不等式的解集与区间 1

符号” ,+ ∞”读作 “正无穷大” 符号” ,- ∞”读作 “负无穷大”
满足x a 的全体实数,可记作
.
a
满足x a的全体实数,可记作
[a,+∞) (a ,+∞)
a
满足 x a的全体实数,可记作
.
a
满足x a 的全体实数,可记作
(-∞, a] (-∞, a)
a
不等式(组)的解集
有限 区间
3.闭区间用 中 括号表，示”，开区间用 小 括号表示
实数集R可以用区间表示为 (-∞, +∞)
记号“∞”读作 “无穷大” -∞ 为 负无穷大 ，+∞ 为 正无穷大
无限 区间
集合表示
{x x＜a} {x x≤a} {x x＞a} {x x≥a}
区间表示 (－∞, a) (－∞, a] (a , +∞) [a , +∞)
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定：
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫 做闭区间，表示为 [a,b]
(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做 开区间，表示为 (a,b)
(3)满足不等式a≤x<b的实数x的集合叫做 左闭右开区间，表示为 [a,b) (4)满足不等式a<x≤b的实数x的集合叫做 左开右闭区间，表示为 (a,b]
知识点三:
设a,b R,且 a b,则：
叫做闭区间,记作
叫做开区间,记作 叫做半开半闭区间,分别 记作
知识点三:
a 与b叫做区间的
端点
在数轴上表示区间时,
端点属于这个区间,用实心点表示,不属于这个区间,用空心 点表示.
-1 0 1 2 3
-1 0 1 2 3
X>1
X≤2
实数集R,也可用区间表示为(-∞,+ ∞) ,
练习：解不等式组 2(x 1) 5 x (1) 5x 3 3x 1 (2)
(1，+∞)
知识点一:
新知 探 究
由不等式的所有解组成的集合，我们把它叫做不等式的解集. （solution set)
注：(1)解集中包括了每一个解 (2)解集是一个范围
求不等式解集的过程叫做解不等式。
数轴表示
。
.a
。a
.a
a
例1：用区间表示下列数集，并在数轴上表示 （1）{x|-1<x<3} （2）{x|-2≤x<2} （3）{x|x>-1} （4）{x|x≤3} 解:（1）{x|-1<x<3}表示为（-1，3）数轴表示
-1 0
3
x
（2）{x|-2≤x<2} 解：{x|-2≤x<2}表示为[-2，2) 数轴表示
分析:
说明:
解不等式组 x 5 2x 4 3x 1 9 x
这个不等式组包含两不等式,因此,求这个 不等式组的解集,实际上就是求这两个 不等式的解集的交集
两个不等式的解集可以在数轴上表示出来..
试一试
解不等式
1 x 5 1 1 x
3
2
解不等式组
x 3 7 x 5 2x 9 x
知
在含有未知数的不等式中，能使不等
识
式成立的未知数的值的全体所构成的集合，
回
叫做不等式的解集。 几个不等式可以组成不等式组，这几
顾
个不等式的解集的交集，叫做不等式组的
解集。
例4 例5
用区间法表示下列不等式的解集:
Fra Baidu bibliotek
-2 -1 0 1 2
x
（3）{x|x>-1}
解： {x|x>-1}表示为（-1，+∞）， 数轴表示
-2 -1 0 1
x
（4）{x|x≤3}
解: {x|x≤3}表示为（- ∞ ，3]，数 轴表示
01 2 3
x
练习1：用区间表示下列集合。
（1）{x | 2 x 3}解:1) 2,3
例1
求不等式 2 x 50的解集
3
求解步骤
解： 原不等式两边乘以3去分母得 2x 150 两边同除以2得 x 75 所以原不等式的解集是{x | x 75}
用数轴表示
空心圆圈表示 75不在解集内
0
75
大于向右
（3）x-2≥0 x-3≤0
（4）x-2＞0 x-3＜0
（5）x-2≥0 x-3＜0
（6）x-2＞0 x-3≤0
{x| 2≤x≤3 } {x| 2＜x＜3 } {x| 2≤x＜3 } {x| 2＜x≤3 }
例2:
解不等式 2x 3 x 1 1
5
2
几个一元一次不等式的解集的交集,叫做由
知
它们组成的一元一次不等式组的解集.
识
点
二
求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.
例3
LOGO
LOGO
（1）x-3 ≤ 0 （2）x-2 ≥ 0
｛ （3 ） x-2≥0 x-3≤0
解集为
{x| x ≤ 3 } {x| x ≥ 2 }
{x| 2 ≤ x ≤3 }
除了用集合的方法表 示解集外还有没有其 他的表示方法呢？
区间
区间的概念:
介于两个实数之间的所有实数的集合叫做区间， 这两个实数叫做区间的端点。
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a≤x≤b}
{x a＜x＜b} {x a≤x＜b} {x a＜x≤b}
[a , b] (a , b) [a , b)
(a , b]
..
。a 。b
.a
。b
。a b.
a
b
其中a是左端点，b是右端点，a<b
注意：
1.区间左端点通常比右端点 小 。 2.两个端点之间用 “ 隔开
（2）{x | 2 x 3} 2) 2,3
（3）{x | 3 x 4} 3) 3,4
（4）{x | x 3}
。
3
4) 3,
练习2：用集合描述法表示下列区间
1) 3,1 {x | 3 x 1}
2) 2,4 {x | 2 x 4}
3) 1,7 {x | 1 x 7}
4) ,5 {x | x 5}
.
5
例2：解不等式组
｛7+3x ≤ 9+5x (1) 6 ＋x ＞4x－3 (2)
解：原不等式组的（1）（2）的解集分别为 {x|x≥-1}，{x|x<3}
所以原不等式组的解集是:
{x|x≥-1}∩{x|x<3}= [-1 ，3)
-1 0
3
x
(1)｛x|x≤-1或x≥2｝, 用区间如何表示？ (2) {x|-2≤x<2且x≠0}, 用区间如何表示？
解:用区间分别表示为 （－ ∞ ，－1]∪［2，＋∞） [-2 ，0) ∪（0 , 2）
1、区间的概念 2、区间的表示方法：
闭区间 开区间 半开半闭区间 无穷大区间
P27T2(3)(4)T3(2)(3)