同济第三版-高数-(8.3) 第三节 全微分

如果必要条件也是充分条件，则求
得了命题的充要条件，此时问题的解
决是圆满的。如果必要条件不是充分
条件，则需进一步考察还应增加什么 条件才可得命题成立的充分条件。
• 讨论函数可微的必要条件 设函数 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处可微，则存在不依 赖于 x、 y 的数 A、B ，使得
对也较易于确定。因此，定理给出了一种判别函数可微 的简便实用的方法。 例如，多元初等函数的偏导数一般 仍是多元初等函数，而多元初等函数
在其定义区域内是连续的，因此多元
初等函数在其定义区域内都是可微的。
(4) 全微分的记法
取 f1( x ,y )= x，f2( x ,y )= y，可得 f1 d f 1 x, y d x x x x x, x x f2 y d f2 x , y d y y y y . y y 即二元函数自变量的微分 d x ,d y 与自变量的增量 x ，
多元函数变化的一般过程对应于函数的全 增量，由于全增量的表达式通常相当复杂，直
接对其进行讨论有困难。为便于讨论有必要寻
函数全增量的简洁的表达形式，全微分就是讨
就是讨论函数全增量的线性化问题。
设有二元函数 z = f( x ,y )，若其在一点( x0 ,y0 )处
x、y 分别有增量 x、 y，则其全增量形式为
z = f( x0 + x ,y0 + y )- f( x0 ,y0 ).
全增量形式一般相当复杂，直接讨论较困难。因此 有必要寻求全增量简洁的表达形式。 最简单的函数形式是线性函数，
因此考虑能否将函数的全增量 z
表示为 x、 y 的线性函数。
将二元函数的全增量近似地表为 x、 y 的线性函
数就是要考虑选择适当的系数 A、B，使得
z = f( x0 + x ,y0 + y )- f( x0 ,y0 ) A x + B y ， 且希望其误差 z -( A x + B y )尽可能地小。
所谓使误差尽可能地小就是使误差相对于动点
P( x ,y )与定点 P0( x0 ,y0 )之间的距离 = P0 P 尽可
f x x , y f x , y x o lim lim A A. x 0 x 0 x x 即 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处的偏导数 fx( x ,y ) 存在，且
有 fx( x ,y )= A .
1 0, x 2 2 2 x 0 x 0 2 2 x y y 0 x y x z f x 0 , 0 x f y 0 , 0 y 不存在。 lim 由此可知， x 0 L2 : lim lim
因为 fx( 0 ,0 )= 0 ， fy( 0 ,0 )= 0 ，故有 fx( 0 ,0 ) x + fy( 0 ,0 ) y = 0 .
z = f( 0 + x , 0 + y )- f( 0 , 0 )
0 x 0 y 0 x y , 于是问题归结为考察是否有
如果函数 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处可微，则其在该
点的两个偏导数 fx( x ,y )，fy( x ,y )必存在，且函数 z = f( x ,y )在点( x ,y )处的全微分具有形式 d z = fx( x ,y ) x + fy( x ,y ) y .
即 dz z x z y .
y 0
x y
2
因此
z -[ fx( 0 ,0 ) x + fy( 0 ,0 ) y ] o( ).
由定义知函数 z = f( x ,y )在点 O( 0 ,0 )处不可微，
即前面导出的可微必要条件并不是充分条件。
定理
可微的充分条件
若函数 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处的两个偏导数
称为函数 z = f( x ,y ) 在点 ( x ,y ) 处的微分，记作:d z，
即 dz = A x+B y . 若二元函数 z = f( x ,y )在区域 D 内每一点都可微，
就称函数 z = f( x ,y )在区域 D 内可微。
(2) 讨论函数微分的意义
多元函数全微分的概念是一种使函数增量线性化的
以二元函数为例，函数 z = f( x ,y )在一点( x ,y )的 全增量 z 一般并不能分解为关于 x、y 的两个偏增量
x z , y z 进行讨论。 z = f ( x + x , y + y )- f( x , y )
[ f( x + x ,y )- f( x ,y )]+[ f( x ,y + y )- f( x ,y )]
由上讨论知： 若函数 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处可微，则其在该点 的两个偏导数必存在，且其全微分具有形式 d z = A x + B y = fx( x ,y ) x + fy( x ,y ) y . dz z x z y . x y
即
可微的必要条件
思想和方法，利用这一方法可以使对函数的研究简化， 这也是微积分的基本思想。 例如，若 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处可微，则存在与
x 、 y 无关的数 A、B ，使得 z = A x + B y + o( ) ，
从而有 lim z lim A x B y o 0 .
