3.1.2 瞬时变化率—导数(1)

3.1.2/1.1.2瞬时变化率—导数（1）

班级__________姓名____________ ______年____月____日

【教学目标】

1．知识目标：利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想求曲线上一点处的切线的方法． 2．能力目标：培养学生的观察、猜想、掌握数形结合的数学思想的能力.

3．情感目标：感受瞬时变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程．

【教学重点】求曲线上一点处的切线斜率．

【教学难点】求瞬时速度和瞬时加速的方法．

【教学过程】

一、引入：

1．平均变化率：函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为 ．

即曲线上两点的连线（割线）的斜率．

显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势．

2．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究）

（从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法．）

（1）观察“点P 附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？

（2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了 ．

这种思维方式就叫做“逼近思想” ．

二、新授内容：

一般地，过曲线)(x f y =上一点),(00y x P 作曲线的割线PQ ，当Q 点沿着曲线无限趋近于P 点时，若割线PQ 趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线)(x f y =在点P 处的切线．

为了更好地反映点Q 沿曲线向点P 运动，我们选择了一个变量x ∆．不妨设(())P x f x ，，Q 点的横坐标为x x ∆+，则Q 点的纵坐标为 ，则割线PQ 的斜率为： =PQ k = ，当点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点P 处切线斜率，即当x ∆无限趋近于0时，()()f x x f x x

+∆-∆无限趋近点(())P x f x ，处切线斜率（即为x ∆取0时PQ k 的值）．

0(s s t =+∆

例3．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为3)(2+=t t v ，

求t =0t s 时轿车的加速度．

2．瞬时加速度概念：设物体运动的速度函数()v t ν=，则物体在t 到△t 这段时间内的平均 变化率为t v ∆∆= ，如果△t 无限趋近于0，t

v ∆∆无限趋近于某个常数a ，这时 a 就是物体在时刻t 的 ．

总结：求瞬时加速度的步骤：

①计算时间改变量t ∆，速度改变量00()()v v t t v t ∆=+∆-；

②计算平均加速度v a t ∆=

∆； ③令0,s t a t ∆∆→=

∆无限趋近于常数C 即为在某时间点的瞬时加速度． 三、课堂反馈：

1．运用割线逼近切线的方法，分别求曲线2y x =在0x =，2x =-，3x =处的切线斜率．

2．一质点的运动方程为2

10S t =+（位移单位：m ；时间单位：s ），求该质点在3t =时的

瞬时速度．

3．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为2()(2)1v t t =++，求t =1s 时轿

车的瞬时加速度．

四、课后作业： 学生姓名：___________

1．已知曲线2y x =的一条切线的斜率是4-，求切点的坐标．

2．设6()f x x

=-． （1）函数()f x 在区间[1,2]，[1,1.5]，[1,1.1]上的平均变化率各是多少？

（2）函数()f x 在1x =处的瞬时变化率是多少？

3．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系式是23s t t =-．

（1）求此物体的初速度；（2）求t=0到t=2的平均速度．（3）求此物体在t=2时的瞬时速度；

4．蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为120()155

T t t =++，其中()T t 为蜥蜴的体温（单位：C ）， t 为太阳落山后的时间（单位：min ）

（1）从0t =到10t =，蜥蜴的体温下降了多少；

（2）从0t =到10t =，蜥蜴的体温的平均变化率是多少；

（3）当10t =时，蜥蜴的体温的瞬时变化率是多少；

（4）蜥蜴的体温的瞬时变化率为1/min C -时的时刻t 是多少（精确到0.01）．

小结反思：