矩阵的四则运算
sas 四则运算
sas 四则运算
SAS交互式矩阵语言，可以处理各种矩阵运算，拥有丰富的可以直接用于矩阵运算的算符和大量的数学函数，是用SAS系统开发的应用软件。
SAS带有很多可以直接生成矩阵的函数，利用这些函数来创建矩阵不但出错率少，而且可以减少输入工作，提高效率。
其四则运算如下：
“+”：A+B矩阵加法，A，B中可以有一个为数。
“－”：－A或A－B，求负矩阵或矩阵减法。
“#”：元素乘法：
①数乘a#A；②A，B同行同列，A#B为对应元素相乘；③A为n×m，B 为n×1或1×m，为A中元素分别与B中同行（列）元素相乘。
“/”：矩阵除法，A/B，B为与A同行同列的矩阵或数，对应元素相除；A*k（A为方阵，k为不小于-1的整数）为矩阵A连乘k次，k=-1时为求A的逆矩阵。
矩阵转置，A为A的转置矩阵：
矩阵的水平合并，A||B要求A与B同行；矩阵的垂直合并，A//B要求A 与B同列。
矩阵四则运算对应的特征值
矩阵四则运算对应的特征值矩阵四则运算是指对矩阵进行加法、减法、乘法和除法运算。
在矩阵四则运算中，特征值是一个重要的概念，它与矩阵的相似性和对角化密切相关。
本文将从四则运算的角度来说明特征值的相关性，并探讨它在矩阵运算中的应用。
矩阵加法运算的特征值：矩阵加法运算是将两个矩阵的对应元素进行相加，得到一个新的矩阵。
对于矩阵A和矩阵B的加法运算，特征值没有直接的关系。
加法运算并不会改变矩阵的特征值。
具体来说，如果矩阵A和矩阵B是可对角化的，它们的特征值和特征向量可以通过加法运算进行简单的累加。
但是，非可对角化矩阵的加法运算则不会改变特征值以及特征向量。
矩阵减法运算的特征值：矩阵减法运算是将两个矩阵的对应元素进行相减，得到一个新的矩阵。
与矩阵加法运算类似，矩阵减法运算也不会改变矩阵的特征值。
可对角化的矩阵的减法运算可以通过简单的矩阵元素相减来实现，而非可对角化矩阵的减法运算则可能需要进行复杂的运算。
矩阵乘法运算的特征值：矩阵乘法运算是将两个矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵乘法运算会改变矩阵的特征值。
具体来说，如果矩阵A和矩阵B都是可对角化的，它们的特征值可以通过矩阵乘法进行简单的相乘。
如果矩阵A和矩阵B不可对角化，矩阵乘法运算会在保留特征值的同时产生新的特征值。
矩阵除法运算的特征值：矩阵除法运算是将两个矩阵相除，得到一个新的矩阵。
类似于矩阵乘法运算，矩阵除法运算也会改变矩阵的特征值。
具体来说，如果矩阵A和矩阵B都是可对角化的，并且矩阵B是非奇异的，它们的特征值可以通过矩阵除法进行相除。
如果矩阵A和矩阵B不可对角化，矩阵除法运算会在保留特征值的同时产生新的特征值。
除了四则运算对特征值的影响，特征值在矩阵运算中还有一些其他的应用。
例如，矩阵的特征值可以用于确定矩阵的条件数，从而评估矩阵的稳定性和数值稳定性。
此外，特征值还可以用于矩阵的对角化和求解线性方程组等问题。
总结起来，矩阵四则运算通常不会直接改变矩阵的特征值，但是特征值在矩阵运算中有重要的应用。
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算指的是矩阵之间的加法、减法、乘法和除法运算。
1. 加法：两个矩阵的加法定义为将对应元素相加。
要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A +
B = [1+5 2+6
3+7 4+8]
= [6 8
10 12]
2. 减法：两个矩阵的减法定义为将对应元素相减。
同样要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A -
B = [1-5 2-6
3-7 4-8]
= [-4 -4
-4 -4]
3. 乘法：两个矩阵的乘法定义为将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行内积运算。
要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A *
B = [1*5+2*7 1*6+2*8
3*5+4*7 3*6+4*8]
= [19 22
43 50]
4. 除法：矩阵的除法没有直接定义，但可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现。
要求被除矩阵的逆矩阵存在且除数矩阵的行数等于被除矩阵的列数。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A /
B = A * B^(-1)
其中 B^(-1) 是矩阵 B 的逆矩阵。
这些运算规定了矩阵之间的加减乘除运算法则，能够在很多领域中被广泛应用，如线性代数、图像处理、机器学习等。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念，也是数学、计算机科学、物理、经济学等领域中广泛运用的工具之一。
矩阵的运算是矩阵代数的重要组成部分，并且矩阵的运算规则是进行代数运算、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等的关键。
