管理运筹学 第二章 线性规划的图解法讲解

Z=1=X1+X2
11
? 4．无可行解的情况。
比如例1中增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200：
400
x2
物力、财力，作出最优的产品生产计划，使得工厂获 利最大。
? 3．运输问题。一个公司有若干个生产单位与销售单
位，根据各生产单位的产量及销售单位的销量，如何 制定调运方案，将产品运到各销售单位而总的运费最 小。
1
4．投资问题。从许多不同的投资项目中选出一个 投资方案，使得投资的回报为最大。
共同特点： 首先，要求达到 某些数量上的最大化或最小化 。
问题 1，要求使用原料钢管最少； 问题2, 要求利润最大； 问题 3，要求运费最小； 问题4，要求投资回报最大。 线性规划问题的目标。
其次，一定的 约束条件下追求其目标。
问题 1，在满足生产需要的数量、不同规格的约束 下追求原材料的最小使用量。 问题2, 在现有的人力、物力、财力的限制下来追求 最大利润。
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1 =0
原料A
s2 =50
原料B
s3 =0
8
线性规划标准型
? 加了松弛变量后例 1 的数学模型可写成：
目标函数： max z=50x 1+100x2+0s1+0s2+0s3， 约束条件： x1+x2+s1=300,
2x 1+x2+s2=400,
x 2+s3=250, x 1,x2,s1,s2,s3≥0
Ⅰ Ⅱ 资源限制 设备 1 1 300台时 原料A 2 1 400千克 原料B 0 1 250千克
资源消耗
50+250=300 台时 2×50+250=350 千克
1×250=250 千克．
? 约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
? 用S i表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
2．定义决策变量，决策变量 (X1，X2, …, Xn)的每一组值 表示问题的一个解决方案；
3．用决策变量表示目标函数。 4．用决策变量表示达到目标必须遵循的约束条件。
? 线性规划的数学模型一般形式为 :
目标函数： max (min) Z=c 1x1+c2x2+…+cnxn
约束条件：
a 11x1+a 12x2+…+a 1nxn≤( =, ≥) b 1,
300 x2
x2 400
X1+X2=300 100
2X1+X2=400
100 300
x1
100
x1
x2
X2=250
100 300
100 x1
100 300
6
2x 1+x 2=400
400 ? 阴影部分的每
一点都是这个线
性规划的可行解，
而此公共部分是
可行解的集合，
100
称为可行域。
x2
Z=27500=50x1+100x2
Z=15000=50x1+50x2
Z=0=50x1+50x2 100
B
X2=250
C
2x1+x2=400
100
300
x1
Z=10000=50x 1+50x2
X1+X2=300
线段 BC 上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相
同： 50x1+50x2=15000 。
10
? 3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
2
§2.1 问题的提出
? 例1．某工厂生产 Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位
产品所需的设备台时及 A ，B 两种原材料的消耗，及 资源的限制，如下表所示。
Ⅰபைடு நூலகம்
设备
1
原料A
2
原料B
0
Ⅱ
资源限制
1
300 台时
1
400 千克
1
250 千克
该厂生产单位产品I可获利50 元，生产单位产品Ⅱ可获利
100 元，问该厂应分别生产多少产品Ⅰ和产品Ⅱ才能获利最多?
如何建立模型？
3
? 设工厂生产 x1个Ⅰ产品和x2个Ⅱ产品 ,相应的利润
z=50 x1+100x2 。问题的数学模型如决下策：变量
目标函数： max z=50x 1+100x2，
约束条件：
x 1+x2≤300 ，
台时数
2 x 1+x2≤400，
原材料A
x 2≤250,
原材料B
x 1≥0, x2≥0.
第二章 线性规划的图解法
? 线性规划是运筹学的一个重要分支，是管理者作出最优决策的一个有效的方法。
一些典型的线性规划问题：
? 1．合理利用线材问题。现有一批长度一定的钢管，
由于生产的需要，要求截出不同规格的钢管若干。试 问应如何下料，既满足了生产的需要，又使得使用的 原材料钢管的数量最少。
? 2．产品生产计划。合理充分地利用厂里现有的人力、
如何把模型化为 标准型？
? 三个特征 ：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
? 1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
? 2．无穷多个最优解的情况。
比如例1中的目标函数变为 max Z =50x 1+50x2，则
400 x2
B
X2=250
100
300
x1
? B点为最优解，
坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。
X1+X2=300
? 问题的解：
Z=10000=50x1+100x2
最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得
最大利润27500元。
7
松弛变量
? 最佳决策为 x 1=50, x 2=250 ，此时z=27500 。
目标函数： max z =x 1+x2 约束条件： x1 - x2≤1
x2 -3x1+2x2=6
-3x 1+2x2≤6 x 1≥0, x2≥0．
3
Z=3=X1+X2
注意啊
1
? 可行域无界，目标函数值可
-1
以增大到无穷大，无最优解。 Z=0=X1+X2
? 原因：模型忽略了必要
的约束条件。
X1-X2=1 1 2 3 x1
a 21x1+a22x2+…+a 2nxn≤( =, ≥) b 2,
…………………………
a m1x1+am2x2+…+a mnxn≤( =, ≥) b m, x 1, x2, …, x n≥0.
5
§2.2 图 解 法
? 只含两个决策变量的线性规划，可用图解法求解。
? 图解法.首先把每个约束条件画在二维坐标面上。
? 目标函数为线性函数，约束条件也为线性的，这样
的模型称之为 线性规划 。如果目标函数或约束条件是 非线性的则称为非线性规划。
? 满足约束条件的解称为该线性规划的 可行解。使
得目标函数最大 (或最小)的可行解称为该线性规划的
最优解。
4
? 线性规划问题建模过程：
1．理解问题，搞清在什么条件下，追求什么样的目标。