全等三角形的判定(SAS)

为证明线段和角相等提供 了新的证法
1.已知两边，必须找 注 “夹角” 意 2. 已知一角和这角的
一夹边，必须找这角
寻找对应相等的边：公共边、中 点或中线、通过ห้องสมุดไป่ตู้算（同加或同 减）、做辅助线（构造公共边等）
寻找对应相等的角：公共角、对 顶角、角平分线平分角、直角或 垂直（90°）、平行线性质、通 过计算（同加或同减）
（SAS），∴AB =DE ，
E
D
（全等三角形的对应 边归相纳证等明）线. 段相等或者角相等时，常常通过
证明它们是全等三角形的对应边或对应角来
已知:如图, AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求 证证:明∠:∵A=∠∠1D＝. ∠2(已知)，
∴∠1+∠DBC＝ ∠2+
∠DBC(等式的性质)，
A
即∠ABC＝∠DBE.
∴DB 平分∠ ADC.
变式2:
已知:AD=CD，DB平分∠ADC ，求
证 证:∠∵AD=∠B 平C.分∠
A
明: A∴D∠C1，=∠2.
在△ABD与 △ACDB=DC中D ，
B (已知）
，
1 D
2
∠1=∠2 （已证 ），
C
∴B△DA=BBDD≌△（C公BD共（SAS）， ∴边∠）A=，∠C.
例2：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的
AD=CB，AE=CF.
证求明证：∵△ADFD//B≌△CEAB.
∴C，
E
∠∵AA=E∠=CCF，，
∴AE+EF=CF+EF，
D F
即 AF=CE.
B
C
在△AFD和△CEB中，
AD=C (已 B∠A= (知已）证，）， ∠AFC=C(已证），
∴△E AFD≌△CEB （SAS）.
变式1
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为
距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B
的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，
连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，
那证么明量：出在D△EA的B长C 就和是A、B的距离A，为什么? B
△ADCEC= 中DC，（已知），
∠ACB =∠DCE （对顶
·C
角相等），
∴C△B=AEBCC（≌已△知D）EC，
只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
典例
例精1析：如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么
△分析AB△:DA和B△D C≌B△D 全等吗？
A
CBD. (SAS)
边 AB=CB(已
B
D
: ∠知A)，BD= ∠CBD(已
角知BD)，=BD(公共？
C
证 在△: A边BD).和△ CBD中，
明：∠A知BA)边 :=，BCDB=(已∠CBD(已∴ △ ABD≌△CBD
知 BD)=，BD(公共边)，( SAS).
变式1:
A
已知：如 图,AB=CB,∠1= ∠2.
求证:(1) AD=CD；
1 B
3 D
A证 明D:C(2.在 △A) D△ CBBB=ACD平BB中D分，与∠(已知
24
），
C
∠ ）1，=∠2 （已知
∴B边△D）A=B，D ≌△（C公BD共（SAS）， ∴AD=CD，∠3=∠4，
感谢下 载
∴AD＝CD，GD＝ED.∠ADG=90°∠ADG=90° ∴∠CDG＝∠ADE.
在△ADE和△CDG中， AD=CD
∠CDG＝ ∠ADE.
∴△DAGD=ED≌E △CDG(SAS)， ∴AE＝CG；
如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形， 连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG； (2)AE⊥CG.
在△AMD与
△BND中 AM=BN
(已证
）
∠A=∠B （已 证）
∴A△D=ABMDD≌△（B已N知D（SAS） ∴）DM=DN.
全等三角形与其他图形的综合
如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG. 求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.
证明：(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∠A =∠D，两 边
∴AC△=AABFC，≌“△夹D角EF”D
E
（SAS）．
小伟作业本上画的三角形被墨迹 污染了，他想画一个与原来完全一 样的三角形，相信你现在一定有办 法了吧!
