三角函数图象的对称性题型分类解析

三角函数图象的对称性题型分类解析

对于正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)与余弦型函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的对称性一般需要根据基本函数y ＝sinx 与y ＝cosx 的对称性进行整体代换求解.本文对这类问题进行归类分析.

关于y ＝sinx 、y ＝cosx 与y ＝tanx 的对称性如下结论：

①函数y ＝sinx 的图象的对称轴方程为x k ＝k π＋π2

(k∈Z)，对称中心坐标为(k π,0)(k∈Z)； ②函数y ＝cosx 的图象的对称轴方程为x k ＝k π(k∈Z).对称中心坐标为(k π＋π2

,0)(k∈Z)； 一、根据函数解析式确定图象的对称轴

例1函数y ＝cos(2x ＋π2

)的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－π2 B.x ＝－π4 C.x ＝π8

D.x ＝π 解：∵2x ＋π2＝k π(k ∈Z)得图象的对称轴方程为x ＝k π2－π4(k ∈Z).当k=0时，x ＝－π4

.故选B. 方法点拨：上面解法可以先利用诱导公式将函数解析式化简后进行求解，如例1化为y ＝－sin2x ，再由x ＝k π(k ∈Z)可求得结果.因为对称轴过三角函数型函数的最值点，因此可以根据选择题的特点还可以利用验证法，即将各选择项代入函数解析式的右端，如果所得的值为1或－1，则就为正确选项.

二、根据函数解析式确定图象的对称中心

例2函数y ＝sin(2x －π6

)图象的一个对称中心是( ) A.(﹣π12,0) B.(π12,0) C.(11π12,0) D.(﹣13π12

,0) 解：由2x －π6＝k π(k ∈Z)得，对称中心为 (k π2＋π12,0)(k ∈Z).当k ＝0时，即为(π12

,0)，故选B. 方法点拨：本题直接根据正弦函数的对称中心坐标，利用整体代换方法可求得结果.由于正函弦数的对称中心为图象提零点，因此可以将选择项代入解析式左端，如果所得的值为0，则就是正确的选项.

三、根据图象的对称轴确定函数的解析式

例3 如果函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图象关于直线x ＝－π8

对称，那么a 等于（ ） A. 2 B.－ 2

C.1

D.－1

解析1：由三角函数的性质知，可知当x ＝－π8

时函数取最大值或最小值. ∴由题设条件知，函数的最大值为1＋a 2,最小值为－1＋a 2，

而当x ＝－π8,y ＝－22＋22a,∴|－22＋22

a|＝1+a 2,解得a ＝－1,故选D. 解析2：∵x ＝－π8是此函数的一条对称轴，∴f(－π8－x)＝f(－π8

＋x)对定义域上的任何值都成立， 令x ＝－π8,则f(－π8＋π8

)＝f(0)＝sin0＋acos0＝a ， f(－π8－π8)＝f(－π4)＝sin(－π2)＋acos(－π2

)＝－1， ∴a ＝－1.故选D. 方法点拨：解法1主要是利用通过不同途径求的最值相同建立关于a 的方程而求得的，而解法2是利用函数的对称性，同时结合特殊值来求解的.

四、根据图象的对称中心确定函数解析式

例4函数y ＝sin(3x ＋ϕ)图象的一个对称中心是(－7π12

,0),则ϕ取（ ） A.π4 B.－π4 C.7π12 D.－7π12

解析1：由3x ＋ϕ＝k π(k ∈Z)得x ＝k π－ϕ3(k ∈Z),所以对称中心为(k π－ϕ3

，0)(k ∈Z), 由k π-ϕ3＝－7π12(k ∈Z),得ϕ＝k π＋7π4(k ∈Z).当k ＝－2时,ϕ＝－π4

,故选B. 解析2：由于正弦函数的对称中心点为正弦函数的零点，因此sin[3×(－7π12

)＋ϕ]＝0， 即sin(ϕ－3π4)＝0，∴ϕ－3π4＝k π(k ∈Z)，即ϕ＝k π＋3π4，当k ＝－1时,ϕ＝－π4

,故选B. 方法点拨：本题实质上是一道逆向型思维问题，即“已知函数的对称中心，求解析式中的参数”，上述解法是先根据正弦函数图象的对称中心作整体代换求得函数y ＝sin(3x ＋ϕ)图象的对称中心的横坐标，再与已知的对称中心的横坐标相等而求得的.而解析2是根据图象上对称中心的位置特征(即为零点)来求解的.