自动控制原理第8章资料

t
x0
x0
ln x 1 x0 t x x0 1
x(t)
1
x0 et x0 x0
et
具体分析： (1)对于平衡状态x=0，只 要x0＜1，系统有能力恢复 到平衡状态x=0，平衡状 态x=0是小范围稳定。
(2)对于平衡状态x=1，若 x0<1，t→∞时，x(t) →0； 若x0>1，t→∞时，x(t) →∞， 平衡状态x=1不稳定。
由图7中箭头向右的线段确定，当输入x在不断减小 时，输出y与输入x的关系由箭头向左的线段确定。 • 影响：一般说来，间隙特性会使系统稳态误差增大， 相角滞后增大，从而使动态性能变坏，所以应尽量避 免或减小。
•齿轮传动中的齿隙 •液压传动中的油隙
齿轮传动中的间隙
四、继电器特性
继电器是继电特性的典型元件。 继电特性常常使系统产生振荡现象，但在控制系统中，
有时利用继电器的切换特性来改善系统的性能，也可 以构成正弦信号发生器。
8-3 相平面法
一、相平面法基本概念
相平面法是一种图解法，适用于非线性和一阶或二阶 线性环节组成的非线性系统。
1、相平面
设二阶系统常微分方程为 x f(x, x)
该方程的解可以用x(t)曲线表示,也可以用x(t)和 x的(t)关系曲 线表示， x(t)和 称作x(相t)变量（状态变量）。以x(t)为横坐标， 为纵坐标构成x的(t )平面，称为相平面
2、相轨迹
相变量随t变化而形成的曲线称为相轨迹，曲线上箭头方向 为t增加方向。
0 24 6 8
二、相轨迹的绘制
（1）解析法
对于可以对微分方程实行分段积分的非线性系统，可以采
用解析法，即用求解微分方程的办法找出x和 x的关系，从
而可在相平面上绘制相轨迹。
x f(x, x)
x dx dx dx dx x代入上式得： dt dx dt dx
0 y k(x c)
k(x c)
x c xc x c
实际工程中很多测量机构和元件都存在死区，即 该元件的输入信号未超过某一特征数值时，无相 应的输出；只有当输入信号的幅值超过这一特征 值时，才有相应的输出。例如，作为执行元件的 电动机，由于轴上存在静摩擦，电枢电压必须超 过某一数值电机才可能转动；测量放大元件，输 入信号在零值附近的某一小范围内时，其输出等 于零，只有当输入信号大于此信号范围时才有输 出。此外，电气触点的预压力，弹簧的预张力， 各种电路的阈值等都构成了死区。
二、非线性系统的特点
1、稳定性分析复杂
线性系统只有一个平衡状态，其稳定性只决定于系统本 身的结构和参数，而和系统的初始条件无关。然而非线 性系统可能存在多个平衡状态，其稳定性不仅与系统本 身的结构和参数，而且与系统的初始条件有关。
如非线性方程 x (1 x)x 0
令 x 0 可解得该系统有两个平衡状态x＝0和x＝1。
x dx f(x, x) dx
若上式可以分解为：
g(x)dx h(x)dx 两边积分得：
x
x
g(x)dx= h(x)dx
x0
x0
例题 某弹簧—质量运动系统如图所示，图中m为物体的质量，k 为弹簧的弹性系数。若初始条件为x(0)＝x0，x(0) x0 试确定 系统自由运动的相轨迹。
解 描述系统的微分方程式为
第八章 非线性系统分析
8-1 非线性控制系统概述 8-2 常见非线性及其对系统性能影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法
8-1 非线性控制系统概述
一、研究非线性控制理论的意义
在前面各章中，我们讨论了线性系统的分析与设计 问题。但是，理想的线性系统是不存在的。实际的 物理系统，由于其组成元件在不同程度上具有非线 性特性，严格地讲，都是非线性系统。当系统的非 线性程度不严重时，采用线性方法进行研究是有实 际意义的。但是，如果系统的非线性程度比较严重， 采用线性方法往往会导致错误的结论。因此，必须 对非线性系统进行专门的探讨。
2、可能存在自激振荡
在多数情况下，正常工作时不希望有振荡存在，必须设法消除它； 但在有些情况下，特意引入自激振荡，使系统具有良好的静态、 动态特性。
3、频率特性发生畸变
在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出 信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位 上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是 在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输 出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，使输 出波形发生非线性畸变。
2、可能存在自激振荡
对于线性系统而言，只有当系统处于稳定的临界状态时，才会 出现等幅振荡，但这一运动形式是不能持久的。系统参数稍有 细微的变化，这一临界状态就不能继续，而会转化为发散或收 敛，然而在非线性系统，即使无外界作用，往往也会产生具有 固定振幅和频率的振荡，称为自激振荡。自激振荡是非线性系 统特有的现象。
上述系统方程中x项的系数是(1－x)，它与变量x有关。若 设t＝0时，系统的初始状态为x＝x0，由上式得
d x x(x 1) d x d t
dt
x(x 1)
两边积分得
x dx
t
d t
x0 x(x 1) 0
x 1
1
d x
t
dt
x0 x x 1
0
ln x x
xห้องสมุดไป่ตู้
ln(x 1)
四、分析与设计方法
而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠 加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问 题。 1、相平面法（一、二阶系统） 2、描述函数法（高阶系统）
8-2 常见非线性及其对系统运动的影响
一、死区特性 特点：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。 当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性 关系。 影响：控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳 态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。但有时人为 地引入死区，可消除高频的小幅度振荡，从而减少系统 中器件的磨损。
二、饱和特性
特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输 入信号变化而保持恒定。
影响：饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数 减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性 做信号限幅。
kx, y kc,
kc,
x c xc
x c
三、间隙特性 • 特点：当输入x在不断增大时，输出y与输入x的关系