1.基本矩阵运算矩阵的四则运算：加法、减法、乘法和除法是矩阵运算的基础。
加减法均是对应元素相加减，必须两个矩阵形状相同才可加减。
例如A、B是两个3\*3矩阵，那么它们相加后我们可以表示为C=A+B，C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
矩阵的乘法是相乘并对乘积元素求和，而不是元素相乘。
A\*B中A的列数应该等于B的行数，乘积C则应该是A的行数和B的列数构成的矩阵。
例如A是一个3\*2 的矩阵，B是一个2\*4 的矩阵，则将A的每一行和B的每一列依次相乘求和，得到一个3\*4的结果矩阵C。
除法在矩阵中一般不存在，但是可以通过矩阵的逆来实现除法运算。
如果乘积A\*B=C，且B是可逆的，那么我们可以利用B的逆矩阵来得出矩阵A，即A=B^{-1}C。
2.转置和逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
如果矩阵A的形状是m\*n，则转置后的矩阵形状是n\*m。
例如A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}，则A的转置为A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}。
矩阵的逆矩阵是一个矩阵，使得矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵，而且并不是所有的方阵都有逆矩阵。
如果一个矩阵A不能求逆，那么我们称它是奇异矩阵或不可逆矩阵。
如果一个矩阵A可以求逆，那么我们称它是非奇异矩阵或可逆矩阵。
逆矩阵的求解方法有伴随矩阵法、高斯-约旦消元法、矩阵分块法等。
3.矩阵的性质及运算规则矩阵的性质包括转置、对称、正交、幂等、奇异等性质。
4.2.1 矩阵的生成 1. 直接输入法.
MATLAB矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵是MATLAB数据存储的基本单元，而矩阵的运算是MATLAB语言的核心，在MATLAB语言系统中几乎一切运算均是以对矩阵的操作为基础的。
下面重点介绍矩阵的生成、矩阵的基本运算和矩阵的数组运算。
4.2.1 矩阵的生成1． 直接输入法从键盘上直接输入矩阵是最方便、最常用的创建数值矩阵的方法，尤其适合较小的简单矩阵。
在用此方法创建矩阵时，应当注意以下几点：● 输入矩阵时要以“[ ]”为其标识符号，矩阵的所有元素必须都在括号内。
● 矩阵同行元素之间由空格或逗号分隔，行与行之间用分号或回车键分隔。
● 矩阵大小不需要预先定义。
● 矩阵元素可以是运算表达式。
● 若“[ ]”中无元素表示空矩阵。
另外，在MATLAB语言中冒号的作用是最为丰富的。
首先，可以用冒号来定义行向量。
例如：>> a=1:0.5:4a=Columns １ through 71 1.52 2.53 3.5 4其次，通过使用冒号，可以截取指定矩阵中的部分。
例如：>> A=[1 2 3；4 5 6；7 8 9]A=1 2 34 5 67 8 9>> B=A (1:2, : )B=1 2 34 5 6通过上例可以看到B是由矩阵A的1到2行和相应的所有列的元素构成的一个新的矩阵。
在这里，冒号代替了矩阵A的所有列。
2．外部文件读入法MATLAB语言也允许用户调用在MATLAB环境之外定义的矩阵。
可以利用任意的文本编辑器编辑所要使用的矩阵，矩阵元素之间以特定分断符分开，并按行列布置。
读入矩阵的一种方法可参考3.3节数据交换系统。
另外也可以利用load函数，其调用方法为： Load+文件名[参数]Load函数将会从文件名所指定的文件中读取数据，并将输入的数据赋给以文件名命名的变量，如果不给定文件名，则将自动认为matlab.mat文件为操作对象，如果该文件在MATLAB搜索路径中不存在时，系统将会报错。
矩阵典型习题解析
2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。
其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n个数a ij （i 1,2, ,m;j 1,2, , n）组成的m行n列的矩形数表a11 a12 a1nA a21 a22 a2nAa m1 a m2 a mn称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
3．矩阵的相等设 A （a ij ）mn; B （b ij ）mn若a ij b ij(i 1,2, ,m;j 1,2, ,n)，则称A与B相等，记为A=B。
