(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数

第十章无穷级数
【考试要求】
1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质．
2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法．
3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性．
4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．
6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐
项积分）．
7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．
【考试内容】
一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义
一般地，如果给定一个数列 1u ，2u
，，n u
，，则由这数列构
成
的
表
达式123n u u u u +++
++
叫做常数
项无穷级数，简称常数项级数或级
数
，
记
为
1
n
n u
∞
=∑，即
123
1
n n n u u u u u ∞
==+++++
∑，
其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念
作常数项级数1
n
n u ∞
=∑的前n 项和121
n
n n i i s u u u u ==++
+=∑，n
s 称为级数1
n
n u ∞
=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的
数列
11
s u =，
212s u u =+，3123s u u u =++
，，
1
n s u =
，
． 如果级数
1
n
n u ∞
=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞
=，则称无
穷级数
1
n n u ∞
=∑收敛，这时极限s 叫做
这级数的和，并写成
123n s u u u u =+++++或者
1
n
n u
s ∞
==∑；如果{}n s 没有极限，则
称无穷级数
1
n n u ∞
=∑发散．
3．收敛级数的基本性质
（1）如果级数
1
n
n u ∞
=∑收敛于和s ，则级数
1
n
n ku ∞
=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数
1
n
n u ∞=∑、1
n
n v ∞
=∑分别收
敛于和s 、
σ，则级数1
()n
n n u
v ∞
=±∑也
收敛，且其和为s σ±． （3）在级数
1
n
n u ∞
=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛
性．
（4）如果级数
1n
n u ∞
=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级
数仍收敛，且其和不变． （5）如果级数
1
n
n u ∞
=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞
=． 说明：此条件称为级数收敛的必要
条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞
不为零，则
级数
1
n n u ∞
=∑一定发散．
4．几个重要的常数项级数
（1）等比级数
级
数
2
1n
n
n q q q q ∞
==++
++∑或 2
1n
n
n q q q q ∞
==+++++
∑
称
为等比级数或几何级数，其中q 叫
做级数的公比．其收敛性为：当1q <
时，级数收敛；当1q ≥时级数发散． （2）调和级数
级
数
11111
123n n
n
∞
==+++++∑ 称
为调和级数，此级数是一个发散级数． （3）p 级数
级
数
11111123p p p p
n n
n ∞
==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收
敛性为：当1p >时，级数收敛；当
1p ≤时级数发散．
二、正项级数的审敛法 1．比较审敛法
设
1
n n u ∞=∑和1
n
n v ∞
=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时
有n n u v ≤成立．若级数
1
n
n v ∞
=∑收敛，则级数
1
n n u ∞
=∑收敛；如果级数1
n
n u ∞
=∑发散，则级数
1n
n v ∞
=∑也发散． 2．比较审敛法的极限形式
设
1
n
n u ∞
=∑和1
n
n v ∞
=∑都是正项级数．
（1）如果lim n
n n
u l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1
n n v ∞
=∑收敛，则级数1
n
n u
∞
=∑收敛；
（2）如果lim n
n n
u l v →∞=，0l <≤+∞，且级数
1
n n v ∞
=∑发散，则级数1
n
n u ∞
=∑发散．
说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小，而级数
1
n n v ∞=∑收敛，则级数1
n
n u
∞
=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低
阶的无穷小，而级数1
n
n v ∞
=∑发散，则级数
1
n
n u ∞
=∑发散． 3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）
设
1
n
n u
∞=∑为正项级数，如果
1
lim n n n
u u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1
lim
n n n
u u +→∞=+∞）时级数发散；
1ρ=时级数可能收敛也可能发散．
4．根值审敛法（柯西判别法）
设
1
n
n u ∞
=∑为正项级数，如
果lim n ρ→∞
=，则当1ρ<时级数收
敛；1ρ>
（或lim n →∞
=+∞）时级
数发散；
1ρ=时级数可能收敛也可能发散．
三、交错级数及其审敛法
1．交错级数的概念
所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：
1234u u u u -+-+
=
，
或
12341
(1)n
n
n u u u u u ∞
=-+-+-
=-∑ ，
其中1u ，2u
，
都是正数．
2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理
如果交错级数
1
1(1)n n
n u ∞
-=-∑满足条件：
（1）1n n u u +≥ （1,2,3,n =）；
（2）lim 0n n u →∞
=．
则级数收敛．
四、绝对收敛与条件收敛 1．绝对收敛与条件收敛
对于一般的级数
12n u u u ++++ ，它的各项为任意实数．如果级数
