高一数学必修一第三章 小结

自我检测题
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一、选择题(每小题只有一个正确选项) 1. 方程x-1=lgx必有一个根的区间是( ) (A) (0.1, 0.2) (B) (0.2, 0.3) (C) (0.3, 0.4) (D) (0.4, 0.5) 1 2. 函数y= ( ) x与函数y=lgx的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是( ) 2 (A) 1.3 (B) 1.4 (C) 1.5 (D) 1.6 3. 如果一个立方体的体积在数值上等于V, 表面面积在数值上等于S, 且V=S+1, 那么这个立方体 的一个面的边长(精确度0.01)约为( ) (A) 5.01 (B) 5.08 (C) 6.03 (D) 6.05 4. 实数a, b, c是图象连续不断的函数y=f(x)定义域中的三个数, 且满足a<b<c, f(a)· f(b)<0, f(b)· f(c)<0, 则函数y=f(x)在区间(a,c)上的零点个数为( ) (A) 2 (B) 奇数 (C) 偶数 (D) 至少是2 5. 假设银行1年定期的年利率为2%. 某人为观看2008年的奥运会, 从2001年元旦开始在银行存款1 万元, 存期1年, 第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存一年定期存款, 以后每年元旦都这样存, 则到2007年年底, 这个人的银行存款共有 (精确到0.01万元) ( ) (A) 7.14万元 (B) 7.58万元 (C) 7.56万元 (D) 7.50万元 6. 若方程 ax-x-a=0有两个解, 则a的取值范围是 ( ) (A) (1, +∞) (B) (0, 1) (C) (0, +∞) (D) 二、填空题 7. 函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0, +∞)上增长较快的一个是 . 8. 若方程x3-x+1=0在区间(a, b) (a, b是整数, 且b-a=1)上有一根, 则a+b= . 9. 某商品进货单价为30元, 按40元一个销售, 能卖40个; 若销售单价每涨1元, 销售量减少一个, 要 获得最大利润时, 此商品的售价应该为每个 元. 10. 已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a, b) (b-a=0.1)上有唯一零点, 如果用 “二分法” 求这 个 零点(精确度0.0001)的近似值, 那么将区间(a, b)等分的次数至少是 .
∵ f(1) =17, f(2) =8, f(3) = -37, ∴ 两个月后就应开始生产. 答: 下次生产应在两个月后开始.
B组 1. 经济学家在研究供求关系时, 一般用纵轴表示 产品价格 (自变量), 而用横轴表示产品数量 (因变量). 下列供求曲线, 哪条表示厂商希望的供应曲线, 哪条 表示客户希望的需求曲线? 为什么? 答: 图(A)中的 曲线是厂商希望的. 因为产品数量随着 o o 数量 数量 单价的增加而增大, (A) (B) 产值就有很大的增加. 图(B)中的曲线是客户希望的. 因为产品数量随着 单价的降低而增加, 客户可降低购买成本.
2. 如图, △OAB是边长为 2 的正三角形, 记 △OAB位于直线 x=t (t>0) 左侧的图形的面积为 f(t), 试求函数 f(t) 的解析式, 并画出函数 y=f(t) 的图象. y 解: 其面积分为三种情况: B 1 当 0<t≤1时, f(x) = | OD | | DC |, 2 C = 1 t 3t = 3 t 2; 2 2 D 当 1< t ≤2 时 , f ( t ) = S S y 得函数的解析式为 : △OAB △ADC o x=t A x 1 | AD | | DC 3 | 3 t2 = 1 2 (3 0 2 t 1) 2 2 3 1 3 2 (2 tt ) 2 3 ( 2t) 2 f ( t ) = t + 2 =3t 3 -- 3 ( 1 ) . 2 2 3 t2 ( o x = + 2 3 t 3 ; 3 t 2 ) 1 2 2 当 t>2 画图象如图 时, f(x) = 1: 2 3 = 3 . 2
区间 中点 f(中点)
(2, 3) 2.5 -0.25 (2.5, 3) 2.75 4.09 (2.5, 2.75) 2.625 1.74 (2.5, 2.625) 0.70 2.5625 0.21 2.53125 (2.5, 2.5625) (2.5, 2.53125) 2.515625 -0.02 (2.515625, 2.53125) 2.5234375 0.09 (2.515625, 2.5234375)
y
y=2x
4. 函数应用 (1) 从图表中获取数据信息. (2) 求已给函数模型中的常量, 确定函数. (3) 根据所获数据的规律建立函数模型. (4) 画散点图, 选择函数模型, 求出所选模型 中的常量, 建立函数式.