2.1.2 矩阵的运算1．加法(1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij )mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律① A+B=B+A ；②( A+B ) +C=A+( B+C )③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,k 为常数，则 kA (ka ij )mn(2) 运算规律 ① K (A+B) =KA+KB, ② ( K+L) A=KA+LA,③ (KL) A= K (LA)3．矩阵的乘法(1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 nAB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kjk1(2) 运算规律① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC③ (B C)ABA CA3)方阵的幂①定义：A(a ij )n，则 A k A KA ②运算规律：A m A n A mn(A m )n A(4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
第二章 基本矩阵运算
8.2 矩阵大小
在MATLAB命令行中，使用whos命令可以察看到所 有变量的大小。 为了获得矩阵或者向量的大小，MATLAB还提供了两 个有用的函数size和length。 size按照下面的形式使用：[m,n]=size(a,x)。一 般的，函数的输入参量x不用，此时，当只有一个输出 变量时，size返回一个行向量，第一个数为行数，第 二个数为列数；如果有两个输出变量，第一个返回量为 行数，第二个返回数为列数。当使用x时，x=1返回行 数，x=2返回列数，这时只有一个返回值。 length返回行数或者列数的最大值，即 length(a)=max(size(a))。
Matlab程序设计教程 18
7 逻辑操作符
逻辑操作符定义了一种与或非的关系表达式。 MATLAB的逻辑操作符有&(与)、|(或)、~(非)。 例如： »c=~(a>4) c= 1 1 1 1 0 0 0 0 0 »c=(a>4)&(a<7) c= 0 0 0 0 1 1 0 0 0
Matlab程序设计教程 19
Matlab程序设计教程 27
8.3 矩阵操作函数
MATLAB提供了一组执行矩阵操作的函数， 例如flipud(a)使得矩阵上下翻转， fliplr(a)使得矩阵左右翻转，rot90(a)使 得矩阵逆时针翻转90度等等。
Matlab程序设计教程
28
8.4逻辑矩阵
逻辑矩阵是大小和对应矩阵相同，而元素为 0或者1的数组。逻辑数组一般由关系算子 创建。可以使用逻辑矩阵来取得矩阵的部分 元素值， a(a>3)得到矩阵a中所有大于3的值。使 用逻辑矩阵也可以对矩阵的部分赋值。
Matlab程序设计教程 11
神奇数字方阵加减乘除综合
神奇数字方阵加减乘除综合神奇数字方阵是一种乐趣十足的数学游戏，通过在一个矩阵中填入数字，并通过加、减、乘、除四则运算使每行、每列及对角线上的数字之和等于给定的值。
在本文中，我们将探讨神奇数字方阵的一些基本概念和解题方法。
一、神奇数字方阵的基本概念神奇数字方阵由一个 n×n 的矩阵组成，其中每个位置上的数字都可以是 1 到 n^2 之间的任意整数。
方阵中的每行、每列和对角线上的数字之和必须等于同一个给定值。
这个给定值被称为“魔数”。
二、解题方法1. 先将矩阵的中心位置填上魔数的一半，例如 n 为奇数时，中心位置上的数字为魔数的一半加一；n 为偶数时，中心位置上的数字为魔数的一半。
这样可以确保每行、每列和对角线上的数字之和为魔数。
2. 从上方向下、从左到右填充数字。
填充时，如果即将填入的位置超出矩阵的范围，则将其重新定位到上一列和下一行。
3. 当填充到一个位置时，检查该位置的上方、左方、左上方是否已经填入数字。
如果已经填入数字，则重新定位到上一列和下一行。
4. 重复步骤 3，直到矩阵中的所有位置都填入了数字。
三、一个具体的例子假设我们要构建一个 3×3 的神奇数字方阵，魔数为 15。
首先，我们将中心位置的数字填为 8，使得每行、每列和对角线上的数字之和为15。
然后，按照上述解题方法依次填入其他数字，最终得到如下方阵：8 1 63 5 74 9 2可以验证，每行、每列和对角线上的数字之和均为 15。
四、应用与拓展神奇数字方阵不仅是一种有趣的数学游戏，还具有一定的应用价值。
在计算机科学领域，神奇数字方阵常用于图像处理、密码学等方面。
在教育领域，神奇数字方阵可以培养学生的逻辑思维和数学运算能力。
此外，神奇数字方阵还可以进一步拓展。
例如，可以增加方阵的大小，挑战更高的魔数。
同时，可以引入更多的运算符号，如乘方、开方等，使得解题更加复杂和有趣。
总结起来，神奇数字方阵是一种有趣而又富有挑战性的数学游戏。
3.5符号矩阵的运算
3.5 符号矩阵的运算3.5.1 符号矩阵的运算1.符号矩阵的四则运算在MATLAB中，进行符号矩阵的四则运算非常方便。
实际上，它与数值矩阵的四则运算完全相同，这大大地方便了用户的操作。
符号矩阵的加、减、乘、除由函数symadd、symsub、symmul、symdiv来实现，也可与一般的数值运算一样，用“＋”、“－”、“×”、“/”符号进行运算，而符号矩阵的幂运算可由函数sympow来实现符“^”来实现。