1n
n u ∞
=∑各项的绝对值所构成的正项级数
1
n
n u ∞
=∑收敛，则称级数
1
n
n u ∞
=∑绝对收敛；如果级数
1
n n u ∞
=∑收敛，而级数1
n
n u ∞
=∑发散，则称级数
1
n n u ∞
=∑条件收敛．
例如，
级数1
2
1
1
(1)n n n ∞
-=-∑是绝对收敛级数，而级数11
1(1)n n n ∞
-=-∑是条件收敛级数．
对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数
1
n
n u ∞
=∑绝对收敛，则级数
1
n
n u ∞
=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数
1
n
n u ∞
=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数
1
n
n u ∞
=∑收
敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性 判定问题． 2．重要结论
一般说来，如果级数1n
n u ∞
=∑发散，我们不能断定级数
1
n
n u ∞
=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法
或根值审敛法根据
1lim 1n n n
u u ρ+→∞=>或
lim 1n ρ→∞
=>判定级数1
n n u ∞
=∑发
散，则我们可以断定级数
1
n
n u ∞
=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知
n →∞
时n u 不趋于零，从而n →∞
时n u 也不趋于零，因此级数1n
n u ∞
=∑发散）． 五、幂级数 （一）函数项级数
1．函数项级数的定义
如果给定一个定义在区间I 上的函数列 1()u x ，2()u x ，，()n u x ，
，则由这函数列构成的表达式
123()()()()n u x u x u x u x +++++
称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数．
2．收敛域、发散域、和函数
对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1
()n n u x ∞
=∑成为常数项级
数
102030()()()u x u x u x +++
．
如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数
1
()n n u x ∞
=∑的收敛点；
如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数
1
()n n u x ∞
=∑的
收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．
对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成 123()()()(s x u x u x u x
=++ ．
（二）幂级数及其收敛性
1．幂级数的定义
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级 数，形式为
012
n
n n a x a a x a x ∞
==++∑，
其中常数0a ，1a ，2a ，，n a ，叫做幂级数的系数． 2．阿贝尔定理 如果级数
n
n n a x ∞
=∑当0
x x =（00x ≠）时收敛，则适合不等式
0x x <的一切x 使这幂级数绝对
收敛．反之，如果级数
n
n
n a x ∞
=∑当0x x =时发散，则适合不等
式
0x x >的一切x 使这幂级数发散．
由上述定理可以推出，如果幂级数
n
n n a x
∞
=∑不是仅在0x =一点收
敛，也不是在整个数轴上都收敛，
则必有一个确定的正数R 存在，使
得当x R <时，幂级数绝对收敛；
当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R 叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的
收敛区间．
3．求收敛半径及收敛区间的方法 （1）对于标准形式的幂级数
n
n
n a x ∞=∑或1
n
n
n a x ∞
=∑，有如下方法：
如果1
lim n n n
a a ρ+→∞=，其中n a 、
1n a +是幂级数0n
n n a x ∞
=∑的相邻两项的
系数，则这幂级数的收敛半径
1,0,0
0,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪
=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩ ．
（2）对于非标准形式的幂级数
0()n n u x ∞
=∑或1
()n
n u x ∞
=∑（如202!n
n
n x n ∞
=∑或0
(1)
2n n
n x n ∞
=-∑），方法如下：令
1()lim 1()n n n
u x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常
数项级数的敛散性即可．
（三）幂级数的和函数 1．幂级数和函数的性质 性质 1 幂级数
n n n a x ∞
=∑的和函数
()s x 在其收敛域I 上连续．
性质 2 幂级数
n n n a x ∞
=∑的和函数
()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐
项积分公式
0000()x
x
n n n n s x dx a x dx ∞∞
==⎡⎤==⎢⎥
⎣⎦
∑∑⎰⎰ （x I ∈），
逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．
性质 3 幂级数
n
n
n a x ∞
=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，
并有逐项求导公式
()00
()n n n n n n s x a x a x ∞
∞
==''⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑
（x R <），
逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）
当幂级数的一般项形如
(1)
n
x
n n +时，可用先求导后求积分
的方法求其和函数；当幂级数的一
般项形如2(21)n n x +、
1
n nx -等形式，可用先求积分后求导的方法求其
和函数．
3．常用的幂级数展开式 （1
）
2
111n n
n x x x x x ∞
===+++++
-∑，11x -<<；
（
2
）
2
1(1)11n n n x x x x ∞
==-=-+-+
+∑，11x -<<．
【典型例题】
【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1
．1
1n ∞
=∑
． 解
