狭义相对论推导详细计算过程

狭义相对论
狭义相对论基本原理：
1. 基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价
的。

2. 在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c ，与光源的运动状态无关。

假设S 系和S ’系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S ’系沿S 系的x 轴正方向以速度v 相对于S 系作匀速直线运动，x ’、y ’、z ’轴分别与x 、y 、z 轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。

Ⅰ洛伦兹变换
现假设，x ’=k(x-vt) ①，k 是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S ’系的坐标变换为S 系，有x=k(x ’+vt) ②，另有y ’=y ，z ’=z 。

将①代入②：
x=k[k(x-vt)+vt ’] x=k^2*(x-vt)+kvt ’ t ’=kt+(1-k^2)x/kv 两原点重合时，有t=t ’=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S 系，x=ct ，在S ’系，x ’=ct ’，将两式代入①和②：
ct ’=k(c-v)t 得 ct ’=kct-kvt 即t ’=(kct-kvt)/c ct=k(c+v)t ’ 得 ct=kct ’+kvt ’ 两式联立消去t 和t ’
ct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/c
ct=k^2ct-k^2vt+k^2vt-k^2v^2t/c c^2=k^2c^2-k^2v^2
k=
2
2
/11c
v -
将k 代入各式即为洛伦兹变换： x ’=2
2
/1c
v vt x --
y ’=y z ’=z t ’=
2
2
2/1/c
v c vx t --
或有
x=k(x ’+vt ’) x ’=k(x-vt) =k(1+v/c)x ’ =k(1-v/c)x 两式联立，
x’=k(1-v/c)k(1+v/c)x ’ k=
2
2
/11c
v -
Ⅱ同时的相对性
S 中取A （x 1,y,z,t 1）和B （x 2,y,z,t 2），同时发出一光脉冲信号，即t 1= t 2，且x 1≠x 2。

在S 中，Δt= t 1- t 2=0 在S ’中，t 1’=
2
2
211/1/c
v c vx t -- t 2’=
2
2
222/1/c
v c vx t --，Δt ’= t 1’- t 2’=
2
2
2
12/1/)(c
v c v x x --，由于x 1
≠x 2，则S ’中，Δt ’≠0。

即在S 系中不同位置同时发生的两个事件，在S ’系中看来不是同时发生的。

亦可说明时间和空间是相互联系的。

Ⅲ时间延缓效应（时钟变慢）
如Ⅱ中，对于S 系同时发生的两事件，在S ’系中出现了时间间隔，即时间膨胀或延缓。

设S ’系中的x 0’处先后在t 1’和t 2’发生两事件，则Δt ’= t 2’- t 1’。

在S 系中，
Δt= t 2- t 1=
2
2
202/1/''c
v c vx t -+-
2
2201/1/''c
v c vx t -+=
2
2
/1t'c
v -∆＞Δt ’
说明在S ’系中，两事件的时间间隔小于在S 系看来的间隔，即在S 系看来，S ’系中的时钟变慢了。

（对于确定的两事件，时间间隔应相同，时间起点相同，S 中观察到的间隔要长一些，便认为是S ’系中的时钟变慢了。

）
Ⅳ长度收缩效应（尺缩）
S’系中放置一沿x 轴方向的长杆，设两端点的坐标是x 1’和x 2’，则静止长度ΔL ’=ΔL 0= x 2’- x 1’，称为固有长度。

在S 系中要测量长杆的长度，必须同时测出x 1和x 2，即t 1= t 2。

由
x 1’=
2
211/1c v vt x --和x 2’=
2
222/1c v vt x --得ΔL 0=ΔL ’= x 2’- x 1’=
2
212/1c v x x --=
2
2/1c v L -∆则ΔL=ΔL 022/1c v -＜ΔL 0即在S 系中观察运动的杆时，其长度比静止时缩短了。

Ⅴ速度变换法则
设一质点在两惯性系中的速度分量为 u x =dx/dt u y =dy/dt u z =dz/dt (S 系)
u x ’=dx ’/dt u y ’=dy ’/dt u z ’=dz ’/dt (S ’系) 由洛伦兹变换得 dx ’=
2
2
/1c
v vdt dx --
dy ’=dy dz ’=dz dt ’=
2
2
2/1/c
v c vdx dt --
前三式分别除以第四式得 u x ’=
2
/1c
vu v
u x x --
u y ’=
2
22/1/1c
vu c v u x y --
u z ’=2
22/1/1c
vu c v u x z -- 相应地有， u x =
2
/1'c vu v
u x x ++
u y =
2
22/1/1'c vu c v u x y +-
u z =2
22/1/1'c vu c v u x z +-
狭义相对论动力学 Ⅵ质速关系
设S 系中的x 0处有一静止粒子，因内力分裂为质量相等的A 、B 两部分，且分裂后m A
以速度v 沿x 轴正方向移动，m B 以速度-v 沿x 轴负方向移动。