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复习参考题 A组 1. 若函数 f(x) 唯一的一个零点同时在区间 (0, 16)、 (0, 8)、(0, 4)、(0, 2)内, 那么下列命题中正确的是( C ) (A) 函数 f(x) 在区间 (0, 1) 内有零点 (B) 函数 f(x) 在区间 (0, 1) 或 (1, 2) 内有零点 (C) 函数 f(x) 在区间 [2, 16) 上无零点 (D) 函数 f(x) 在区间 (1, 16) 内无零点 分析: 由题设知, 零点必在区间(0, 2)内. y ∴[2, 16)上定无零点. C 选项正确. o 24 8 16
x
2. 点P从点O出发, 按逆时针 方向沿周长为 l 的图形运动一周, O、P 两点连线的距离 y 与点 P 走 过的路程 x 的函数关系如图, 那么 点 P 所走的图形是( C )
P O O P
y
o
l 2
l
P
x
P
O O
(A) (B) (C) (D) 分析: 由图象看出在前半周时, y 随 x 的增加 而增加; 后半周, y 随 x 的增加而减小. 由上判断可能选 B 或 C. 而 B 中, 点 P 在某一边上运动时, y 随 x 是线性 增长, 图象应是线段. 所以应选 C.
t
o
(2)
t
o
(3)
t
o
(4)
t
h随x直 线型升高.
h 增加先 慢wk.baidu.com快.
h 增加先 快后慢.
h 直线型 先慢后快.
5. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 2x34x2-3x+1=0 的最大的根 (精确到 0.01). 解: 设 f(x)=2x3-4x2-3x+1, 算得几组函数值如下: x -2 f(x) -25 -1 -2 0 1 1 -4 2 -5 3 10
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2. 用二分法求方程近似根 (1) 求使 f(a)· f(b)<0 的单调区间 (a, b). (2) 取 a, b 的中点 x1, 判断 f(x1)f(a) 与 f(x1)f(b) 的正负. (3) 取积为负的两数的区间, 判断区间长度 是否小于精确度e . (4) 若满足精确度, 则取区间内任一数为近 似根; 若不满足精确度, 再重复上面的步骤.
得 DC = 4 - 2
.
而小于如图的AP, AP = 2 2 , ∴定义域为 (0, 2 2 ).
8. 某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规 律是 N=N0e-lt, 其中 N0, l 是正的常数. (1) 说明函数是增函数还是减函数; (2) 把 t 表示为原子数 N 的函数; N (3) 当 N = 0 时, 求 t 的值. 2 t 解: (1) 函数变为 N = N 0( 1 ) l , e 1 l 1, e t 是(-∞, +∞)上的 ∴ 指数型函数 N = N 0( 1 ) el 减函数.
本章内容
3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用
第三章 小结
本章小结
知识要点 复习参考题 自我检测题
1. 方程的根与函数的零点
函数 y = f(x) 的零点 方程 f(x) = 0.
若 f(a)· f(b)<0, 则 f(x) 在(a, b)内必有零点. 若 y=f(x) 是区间 [a, b] 上的单调函数, 且 f(a)· f(b)<0, 则 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有 一个零点.
8. 某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规 律是 N=N0e-lt, 其中 N0, l 是正的常数. (1) 说明函数是增函数还是减函数; (2) 把 t 表示为原子数 N 的函数; N (3) 当 N = 0 时, 求 t 的值. 2 解: (2) N=N0e-lt e-lt = N , N0
由表知函数在 (-1, 0), (0, 1), (2, 3) 内各有一根, 最大根在 (2, 3) 内.
5. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 2x34x2-3x+1=0 的最大的根 (精确到 0.01). 解: 设 f(x)=2x3-4x2-3x+1, f(2) = -5<0, f(3) =10<0,
P
C B
O
解: 周长 y = 4+2x+DC 作DE⊥AB于E, 得 DC=4-2AE. 在Rt△ADB中, DA2 = AE· AB, 2 x 2 即 x = 4AE, AE = , 4 2 梯形的腰需大于 0, x
4 2 y = 4 + 2 x + 4 - 2 x 4 = - 1 x 2 + 2 x + 8. 2
6. 借助计算器或计算机, 用二分法求函数 f(x) = lgx 和 f(x) = 1 的交点的横坐标 (精确到 0.1). x 解: 设 f ( x ) = lg x - 1 , x f(3)≈0.14>0, f(2)≈-0.2<0,
区间 中点 f(中点)
(2, 3) (2.5, 3) (2.5, 2.75) (2.5, 2.625) (2.5, 2.5625)
|2.515625-2.5234375|≈0.0078 <0.01,
最大根为 x≈2.52.
6. 借助计算器或计算机, 用二分法求函数 f(x) = lgx 和 f(x) = 1 的交点的横坐标 (精确到 0.1). x 解: 交点的横坐标即方程 lg x = 1 的根, x y 由图象知两函数只有一个交点. 设 f ( x ) = lg x - 1 , x o 1 x f(1) =-1, f(2)≈-0.2, f(3)≈0.14, 于是知交点在(2, 3)内.
- lt = ln N , N0 t = - 1 ln N , l N0 t = 1 (ln N - ln N ).
N0 1 N0 1 时, t = (ln N 0 - ln ) = l ln 2. (3) 当 N = l 2 2
l
0
9. 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市 场供应. 若公司本次新产品生产开始 x 月后, 公司的 存货量大致满足模型 f(x)=-3x3+12x+8, 那么下次生产 应在多长时间后开始? 解: 若存货量大于 0, 则能维持市场供应; 反之, 则不能, 需进行生产.
3. 列车从A地出发直达500 km外的B地, 途中要 经过离A地200 km的C地. 假设列车匀速前进, 试画出 列车与C地的距离关于时间的函数图象. 200 300 解: 先写出函数关系式: A C B 设列车的速度为 v km/h, 经过 t h后列车距C地 的距离为 y km. 画函数图象如下: AC段: y=200-vt, y 0≤vt≤200. CB段: y=vt-200, 300 200≤vt≤500. 200
200 - vt (0 t 200) v . 则 y= vt - 200 ( 200 t 500) v v
o
200 v
500 v
t
4. 设计4个杯子的形状, 使得在向杯中匀速注水 时, 杯中水面的高度 h 随时间 t 变化的图象分别与下 列图象相符合.
h h
h
h
o
(1)
单价 单价
2. 如图, △OAB是边长为 2 的正三角形, 记 △OAB位于直线 x=t (t>0) 左侧的图形的面积为 f(t), 试求函数 f(t) 的解析式, 并画出函数 y=f(t) 的图象. y 解: 其面积分为三种情况: B 1 当 0<t≤1时, f(x) = | OD | | DC |, 2 C = 1 t 3t = 3 t 2; 2 2 当 1< t ≤2时, f(t) = S△OAB - S△ADC o xD A x =t = 1 2 3 - 1 | AD | | DC | 2 2 = 3 - 1 (2 - t ) 3 (2 - t ) 2 = - 3 t 2 + 2 3t - 3; 2 当 t>2 时, f(x) = 1 2 3 = 3 . 2
2.5 2.75 2.625 2.5625
-0.002 0.08 0.04 0.02
|2.5-2.5625|≈0.06 <0.1, ∴交点的横坐标为 x≈2.5.
7. 如图, 有一块半径为 2 的半圆形钢板, D 计划剪裁成等腰梯形ABCD形状, 它的下底AB 是⊙O的直径, 上底CD的端点在圆周上. 写出 A E 这个梯形周长 y 和腰长 x 间的函数解析式, 并 求出它的定义域.
3. 几种函数模型的增长特点 ① x 很小时, 对数函数 增速最快, 但是负值. ② x 很小时, 直线快于 幂函数和指数函数. ③ x 较小时, 幂函数快 于指数函数. ④ x 增大到一定数值时, 指数函数最快, 对数函数最慢. “直线上升, 指数爆炸, 对数增长.”
8 y=x2 y=2x 7 6 5 y=log2x 4 3 2 1 x o -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 -3 -4