狭义相对论推导详细计算过程

狭义相对论

狭义相对论基本原理：

1. 基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价

的。

2. 在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c ，与光源的运动状态无关。

假设S 系和S ’系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S ’系沿S 系的x 轴正方向以速度v 相对于S 系作匀速直线运动，x ’、y ’、z ’轴分别与x 、y 、z 轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。

Ⅰ洛伦兹变换

现假设，x ’=k(x-vt) ①，k 是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S ’系的坐标变换为S 系，有x=k(x ’+vt) ②，另有y ’=y ，z ’=z 。将①代入②：

x=k[k(x-vt)+vt ’] x=k^2*(x-vt)+kvt ’ t ’=kt+(1-k^2)x/kv 两原点重合时，有t=t ’=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S 系，x=ct ，在S ’系，x ’=ct ’，将两式代入①和②：

ct ’=k(c-v)t 得 ct ’=kct-kvt 即t ’=(kct-kvt)/c ct=k(c+v)t ’ 得 ct=kct ’+kvt ’ 两式联立消去t 和t ’

ct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/c

ct=k^2ct-k^2vt+k^2vt-k^2v^2t/c c^2=k^2c^2-k^2v^2

k=

2

2

/11c

v -

将k 代入各式即为洛伦兹变换： x ’=2

2

/1c

v vt x --

y ’=y z ’=z t ’=

2

2

2/1/c

v c vx t --

或有

x=k(x ’+vt ’) x ’=k(x-vt) =k(1+v/c)x ’ =k(1-v/c)x 两式联立，

x’=k(1-v/c)k(1+v/c)x ’ k=

2

2

/11c

v -

Ⅱ同时的相对性

S 中取A （x 1,y,z,t 1）和B （x 2,y,z,t 2），同时发出一光脉冲信号，即t 1= t 2，且x 1≠x 2。 在S 中，Δt= t 1- t 2=0 在S ’中，t 1’=

2

2

211/1/c

v c vx t -- t 2’=

2

2

222/1/c

v c vx t --，Δt ’= t 1’- t 2’=

2

2

2

12/1/)(c

v c v x x --，由于x 1

≠x 2，则S ’中，Δt ’≠0。

即在S 系中不同位置同时发生的两个事件，在S ’系中看来不是同时发生的。亦可说明时间和空间是相互联系的。

Ⅲ时间延缓效应（时钟变慢）

如Ⅱ中，对于S 系同时发生的两事件，在S ’系中出现了时间间隔，即时间膨胀或延缓。 设S ’系中的x 0’处先后在t 1’和t 2’发生两事件，则Δt ’= t 2’- t 1’。在S 系中，

Δt= t 2- t 1=

2

2

202/1/''c

v c vx t -+-

2

2201/1/''c

v c vx t -+=

2

2

/1t'c

v -∆＞Δt ’

说明在S ’系中，两事件的时间间隔小于在S 系看来的间隔，即在S 系看来，S ’系中的时钟变慢了。（对于确定的两事件，时间间隔应相同，时间起点相同，S 中观察到的间隔要长一些，便认为是S ’系中的时钟变慢了。）

Ⅳ长度收缩效应（尺缩）

S’系中放置一沿x 轴方向的长杆，设两端点的坐标是x 1’和x 2’，则静止长度ΔL ’=ΔL 0= x 2’- x 1’，称为固有长度。

在S 系中要测量长杆的长度，必须同时测出x 1和x 2，即t 1= t 2。由

x 1’=

2

211/1c v vt x --和x 2’=

2

222/1c v vt x --得ΔL 0=ΔL ’= x 2’- x 1’=

2

212/1c v x x --=

2

2/1c v L -∆则ΔL=ΔL 022/1c v -＜ΔL 0即在S 系中观察运动的杆时，其长度比静止时缩短了。

Ⅴ速度变换法则

设一质点在两惯性系中的速度分量为 u x =dx/dt u y =dy/dt u z =dz/dt (S 系)

u x ’=dx ’/dt u y ’=dy ’/dt u z ’=dz ’/dt (S ’系) 由洛伦兹变换得 dx ’=

2

2

/1c

v vdt dx --

dy ’=dy dz ’=dz dt ’=

2

2

2/1/c

v c vdx dt --

前三式分别除以第四式得 u x ’=

2

/1c

vu v

u x x --

u y ’=

2

22/1/1c

vu c v u x y --

u z ’=2

22/1/1c

vu c v u x z -- 相应地有， u x =

2

/1'c vu v

u x x ++

u y =

2

22/1/1'c vu c v u x y +-

u z =2

22/1/1'c vu c v u x z +-

狭义相对论动力学 Ⅵ质速关系

设S 系中的x 0处有一静止粒子，因内力分裂为质量相等的A 、B 两部分，且分裂后m A

以速度v 沿x 轴正方向移动，m B 以速度-v 沿x 轴负方向移动。

则在S ’系看来m A 静止，即v A ’=0。而v B ’=

2/)(1c v v v v ----=2

2/12c v v

+-，则v= -c^2/

v B ’[1-2

2/'1c v B -]③。同时质心仍在x 0处未移动，有v 0’= -v 。由于动量守恒，（m A +m B ）=m A v A ’+m B v B ’，而v A ’=0，则

-v= m B v B ’/（m A +m B ）

m B /m A =-v/( v B ’+v)= v B ’/( v B ’+v)-1 将③代入上式

m B /m A =

1/'1''2

22

2

2

2

--+-c

v c

c v v B B B

=

2

22

2

2

2222/'1'/'1c

v c

c v c v c c B B B -+---

V

B

A

·m

V V S S ’