )
太沙基一维固结理论
Cv
k
mv w
k 1 e＝ Esk
av w
w
Es
1 (1 )(1－2
）E
二者的固结系数是一致的
5.4.3 两种固结论理的比较——原理与条件
2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
方程及未知数个数
2us
(
'
G' G'
)
v
x
1 G'
u x
0
未知数4个：
us, vs ws ：土骨架
2vs
(
'
G G'
'
)
v
y
1 G
'
u y
0
的位移 u：孔隙水压力 三个方程
2ws
(
'
G
G
'
'
)
v
z
1 G'
u z
少一个条件
(4)
4. 饱和土体的连续性方程