矩阵的四则运算

3. 对于两个 n 阶矩阵，一般
AB k A k B k . AB2 ABAB A2 B2
如
A
2 3
46,
B
2 1
42,
AB 00
00,
AB2
0 0
0 0
;
A2 128
16 24
,
B2
8 4
016,
A2 B 2
0 0
128 192
.
线性代数 第二章 矩阵及其运算
11
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
b2
M
a1, a2 ,L
bn n1
, an 1n
b1a1
b2a1 bna1
b1a2
b2a2
bna2
b1an
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的
分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉
的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：
线性代数 第二章 矩阵及其运算
3
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
一、矩阵的四则运算 3.矩阵与矩阵相乘（重点是乘的过程与表达式）
（1）乘法的历史
设有两个线性变换:
y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
(1)
x1 b11t1 b12t2
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
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教学目的 重点
掌握矩阵的加减、数乘、乘法和幂等基本运算。理解 并熟悉矩阵的转置、对称、共扼等概念，理解伴随矩 阵理解方阵运算，会用方阵运算方法进行相关运算。 掌握逆矩阵的概念性质及伴随矩阵求法
矩阵的基本运算
难点 矩阵的乘法、Hale Waihona Puke Baidu及方阵的运算性质
讲授方法 讲练结合
再如：若 A 是m×但n矩B阵A， 而121B 103是n143× 12m矩10 阵03 ，2则1A无B与法B相A乘都.有
意义 但AB≠BA. 若阶方阵A,B 满足 AB=BA 称A与B 可交换
线性代数 第二章 矩阵及其运算
8
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
2）实数运算存在化0因子，即若ab=0,则a,b至少有一个数是0。但矩
a11b12 a12b22 a13b32 a 21b12 a 22b22 a 23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2, , m; j 1,2, , n k 1
a0 AT n a1 AT n1 an1 AT an ET
a0 A n a1 A n1 an1 A an E f A
线性代数 第二章 矩阵及其运算
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第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
0 0 0
线性代数 第二章 矩阵及其运算
16
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
2.对称矩阵 用转置定义对称矩阵
设 A 为 n 阶方阵， 若满足
AT A, 即 aij a ji i, j 1,2, , n
那么 A 称为对称矩阵.
例6：设A为对称矩阵, f x 为多项式，试证 f A
仍为对称矩阵。
并把此乘积记作：C AB 矩阵形式如下：
线性代数 第二章 矩阵及其运算
5
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
a11 a12 a1s
A
ai1
ai2
ais ,
am1
am2
ams
b11 b1 j b1n
B
bi1
bij
bin
bs1
bsj
bsn
c11
则 ：C
ci1
线性代数 第二章 矩阵及其运算
2
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
学完本次课达到如下要求
1.会用符号语言表述加减数乘幂、转置对称伴 随等运算。
2.加减数乘幂运算掌握运算律，即了解什么是不 可以的，如乘法不交换不消去不化零。
3.转置、对称、行列式和伴随运算要熟记关系运 算公式，请记住伴随行列式没有加法公式，伴随 运算也没有乘法运算。
线性代数 第二章 矩阵及其运算
7
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
1）乘法一般不满足交换律:
例1
求矩阵
A
1 2
0 1
3 0
21
与B
4 1 2 1
1 1 0 3
0
3
1 4
的乘积AB.
解
C
AB
1 2
0 1
3 0
4
21
1 2 1
1 1 0 3
0 3 1 4
9 9
2 9
1 11 2×3
4 1 0
3 4
f ( A) 2E 3A A2
2
1 0
0 1
3
1 0
1 2
1 0
3 4
0 0
00
二、矩阵的关系运算
线性代数 第二章 矩阵及其运算
12
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
1.矩阵的转置
定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，
叫做矩阵A的转置矩阵，记作 AT .
若 A
则
a11 a21 am1
y1
Y
yym2 ,
由矩阵乘法知： Y AX
线性代数 第二章 矩阵及其运算
10
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
4. （方）矩阵的幂 设 A 是 n 阶方阵，定义
A1 A, A2 A1 A1 , , Ak1 Ak A1 .
注：1. 只有方阵，它的幂才有意义。
2. Ak Al Akl , Ak l Akl .
因此，涉及多矩阵连乘时，在不改变左右顺序及相邻矩阵可相乘的 前提下可任意添加或删去括号。
(i) ABC ABC (ii) AB AB AB （其中λ为数）；
(iii) AB C AB AC B C A BA CA
6）用矩阵的乘法表示线性变换和线性方程组
设给定一个线性变换
系数矩阵
0 3
21,
1 B 4
2
7 2 0
1 3 , 1
解
1 4 2 2 1 0 17
ABT BT AT 7 2 0 0 3 14 13.
1 3 1 1 2 3 10
线性代数 第二章 矩阵及其运算
15
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
例5（2000.2） 已知＝（1 2 3)T , (1 1 0)T A T ,则A4 ___
am1
am2
amn
nm
.