则在S ’系看来m A 静止，即v A ’=0。

而v B ’=
2/)(1c v v v v ----=2
2/12c v v
+-，则v= -c^2/
v B ’[1-2
2/'1c v B -]③。

同时质心仍在x 0处未移动，有v 0’= -v 。

由于动量守恒，（m A +m B ）=m A v A ’+m B v B ’，而v A ’=0，则
-v= m B v B ’/（m A +m B ）
m B /m A =-v/( v B ’+v)= v B ’/( v B ’+v)-1 将③代入上式
m B /m A =
1/'1''2
22
2
2
2
--+-c
v c
c v v B B B
=
2
22
2
2
2222/'1'/'1c
v c
c v c v c c B B B -+---
V
B
A
·m
V V S S ’
=
2
2
/'11c v B -
得m B =22
/'1c
v m B A -，在S 系中二者以相同的速度沿相反方向运动，而在S ’系中，m A
静止，可看做静质量（m 0）。

m B 以速率v B ’运动，可视为运动质量，称相对论质量。

则运动物体的质量与其静质量的一般关系即
m=
2
2
0/1c
v m -
Ⅶ相对论动力学基本方程 相对论动量p=mv=
2
2
0/1c v v m - （p 、v 均为矢量）
物体受力F=dp/dt=d 2
2
0/1c
v v m -/dt (F 、p 、v 均为矢量)
当v<<c 时，即为牛顿第二定律，pmv=F Δt Ⅷ质能关系
由Ⅶ知，F= dp/dt=d(mv)/dt=vdm/dt+mdv/dt 。

另有dx=vdt
经典力学中，质点动能增量即合力做的功，应用的相对论中， E k =⎰Fdx =⎰
+dx m dt
dv
v dt dm )(
=⎰+)(2dm v mvdv ④ 对质速方程m=2
2
0/1c
v m -求微分有
dm=dv c v m )'/1(
2
20-=dv c v c v m )'/1()'/11(
222
20--
=
dv c v c v m 3
22
2
0)
/1(-
将上式与
2
2
0/1c
v m -代入④式，
E k =⎰
-+
-dv c v c v m c
v v m ))
/1(/1(
3
2
2
2
3
02
2
=⎰
-+
--dv c v c v m c v c c v vc m ))
/1()
/1()/1((
3
2
2
2
3
03
2
2
2
2220
=⎰-dv c v c
v
m c 3
222
02
)
/1( （dm 代入此式）
=⎰
dm c 2
=mc^2+C
其中C 为积分常量，知v=0时，m=m 0,E k =0，代入求得C= -m 0c^2。

则 E k =mc^2- m 0c^2 = m 0c^2(
1/112
2
--c
v ) ⑤
当v<<c 时对
2
2/11
c
v -作泰勒展开，得
2
2
/11c
v -=1+v^2/2c^2+3v^4/8c^4+……
取前两项有E k = m 0c^2（1+ v^2/2c^2-1）= m 0v^2/2，即经典力学动能表达式。

而⑤式可改写为mc^2=E k +m 0c^2，m 0c^2是物体静止时的能量，称物体的静能，而mc^2为物体的总能量。

将总能量用E 表示，写作E=mc^2=
2
2
20/1c
v c m -即相对论质能关系。

泰勒展开：根据泰勒公式的简单形式，即迈克劳林公式，有f(x)=f(0)+f ’(0)x+f ’’(0)x^2/2!+……+f n (0)x^n/n!。

对于f(v)=
2
2
/11c
v -
f’(v)= 3222)
/1(21
*2c v c v ---
=
3
222)
/1(c v c v
-
f ’’(v)= 25222*)/1(23*2c v c v c v ---
+3222)/1(1
c v c - =5
2242
)
/1(3c v c v -+
3
2
2
2
)
/1(1c v c -
f 3(v)=
427222*)/1(25*6c v c v c v ---+45222*)/1(23c v c v -+252221
*)/1(23*2c
c v c v --- =
7
2
2
6
3
)
/1(15c v c v -+
5
2
2
4
)
/1(9c v c v -
f 4(v)=
639222*)/1(2105*2c v c v c v ---+627223*)/1(215c v c v -+47222*)/1(215*2c
v c v c v ---+5
224)/1(6c v c -+47222*)/1(215*2c v c v c v ---
+5224)
/1(3
c v c - =
9
2
2
8
4
)
/1(105c v c v -+
7
2
2
6
2
)
/1(90c v c v -+
5
2
2
4
)
/1(9c v c -
此处，f(v)=f(0)+f ’(0)v+f ’’(0)v^2/2!+ f 3(v)v^3/3!+ f 4(v)v^4/4!+……
=1+0+v^2/2c^2+0+3v^4/8c^4+…… =1+v^2/2c^2+3v^4/8c^4+…… Ⅸ能量-动量关系
将p=mv=2
20/1c
v v
m -中的v^2解出，得v^2=22022
2c m p c p +，代入质能方程，得 E=
)
/(122
0222
0c m p p c m +-=
2
20222
020c m p c m c m +=2
202c m p c +
则E^2=p^2c^2+m 0^2c^4即相对论能量-动量关系。

同时可知，对于静质量为零的粒子，
如光子，有E=pc ，则p=mc^2/c=mc ，与p=mv 比较可得，静止质量为零的粒子总以光速c 运动。

结合普朗克的理论，由E=mc^2=h ν可得到光子的相对论质量m=h ν/c^2。

h 为普朗克常量，ν为光的频率。