针对
下训列练条件中，不能证明△ABC≌△DEFC 的A．是A(B＝DE) ，∠B＝∠E，
BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，
棍，转动短木棍，得到△ABAD.这个实
△验A说BC明和了什么？ △ABD满足
AB=AB ,AC=A
D,
B
∠B=∠B,但
△ABC与
C
D
画一画： 画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E
=30°， AB =DE =5 cm ，AC =DF =3 cmM ．观察所得的
两个三角形是否D全等？
C
A
B
结论 有两边和其中一边的对角分别
小伟作业本上画的三角形被墨迹 污染了，他想画一个与原来完全一 样的三角形，请你帮助小伟想一个 办法，并说明你的理由．
探究活动1：SAS能否判定的两个三
角形全等 尺规作图画出一个
△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC， ∠A′＝∠A （即使两边和它们的夹角 对应相等）. 把画好的△A′B′C′剪下， 放到△ABC上，它们全等吗？
C
A
B
E
C
C′
A
B A′
作法：
（1）画
∠DA'E=∠A；
（2）在射线A'D
上截取A'B'=AB,
在射线A'E上截
取A'C'=AC；
D B′
知识 要点
“边角边”判
定方文法字语言：两边和它们的夹角分
别相等的两个三角形全等
C
（简写成“边角边”或“SAS ”）
． 几何语
言在：△ABC 和△
A F
B
DAEBF中= ，DE， 必须是
AD上一点，
求证证明：在B△EA=BCDE和. △ACD中， AB=A (已 CBD=(C已知D知）），， AD=A (公共
∴D△ABD边≌）△，ACD （∴SSS）. ∠在B△AADB=E∠和C△ADAC，E中∴，△ABE≌△ACE AC∠BB=AAD知=(）∠已，(已证）（，∴SABSE）=C. E.
AC＝DF
解C析．：BC要＝判E断F，能∠不B能＝使∠△E，ABC≌△DEF，应看所
给A出C＝的D条F件是不是两边和这两边的夹角，只有
选DA项C方．＝C法B的DC总＝F条结E件F：不，判符∠断合C三＝，角∠故形F选，全C等. 时，注意两边
与其中一边的对角相等的两个三角形不一定
全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，
相等的两个三角形不一定全等.
当堂练习
1.在下列图中找出全等三角形进行连线.
30º
Ⅰ
Ⅱ
ⅣⅣ ⅢⅢ
5 cm
30º
Ⅴ
Ⅵ
30º
Ⅶ
Ⅷ
2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证
△ABE≌△DBC，则需要增加的条D 件
是
()
A.∠A＝∠D C.∠A=∠C
B.∠E＝∠C D.∠ABD＝∠EBC
3.如图，点E、F在AC上，AD//BC，
在△ABC和△DBE中,
D
AB＝DB(已知)，
1
B
∠ABC＝∠DBE(已证)，
2
C
CB＝EB(已知)，
E
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应
探究活动2：SSA能否判定两个三
角形想全一等想：
几何画板：探究边边角.gsp
如图，把一长一短的两根木棍的一端
固定在一起，摆出△ABC.固定住长木
(2)设AE与DG相交于M，
AE与CG相交于N，
在△GMN和△DME中， 由(1)得∠CGD＝∠AED
NM
又∵∠GMN＝∠DME，
∠DEM＋∠DME＝90°
∴∠CGD＋∠GMN＝90°
∴∠GNM＝90°，∴AE⊥CG.
课堂小结
内 容
边角 应 边用
有两边及夹角对应 相等的两个三角形 全等（简写成 “SAS”)
CAAED=A (公共 E 边），
能力
5提.如升图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别
是CA，CB的中点，求证：DM=DN.
证 连接CD，如图 明: 在 所△ 示；ABD与
△CAC=BCDB中(已知）
AD=BD （已知）
CD=CD （公共边 ∴）△ACD≌△BCD（SSS） ∴∠A=∠B 又∵M，N分别是CA，CB 的∴中AM点=，BN
第十二章 全等 三角形
12.2三角形全等的判定
第2课时 “边角边”
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目
标
情境引
1．探索并正确理解三角形全等入的判定
方法“SAS”.（重点）
2．会用“SAS”判定方法证明两个三
角形全等及进行简单的应用．（重点）
3.了解“SSA”不能作为两个三角形全
等的条件．（难点）