矩阵的转置也是一种运算，它满足下述运算规律
(i) AT T A; (ii) A BT AT BT (iii) AT AT
(iv) ABT BT AT V Ak T AT k （A为方阵）
线性代数 第二章 矩阵及其运算
13
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
x2
b21t1
b22t2
(2)
x3 b31t1 b32t2
求出从 t1 , t2到 y1, y2的线性变换.
y1 y2
(a11b11 (a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 )t1 a23b31 )t1
(a11b12 (a21b12
a12b22 a22b22
a12 a22 am2
a1n
a2n amn
mn
,
a1T1 a1T2 a1Tm
a11 a21
AT
＝
a2T1
a2T2
anT1 anT2
a2Tm
anTm
nm
a12 a1n
a22 a2n
转置的特点：A (aij ), AT (aiTj ) (a ji )
a13b32 )t2 a23b32 )t2
线性代数 第二章 矩阵及其运算
4
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
,2×3
b11
B
b21
b31
b12
b22
b32 3×2
a11b11 a12b21 a13b31 AB
a 21b11 a 22b21 a 23b31
注4：方阵A的多项式定义：已知f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 则对应A的多项式为：f ( A) a0E a1 A a2 A2 an An;请看下例：
例3：
已知f (x) 2 3x x2
且A
1 0
1 2
，
求f
(
A)
解 ：A2
1 0
12
1 0
1 2
1 0
2 分析：因为矩阵乘法有结合律，注意到 T 2是一个数，于是
A2 ( T )( T ) ( T ) T 2 T 2A 归纳一下：
A4 A2 A2 (2 A)(2 A) 4 A2 8 A
1
A4
23
A
8
2
1
1
1 2
1
0
8
2 1
1
2 1 1
2
0 0
8 16
0
8
4 8 4
cm
1
c1 j cij cmj
c1n c11 a11b11 a12b21 a1sbs1
s
cin
a1k bk1 k 1
cmn
c12
a11b12 a12b22
s
a1sbs2
a1k bk 2
k 1
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j ais bsj aik bkj
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn
ym am1 x1 am 2 x2 amn xn
a11 a12
A
aij
a21
am1
a22 am2
a1n
a2n amn
,
X
x1
xxn2 ,
k 1
线性代数 第二章 矩阵及其运算
6
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
注意：只有当左矩阵的列数等于右 矩阵的行数时，
两个矩阵才可以相乘(与顺序有关).
如:
b1
a1, a2 ,L
, an
b2
1n M
a1b1 a2b2 anbn
n
11 ai bi
i 1
bn n1
是一个数.
b1
也就是
s
dij bkia jk k 1
s
s
dij bkia jk a jk bki c ji ,
k 1
k 1
所以
BT AT ABT .
线性代数 第二章 矩阵及其运算
14
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
注：行矩阵的转置矩阵是列矩阵，列矩阵的转置矩阵是
行矩阵。
例4：已知
A
2 1
求 AB T .
线性代数 第二章 矩阵及其运算
1
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
本次课讲： 1.教材第二章第二节：矩阵的基本运算和关系运算
2.教材第二章第三节：逆矩阵的概念与性质 3.下次上课时交作业：P9－P12 下次课讲： 1.教材第二章第三节（续）：逆矩阵的运算与证明 2.教材第二章第四节：矩阵的分块法 3.教材第三章第一节：初等变换的基本概念
若令A
2 3
4 6
,
B
2 2
05,C 10
12
则AB
AC
4 6
1105, A O,但是，B C
4)可相乘的单位矩阵与任意矩阵可交换
Em Amn Amn , Amn En Amn . 或简写成 EA = AE = A.
线性代数 第二章 矩阵及其运算
9
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
5)矩阵的乘法虽然一般不能满足交换律，但结合律却总是成立的，
阵运算不存在化0因子，即若AB=0,A与B可能都不为0，如下例
例2 求矩阵
A
2 1
42与
B
2 3
46的乘积AB 与 BA.
解
AB
2 1
42
2 3
46
16 8
32 16
BA
2 3
46
2 1
42
0 0
0 0
3）实数满足消去律，但矩阵乘法消去律不再成立。就是说，若矩阵
A、B、C满足AB=AC，并且A不为0，则不能推出B＝C，例如
证明(iv)
设
A
aij
,
ms
B
bij
,
sn
s
s
cij aik bkj , c ji a jk bki ,
AB C
cij
,
mn
k 1
k 1
(AB)T (cij )T (ciTj ) (c ji )
设BT AT (dij ) BT AT的(i, j)元dij为BT的 第i行 与AT的 第j列 对 应 元 素 乘 积 和 ， 由 转 置 定 义 ，即 为B的 第i列 与A的 第j行 对 应 元 素 乘 积 和 ，
证明：设 f x a0 x n a1x n1 an1x an f A a0 An a1 An1 an1 A an E
f AT a0 An T a1 An1 T an1 AT an ET
a0 An T a1 An1 T an1 A T an E T
讲授内容 概念－同型加减－数乘全－乘法行列算、一般不交换 主线 －方阵可算幂－行列式宜单算－转置行列换－引来对
称与伴随，伴随有转置。逆矩阵的概念与性质
作业要 求
练习册 P9-13, 习题110;其中 交：P910,习题： 1－4
内容概括
乘法是行列式对应元素乘积和，交换化零与消去均不 可，方阵可算幂与行列式，行列式注意数乘与积的乘 法，变换导出的逆阵具有唯一、非奇异与单侧性及数 乘转置的运算律。