：
因
1
141lim lim 12
n n n n n
→∞→∞-==，
而调和级数11
n n
∞
=∑发散，故原级数发
散．
2
．213
n n ∞
=-
∑ ．
解：因
22
223
3lim lim 31n n n n n n n →∞→∞-==-，
而级数211
n n
∞
=∑是收敛的p 级数，故原级
数收敛．
3．13
52
n
n n
n ∞
=-∑ ．
解
：因
3
3552lim lim 152335n
n n n n n n n n
n n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫ ⎪⎝⎭
，而级数135n
n ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑是收敛的等比级
数，故原级数收敛．
4．1
1
sin n n ∞
=∑ ．
解：因 1sin lim 11
n n n
→∞=，而调和级数
11
n n ∞
=∑发散，故原级数发散． 5．1
1
(1cos )n n ∞
=-∑ ．
解：因 211cos
1lim 12
n n n
→∞-=，而级数
2
11
n n
∞
=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．
6．32tan n n
n π∞
=∑ ．
解：因
2222tan lim lim 211
n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211
n n
∞
=∑是收敛的p 级数，故原级
数收敛．
7．312
(1)
n n n n ∞
=++∑ ．
解：因
3
3
3322(1)lim lim 11
(1)n n n n n n n n n n
→∞→∞+++=⋅=+
，而级数311
n n
∞
=∑是收敛的p 级数，故
原级数收敛．
8．11
1n
n a
∞
=+∑ （0a >）． 解：当
1a =时， 111
lim lim 0
122
n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；
当
01a <<时，
11
lim lim 10
110
n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；
当
1a >时
，
因
1
1lim lim 111n n n n n n a a a
a →∞→∞+==+，而级数11
n
n a
∞
=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．
【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性．
1．1
(1)!2n
n n ∞
=+∑ ． 解：因
11(2)!
(2)!22lim lim (1)!2(1)!
2
n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=
++，故原级数发散．
2．2
13
n n n
∞
=∑ ．
解
：因
2
21212(1)
(1)313lim lim 133
3
n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛．
3．1
135(21)3!n
n n n ∞
=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ．
解：因
1
135(21)(21)3(1)!
lim
lim 135(21)
3!
n n n n
n n n n n +→∞
→∞⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅，故原级数收敛．
4．110!
n
n n ∞
=∑ ．
解
：因
1
110
10!(1)!
lim lim 0110(1)!10
!
n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．
5．1
212n
n n ∞
=-∑ ． 解：因
1121
21212lim lim 212212
2
n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<
--，故原级数收敛． 6．
2
1
sin
2
n
n n
π
∞
=∑ ． 解：因2
2
sin
22lim
lim 1122
n
n
n n n
n
n n π
π
π→∞→∞==⋅，
故原级数与级数2
12
n n n
∞
=∑敛散性相
同．
对于级数2
12
n n n
∞
=∑，因
2
21212(1)
(1)212lim lim 122
2
n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212
n n n
∞=∑收敛，所以原级数
也收敛．
【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．
1．1
2(1)2n
n
n ∞
=+-∑ ． 解
：
1
11lim lim lim 22
n
n n n e
→∞→∞→∞==，故原级数收敛．
2．11
[ln(1)]
n
n n ∞
=+∑ ． 解
：
lim lim lim ln(1
n n n →∞→∞→∞==，故原级数收敛．
【例10-4】判定下列级数的敛散
性，如果是收敛的，判定是绝对收
敛还是条件收敛． 1
．
1
1
1
(1)
n n ∞
-=-∑ ． 解：
因级数
1
1
111
(1)
n n n ∞
∞
-==-=∑∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原
级数满足111
n n u u +=>=，
且1lim 0n →∞
=，所以原级数收敛且为条件收敛． 2．
1
21
1(1)
n n n
∞
-=-∑ ．
解：因级数
1
221
111
(1)n n n n n
∞
∞
-==-=∑
∑收敛，所以原级数绝对收敛．
3．1
1
(1)1n n n
n ∞
+=-+∑ ．
解：因1
lim(1)1
n n n n +→∞-+不存在，故
原级数发散．
4．11sin 2
7n n n π∞
=∑ ．
解：11sin 272n n n π≤，而级数11
2
n
n ∞
=∑是收敛的等比级数，故根据比较审
敛法可知，级数
1
1sin 27
n n n π
∞
=∑
收敛，故原级数绝对收敛．
【例10-5】求下列幂级数的收敛半
径和收敛域． 1．
1
1
(1)n
n n x
n
∞
-=-∑
． 解：因11
1lim lim 11n n n n
a n a n
ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径1
1R ρ
==，故收敛区
间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数
即为1
1
()n n ∞
=-∑，发散；当1x =时，
原级数即为11
1(1)n n n ∞
-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-．
2．0!
