长沙市中考数学压轴题总复习题解析版

2021年湖南省长沙市中考数学压轴题总复习解析版1．（1）【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45°．

（2）【问题解决】

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】

如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是√5−1．

【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，

∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，

∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，

∴∠BDC=1

2∠BAC＝45°，

故答案是：45；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴点A、B、C、D共圆，

∴∠BDC＝∠BAC，

∵∠BDC＝25°，

∴∠BAC ＝25°，

（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ，∠ADG ＝∠CDG ， 在△ABE 和△DCF 中，

{AB =CD ∠BAD =∠CDA AE =DF

，

∴△ABE ≌△DCF （SAS ），

∴∠1＝∠2，

在△ADG 和△CDG 中，

{AD =CD ∠ADG =∠CDG DG =DG

，

∴△ADG ≌△CDG （SAS ），

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAH +∠3＝∠BAD ＝90°，

∴∠1+∠BAH ＝90°，

∴∠AHB ＝180°﹣90°＝90°，

取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，

则OH ＝AO =12AB ＝1，

在Rt △AOD 中，OD =2+AD 2=√12+22=√5，

根据三角形的三边关系，OH +DH ＞OD ，

∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，

最小值＝OD ﹣OH =√5−1．

（解法二：可以理解为点H 是在Rt △AHB ，AB 直径的半圆AB

̂上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小）

故答案为：√5−1．