第4章小波变换(1)

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但Gabor变换的时－频口是固定不变的，窗口没 有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变 过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现 高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也 就限制了它的应用。
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4.3.3 连续小波变换
1 .小波
形如下式的函数称之为小波。
1 t b a ,b (t ) a a
1 0t 2 1 t 1 2 其他
(12)
该正交函数是由A.Haar于1910年提出的，对t平移时 可得到：
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H (t ) H (t n)dt 0
其波形如图 5所示：

n 0, 1, 2,
(13)
图 5 Haar 小波 39
（2） Mexico Hat小波
能满足这一要求，随后他引用了高斯余弦调制函数，
将其伸缩和平移得到一组函数系，它后来被称之为
“Morlet小波基”。
14
Morlet这一根据经验建立的公式当时并未得到数 学家的认可，幸运的是A.Caldron的发现、Hardy 空间原子分解的深入研究已为小波变换的诞生作
了理论上的准备。
15
后来，J.o.Stromberg构造了第一个小波基。 1986年著名的数学家Y.Meyer构造了一个真正 的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波 基的统一方法－－多尺度分析。

a,b (t ) 却不是唯一的，满足一定条件下的函数均
能作为小波基函数，因而，寻找具有优良特性的
小波基函数就成为小波理论的一个重点研究课题。
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由离散小波的定义，如果把 t 也离散化，并选择 a0=2, b0=1 ，则可得到二进小波:
t n2 m,n (t ) 2m m 2 1
m
2 ( 2 m t n)
m 2
(17)
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6．6．1 二维连续小波 (1) 二维连续小波变换的定义 二维连续小波以变换的定义如下：
f , a ,b W f (a, b1 , b2 )




是小波变换关系，则 也是小波变换关系。
f (t b0 ) W f (a, b wk.baidu.com b0 )
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4.3.4 离散小波变换 1 .离散小波的定义： 在连续小波变换中，伸缩参数和平移参数连续取值，
连续小波变换主要用于理论分析，在实际应用中离
散小波变换更适于计算机处理。
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离散小波的定义可由下式表示：
4. 3 小波变换
1
傅立叶变换的局限性
只能确定信号中有哪些频率，但不能确定此 频率何时发生。
2
傅立叶变换的局限性
在实际中,时变信号是常见的，如语音信号、 地震信号、雷达回波等。 在这些信号的分析中，希望知道信号在突变时 刻的频率成份 在实际应用中，也不乏不同的时间过程却对应 着相同的频谱的例子。
（5）
其中a为尺度参数，b是定位参数。
21
若a>1，函数 a ,b (t ) 具有伸展作用， 若0＜a<1，函数 a ,b (t ) 具有收缩作用。而其 Fourier变换 ( ) 则恰好相反。伸缩参数a对 小波
a ,b (t )
的影响见下图。小波
a,b (t ) 随伸缩参数a平移参数b而变化如下图所
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但Gabor变换的时－频口是固定不变的，窗口没 有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变 过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现 高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也 就限制了它的应用。
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3.4.2 小波变换
小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地 球物理学家J.Morlet于1984年提出的。他在分析地 震波的时频局部特性时,希望使用在高频处时窗变窄, 低频处频窗变窄的自适应变换。但Fourier变换很难
其高阶矩也为零。

（6）


t k (t )dt 0
k 0,1, N 1
（7）
该条件也叫小波的容许条件(Admissibility Condition)
28
C

( )
2



d
（8）
式中 ( ) (t )e jt dt
, C 是有限值
示。
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a:a<1; b: a=1; c: a>1。
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a ,b (t ) 2,15 (t )
0.5,10 (t )
小波 ab (t ) 的波形随参数
a, b 变化的情形
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图中小波函数为
时，
(t ) te 。当a=2, b=15
t 2
a ,b (t ) 2,15 (t )
1 t b a ,b (t ) a a
（11）
如果
数
a ,b (t ) 是复变函数时，上式采用复共轭函
a ,b (t )。
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对于所有的
f (t ) ， (t ) L2 ( R) ，连续小波逆
变换由式（11）给出。
1 f (t ) C

图4显示了Gabor变换与小波变换的滤波特 性。由图可见Gabor滤波是恒定带宽滤波， 而小波滤波随着中心频率增加而带宽加大。
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3. 几种典型的一维小波 小波的选择是灵活的，凡能满足条件的函数均 可作为小波函数，这里仅介绍几种具有代表性的 小波以供参考。
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（1） Haar小波
1 H (t ) 1 0
7
G f (, )


f (t ) g (t )e jt dt
（1）
其中 g (t )e jt 是积分核。该变换在 τ 点附近 局部测量了频率为ω 的正弦分量的幅度。通常g(t)
选择能量集中在低频处的实偶函数；
8
D.Gabor采用高斯(Gauss)函数作窗的函数， 相应的Fourier变换仍旧是Gauss函数，从而保 证窗口Fourier变换在时域和频域内均有局部化 功能。
它意味着 0 处 ( )
连续可积
(0)