n
n x
n ∞
=∑ ．
解：因
11
1(1)!
lim lim lim
11!
n n n n n
a n a n n ρ+→∞→∞→∞+===+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．
3．0
!n
n n x ∞
=∑
． 解
：因
1(1)!
lim lim !n n n n
a n a n ρ+→∞→∞+===+∞，
所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛．
4．2
121
n n
n x n ∞
=+∑ ． 解
：
因
1
2
1
2
2
(1)1lim
lim lim 2
1
n n n n n n n
a n a n ρ++→∞→∞→∞++===+
，所以收敛半径1
1
2
R ρ==，故收
敛区间为11(,)22-．又当1
2
x =-时，
原级数即为21(1)
1
n n n ∞
=-+∑，收敛；当
12x =时，原级数即为211
1
n n ∞
=+∑，收
敛，故原级数的收敛域为11
[,]22
-．
【例10-6】求下列幂级数的收敛域．
1．1(1)2
n
n
n x n ∞
=-⋅∑ ．
解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．
令 1
1
(1)
1(1)2
lim 1(1)22
n n n n n x x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为
1
(1)
n n n ∞
=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11
n n
∞
=∑，发散．因此原级数的
收敛域为[1,3)-．
2．21
1
(1)21n n
n x
n +∞
=-+∑ ．
解：这是非标准形式的幂级数，我
们用比值审敛法．
令 23
1
221(1)
23lim 1(1)
21
n n n n n x
n x x n +++→∞
-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，
原级数即为1
1
1(1)21n n n ∞
+=-+∑，收
敛；当1x =时，原级数即为1
1(1)21n
n n ∞
=-+∑，也收敛．因此原
【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．
1
1
n n nx
∞
-=∑ ．
解：先求幂级数的收敛域．
令 1(1)lim 1n
n n n x
x nx
-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为
1
(1)n
n n ∞
=-∑
，发散；当1x =时，原级数即为
1
n n ∞
=∑，也发散．因此原
再求和函数．设和函数
1
1()n n s x nx ∞
-==∑，则
11
()()()()1n
n
n n x
s x x x x ∞
∞
=='''====
-∑∑， (1,1)x ∈-．
2．
21
1
1
(1)
21
n n n x
n -∞
-=--∑ ． 解：先求幂级数的收敛域．
令
21
2211(1)
21lim 1(1)
21
n n
n n n x n x x n +-→∞
--+=<--，可
得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，
原级数即为1
1
(1)21n
n n ∞
=--∑，收敛；
当1x =时，原级数即为1
1
1(1)21n n n ∞
-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．
再求和函数．设和函数
21
1
1()(1)
21
n n n x
s x n -∞
-==--∑，则 1
22
24
1
()(1)1n n n s x x
x x ∞
--='=-=-+-
∑， 故
[]2001()arctan arct 1x
x
s x dx x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．
3．1
11(1)
n n x n n ∞
+=+∑
． 解：先求幂级数的收敛域． 令
2
1
1(1)(2)lim 11(1)
n n n x
n n x x
n n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为
1
1
1
(1)
(1)
n n n n ∞
+=-+∑，收。