同理可求得 f x, y y f x, y o y lim lim B B. y 0 y 0 y y 即 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处的偏导数 fy( x ,y ) 也存在，
且有
fy( x ,y )= B .
x y
• 考察必要条件的充分性 设函数 z = f( x ,y ) 在任一点( x ,y )处两个偏导数 fx( x ,y )，fy( x ,y )存在，考察函数 z = f( x ,y )在点 ( x ,y )处是否可微，即考察是否有
z = f( x + x , y + y ) - f( x , y ) = fx( x ,y ) x + fy( x ,y ) y + o( )
fx( x ,y )，fy( x ,y )连续，则函数 z = f( x ,y ) 在点( x ,y ) 处可微，即有
z -[ fx( x ,y ) x + fy( x ,y ) y ]= o( ).
C. P. U. Math. Dept. ·杨访
(3) 定理的意义
由于函数的偏导数是宜于计算的，它们的连续性相
y 是一样的。
因此，二元函数 z = f( x ,y )的全微分一般可记为： z z z z dz x y dx dy . x y x y
(5) 全微分 — 偏增量的叠加性原理 • 全增量的复杂性 全增量是多元函数增量的Байду номын сангаас般形式，但全增量的计
算通常是比较繁杂的。
0 y 0 f 0, y f 0, 0 f y 0 , 0 lim lim 0. y 0 y 0 y y 即函数 z = f( x ,y )在点 O( 0 ,0 )处的偏导数均存在。
• 考察函数在点 O( 0,0 )处的可微性 考察是否有
z -[ fx( 0 ,0 ) x + fy( 0 ,0 ) y ]= o( ).
z = f( x + x , y + y )- f( x , y )， 可表为 z =( A x + B y )+ o( )，其中 A、B 不依赖 于 x、 y，而仅与 x、y 有关， x 2 y 2 , 则称 z = f( x ,y )在点( x ,y )处可微分，而 A x + B y
z x z y o . x y
由于函数的两个偏导数存在，自然可写出线性式 fx( x ,y ) x + fy( x ,y ) y . 为说明函数的可微性只需验证是否有
z -[ fx( x ,y ) x + fy( x ,y ) y ]= o( )
z f x 0 , 0 x f y 0 , 0 y lim x 0 y 0 ? x y lim 0. 2 2 x 0 x y y 0
为研究此极限的存在性，考察如下特殊路径的极限
L1： y = 0， x → 0；L2： y = x， x → 0 . x y x 0 0, L1 : lim lim 2 2 2 2 x 0 x 0 0 x y x y 0 y 0
x 的偏微分，它仅和 x 的增量 d x 有关。
第二部分 d y z = f y( x ,y )d y 为函数 z = f( x ,y )关于 y 的偏微分，它仅和 y 的增量 d y 有关。
• 全微分的叠加性原理 全微分是全增量的近似表达式，由于二元函数全微 分可表为两偏微分之和，利用全微分研究函数微分 d z 时，d x、d y 对 d z 的影响是独立的。 d z = f x( x ,y )d x + f y( x ,y )d y .
= x z+yz .
全增量的这种性质给函数的研究带来不便。
• 全微分的结构 二元函数 z = f( x ,y )在一点( x ,y )的全微分由两部 分组成 d z = f x( x ,y )d x + f y( x ,y )d y = d x z + d y z . 第一部分 d x z = f x( x ,y )d x 为函数 z = f( x ,y )关于
例：设在 z = f( x ,y )=
xy ，试考察其在点 O( 0 ,0 ) 处的两个偏导数是否存在及其在该点的可微性。
根据定义进行讨论 • 考察函数在点 O( 0,0 )处的偏导数
f x , 0 f 0, 0 f x 0 , 0 lim lim x 0 x 0 x x 0 0 0, x
能地小，即希望有
z - ( A x + B y )= o( )， 或 z = A x + B y + o( )，
其中， P0 P
x2 y .
2
(1) 二元函数全微分的定义 如果二元函数 z = f( x ,y )在点( x ,y )处的全增量
x 0 y 0 x 0 y 0
由此可知函数 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处连续。
(3) 可微条件的讨论
多元函数全微分只是为研究函数增量建立的概念。
函数在一点处的增量是否总可线性化还不得而知，因此 必须研究可微概念的可行性，即研究函数可微的条件。 研究命题条件通常可分两步进行，即先讨论命题成 立的必要条件，再考察必要条件是否充分。
z = f( x + x ,y + y )- f( x ,y )= A x + B y + o( ).
为将函数增量具体线性化，需确定 A、B 的值。
先确定 A 的值，取 y = 0，则相应函数增量化为
f( x + x ,y )- f( x ,y )= A x + o( x )，于是有