(t )dt 0
（9）
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由上式可以看出，小波 (t ) 在 t 轴上取值有 正有负才能保证式上式积分为零。所以
(t )
应有振荡性。
上面两个条件可概括为，小波应是一个具有振荡
性和迅速衰减的波。
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小波变换：
设函数


a 2Wf (a, b) a ,b (t )dadb
(11)
其中
C

( )
2


d
33
图 3加窗Fourier分析和小波分析的时频特性比较
34
a)
恒定带宽(STFT)
f b)
2f
3f
4f
5f
6f
7f
8f
9f
频率
恒定相对带宽(小波变换WT)
f
2f
4f
8f
频率
图4
Gabor）变换特性（a）和小波滤波特性(b) 35
的波形
从原点向 (t )
右移至t=15且波形展宽，a=0.5, b=-10时，
0.5,10 (t )
处且波形收缩。
则是从原点向左平移至t=-10
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随着参数a的减小， a ,b (t ) 的支撑区也随之变窄， 而
a,b (的频谱随之向高频端展宽，反之亦然。 )
这就有可能实现窗口大小自适应变化，当信号频率 增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大，有利于 提高时域分辨率，反之亦然。
Mexico Hat小波是Gauss函数的二阶导数，即：
(t )
2 3
1 (1t 2 )e 4
t 2 2
( 13)
Mexico Hat小波也叫Marr小波，Mexico Hat小波
是实值小波，它的更普遍的形式由下式给出：即
由Gauss分布的n阶导数给出：
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4.小波变换的基本性质 （1）线性 小波变换是线性变换。 设 Wf 1 (a, b) 为 f 1 ( t ) 的小波变换,
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从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得 一提的是比利时女数学家I.Daubechies的“Ten
lectures on Wavelet”一书对小波的普及应用起
了重要的推动作用。
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小波变换的快速算法——Mallat
1986年S.Jafferd、Y.Meyer与从事信号处理的
S.mallat合作指出小波正交基的构造可纳入一个统
(16)

f (t ) a t nb0 dt
m 0
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在Fourier变换中，基函数是
e
jt，理论上基
函数的支撑区无论在时间上还是在频率域都是无限的， 而小波变换的支撑区是有限的，甚至是紧支集，只有
这样才能使小波变换具有局域特性。
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但是，与Fourier变换相比，小波变换的基函数
f (t ) 具有有限能量，即: f (t ) L2 ( R)
则小波变换的定义如下：
W f ( a, b )


f (t ) a ,b (t )dt
（10）
t b f (t ) dt a a 1
f (t ) L2 ( R)
a0,
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其中，积分核就是函数族：
一框架，引入多分辨分析的概念，统一了前人构造
的具体小波，并给出了多分辨分析的构造正交小波
基的一般化方法。S.Mallat还提出了小波变换的快
速分解与重构算法，现在称之为Mallat算法。
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为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适
当放宽。
对于慢变的低频信号，时窗可适当加宽，而频窗应尽 量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。 总之，对多尺度信号希望时－频窗口有自适应性，高 频情况下，频窗大，时窗小，低频情况下，频窗小， 时窗大。
Fourier的完整变换。
11
相应的重构公式为：
1 f (t ) 2





Ga ( ) g (t ) e jt d dt
（3）
窗口Fourier变换是能量守恒变换，即:



1 f (t ) dt 2
2





Ga ( ) d d
2
（4）
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小波 (t ) 的选择既不是唯一的，也不是任意的。
这里 (t ) 是归一化的具有单位能量的解析函数，
它应满足如下几个条件：
(1)定义域应是紧支撑的(Compact Support)，换句
话说就是在一个很小的区间之外，函数为零，也就
是函数应有速降特性。
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(2)平均值为零，即：
(t )dt 0
Wf 2 (a, b)
为
f 2 (t )
的小波变换,
则有:
f (t ) f 1 (t ) f 2 (t )
W f (a, b) W f1 (a, b) W f 2 (a, b)
(14)
41
（2）平移和伸缩的共变性
连续小波变换在任何平移 b0 之下是共变的，即：
如果
f (t ) W f (a, b)
3
4
4.3.1 Gabor变换 由于Fourier变换存在着不能同时进行时间－频率
局部分析的缺点，曾出现许多改进的方法。1946年
D.Gabor提出一种加窗的Fourier变换方法，它在非
平稳信号分析中起到了很好的作用。是一种有效的
信号分析方法，而且与当今的小波变换有许多相似 之处。
5
换句话说，该变换是用一个窗函数 g(t-τ ) 与信号f(t)相乘实现在 τ 附近开窗和平移，
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令窗口函数为 g a (t ) 则有：
g a (t )
1 2 a
e
t 2 / 4a
（2）
式中a决定了窗口的宽度，g
用G
a ( )
(t ) 的Fourier变换 a
表示。
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显然信号f(t)的Gabor变换按窗口宽度分解了 f(t)的频谱 当 τ F(ω ) 。提取出它的局部信息。
在整个时间轴上平移时，就给出了
m t nb0 a 0 1 m ,n ( t ) m m a0 a0

m 2 a0

m a0 t
nb0

(15) 44
相应的离散小波变换可由下式定义：
f , m,n a a
m 2 0
m 2 0

f (t ) m,n (t )dt
然后施以Fourier变换，这就是Gabor变换也称 短时Fourier变换或加窗Fourier变换。Gabor 变换的定义由下式给出：对于 f(t) ∈L2(R)
6
(1). Gabor变换的定义 在Gabor变换中，把非平稳过程看成是一系列短 时平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗 来实现的。整个时域的覆盖是由参数τ的平移达 到的。