(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数

第十章无穷级数

【考试要求】

1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质．

2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法．

3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性．

4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．

6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐

项积分）．

7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．

【考试内容】

一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义

一般地，如果给定一个数列 1u ，2u

，，n u

，，则由这数列构

成

的

表

达式123n u u u u +++

++

叫做常数

项无穷级数，简称常数项级数或级

数

，

记

为

1

n

n u

∞

=∑，即

123

1

n n n u u u u u ∞

==+++++

∑，

其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念

作常数项级数1

n

n u ∞

=∑的前n 项和121

n

n n i i s u u u u ==++

+=∑，n

s 称为级数1

n

n u ∞

=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的

数列

11

s u =，

212s u u =+，3123s u u u =++

，，

1

n s u =

，

． 如果级数

1

n

n u ∞

=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞

=，则称无

穷级数

1

n n u ∞

=∑收敛，这时极限s 叫做

这级数的和，并写成

123n s u u u u =+++++或者

1

n

n u

s ∞

==∑；如果{}n s 没有极限，则

称无穷级数

1

n n u ∞

=∑发散．

3．收敛级数的基本性质

（1）如果级数

1

n

n u ∞

=∑收敛于和s ，则级数

1

n

n ku ∞

=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数

1

n

n u ∞=∑、1

n

n v ∞

=∑分别收

敛于和s 、

σ，则级数1

()n

n n u

v ∞

=±∑也

收敛，且其和为s σ±． （3）在级数

1

n

n u ∞

=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛

性．

（4）如果级数

1n

n u ∞

=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级

数仍收敛，且其和不变． （5）如果级数

1

n

n u ∞

=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞

=． 说明：此条件称为级数收敛的必要

条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞

不为零，则

级数

1

n n u ∞

=∑一定发散．

4．几个重要的常数项级数

（1）等比级数

级

数

2

1n

n

n q q q q ∞

==++

++∑或 2

1n

n

n q q q q ∞

==+++++

∑

称

为等比级数或几何级数，其中q 叫

做级数的公比．其收敛性为：当1q <

时，级数收敛；当1q ≥时级数发散． （2）调和级数

级

数

11111

123n n

n

∞

==+++++∑ 称

为调和级数，此级数是一个发散级数． （3）p 级数

级

数

11111123p p p p

n n

n ∞

==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收

敛性为：当1p >时，级数收敛；当

1p ≤时级数发散．

二、正项级数的审敛法 1．比较审敛法

设

1

n n u ∞=∑和1

n

n v ∞

=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时

有n n u v ≤成立．若级数

1

n

n v ∞

=∑收敛，则级数

1

n n u ∞

=∑收敛；如果级数1

n

n u ∞

=∑发散，则级数

1n

n v ∞

=∑也发散． 2．比较审敛法的极限形式

设

1

n

n u ∞

=∑和1

n

n v ∞

=∑都是正项级数．

（1）如果lim n

n n

u l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1

n n v ∞

=∑收敛，则级数1

n

n u

∞

=∑收敛；