柯西不等式各种形式的证明及其应用

2 .2 2

a b c

d 2

ac bd

等号成立条件:

ad bc a/b c/d

扩展：a ： a ；a f

a 〔

b i a ? b ? a s b s

a n

b n

等号成立条件：ai : b| a 2 :b 2

a n ：b

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式是由大数学家柯西

(Cauchy)在研究数学分

n 2

2

n

析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 a

k

2

S 2

k 1 k 1

k 1

式应当称为Cauchy-Bu niakowsky-Schwarz 不等式，因为，

正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地 步。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式

在一般形式中， 令n 2,a 1a, a 2b,D c,b 2d ,得二维形式

当a 0或b 0时，a i 和b 都等于0,

不考虑 a i : b,i 1,2,3, ,n

二维形式的证明:

2 2 2 2

a b c d a,b,c,d R

2 2

a c .2.2

b d

2 . 2 . 2 2

a d

b c

2 2

a c 2abcd

b 2

d 2

a 2d 2

2abcd b 2

c 2

2

2

ac bd

ad bc

ac 2

bd

等号在且仅在ad bc 0 即ad 二be 时成立

三角形式

■- a2 b2. c2 d2 a c $ b d 等号成立条件：ad bc

三角形式的证明：

I I I

I ，

等号成立条件:

a 1,a 2,a 3 , a n

为零向量，或

bib® ,b n

n N, n 2

两边开根号，得a 2

b 2

, c 2 d 2

向量形式

2

. 2

a

k

b k

k 1 k 1

证明:

a * 2

___ ________________ 2

b 「

c 2—

d 2 a 2 b 2

c 2

d 2 2 \ a 2 b 2 . c 2 d 2

2

a 2

a

.2 2

b c

2

c 2ac 2

c

2

d 2 ac b 2

-2bd

2

d bd

d 2 注：表示绝对值

得证。

各行元素之和的几何平均数不小于各列元素

向量形式的证明：

共n 2

/2项

用均值不等式容易证明， 不等式左边不等式右边， 推广形式（卡尔松不等式）： 卡尔松不等式表述为：

在m*n 矩阵中,

之积的几何平均之和。

令 m= a 1,a 2,a 3,L u r m n a 1b| a 2b 2 ,a n ,n bi,b 2,b 3,L

m

a 3

b 3 L

a n

b n

>b

n

d a 2 /ir r Q cos. m ，

: a 3 L a l b 1 a 2b 2

般形式 bn

n n 2 . 2 a k b k k 1 k 1 n

a k

b k

1

等号成立条件:

a 1:

b 1 a 2: b 2

a n ：

b n ,或a i 、b i 均为零。

n

a k

b k k 1 不等式左边= 2

a i 2 2

a j

b i

共n 2

/2项

不等式右边=

a i

b i a j b j a j b j

a i

b i L L

X

A n

AAL

推广形式的证明: 推广形式证法一:

记 A X 1 y 1 LA

X 2 y 2 L 丄 A X n

y n L

由平均不等式得

X X 2 L

X n

1

1

A A

A

X 1X 2L X n n

X

n

n

AA 2L A n

AAL A

上L

y n

1

1

同理可得丄

A

A /y z L y n n

y n

n

A 1A 2L A n

A A 2L A n

L L

上述n 个不等式叠加，得

1

n

AA 2L i

X n

A 1A 2L

.X 12 X 12

L Xm X 21 X 21 L m 1 "m m 1 m m

X 1 i 1 i X

i2 i 1

i 1 X i3 其中， m, n N

或者：

m r 1 xz

1 m n m 1 m

j 1 j X j

1 i 1

X i 1 q

其中， m,n N ，X j R

或者

X 1 y 1 L

X 2 y 2 L L X

n

1

1

n

X n

y n

L

X 2n L X

m1

X

m1

L X

mn

1

1

m

m m

L X in

i 1

y n L

注: x 表示X i , y i,L , X n 的乘积，其余同理

X i y i

1

X 1

X 2 y 2

丄

n

X n y n L

，证毕