【例3.5.1】>>A=sym('[cos(x), sin(x); x^2+x+1 tan(x)]');B=sym('[x+1 x^2; sin(x), log(x)] ');C=A+BC =[ cos(x)+x+1, sin(x)+x^2][ x^2+x+1+sin(x), tan(x)+log(x)]D= A*BD =[ cos(x)*(x+1)+sin(x)^2, cos(x)*x^2+sin(x)*log(x)][ (x^2+x+1)*(x+1)+tan(x)*sin(x), (x^2+x+1)*x^2+tan(x)*log(x)]E=A/BE =[ -(log(x)*cos(x)-sin(x)^2)/(-log(x)*x-log(x)+sin(x)*x^2),1/(-log(x)*x-log(x)+sin(x)*x^2)*(cos(x)*x^2-x*sin(x)-sin(x))][ -(log(x)*x^2+log(x)*x+log(x)-tan(x)*sin(x))/(-log(x)*x-log(x)+sin(x)*x^2), 1/(-log(x)*x-log(x)+sin(x)*x^2)*(x^4+x^3+x^2-x*tan(x)-tan(x))]>>B=sym('[x+1,x^2-1; sin(x),log(x)]');B^2ans=[ cos(x)^2+sin(x)*(x^2+x+1), cos(x)*sin(x)+tan(x)*sin(x)] [ (x^2+x+1)*cos(x)+tan(x)*(x^2+x+1), sin(x)*(x^2+x+1)+tan(x)^2]2.符号矩阵的其他一些基本运算符号矩阵的其他一些运算包括符号矩阵的转置、行列式、逆、秩、指数运算等。
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则矩阵是数学中的一种重要工具，用于表示数字和符号的矩形阵列。
矩阵由m行n列的数字或符号排列组成，每个数字或符号称为矩阵的元素。
矩阵通常用大写字母表示，例如A，B，C等。
矩阵的大小由它的行数和列数决定，并用m×n表示。
矩阵的运算规则包括加法、减法、数乘和乘法四种运算。
1.加法：对应位置上的元素相加对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的加法定义如下：A+B=C其中C的元素由对应位置上的两个矩阵元素相加得到。
2.减法：对应位置上的元素相减对于相同大小的两个矩阵A和B，它们的减法定义如下：A-B=D其中D的元素由对应位置上的两个矩阵元素相减得到。
3.数乘：矩阵的每个元素与一个标量相乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘定义如下：kA=E其中E的元素由矩阵A的每个元素与k相乘得到。
4.乘法：矩阵的行与列的对应元素相乘后求和对于两个矩阵A（m×n）和B（n×p），它们的乘法定义如下：AB=F其中F是一个m×p的矩阵，F的每个元素由矩阵A的其中一行与矩阵B的对应列的元素相乘后求和得到。
矩阵的运算满足以下一些基本性质：1.加法的交换律：A+B=B+A2.加法的结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3.加法的零元素：存在一个零矩阵O，满足A+O=A4.减法的定义：A-B=A+(-B)5.数乘的结合律：(k1k2)A=k1(k2A)6.数乘的分配律：(k1+k2)A=k1A+k2A7.数乘的分配律：k(A+B)=kA+kB8.乘法的结合律：(AB)C=A(BC)9.乘法的分配律：A(B+C)=AB+AC和(A+B)C=AC+BC10.乘法的分配律：k(AB)=(kA)B=A(kB)矩阵的运算在应用中具有广泛的应用，包括线性代数、计算机图形学、优化、概率论等。
通过矩阵的运算规则，可以对线性方程组进行求解、描述线性变换、优化问题、图像处理等。
矩阵的运算规则是学习线性代数和其他数学领域的重要基础知识。
matlab矩阵的四则运算
matlab矩阵的四则运算
Matlab是一种强大的数值计算软件，常常用于数学和工程领域中的大量数据处理和分析。
其中，矩阵的四则运算是Matlab中最常用的功能之一。
矩阵的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
在Matlab中进行矩阵的四则运算需要使用相应的运算符。
1. 矩阵加法：使用“+”运算符。
例如，A+B表示将矩阵A和矩阵B对应元素相加得到的新矩阵。
2. 矩阵减法：使用“-”运算符。
例如，A-B表示将矩阵A和矩阵B对应元素相减得到的新矩阵。
3. 矩阵乘法：使用“*”运算符。
例如，A*B表示将矩阵A和矩阵B相乘得到的新矩阵。
4. 矩阵除法：使用“/”运算符。
例如，A/B表示将矩阵A和矩阵B相除得到的新矩阵。
需要注意的是，矩阵在进行四则运算时必须满足一定的条件，例如矩阵的行数和列数必须相同才能进行加减法运算，而矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数才能进行乘法运算。
Matlab中的矩阵还支持一些特殊的运算，例如转置运算、求逆运算、特征值和特征向量的计算等。
这些运算可以为矩阵的处理和分析提供更加灵活和高效的方式。
总之，矩阵的四则运算是Matlab中非常重要的功能之一，掌握这些运算可为我们提供更加精准和高效的数据处理和分析方法。
矩阵乘向量的四则运算
矩阵乘向量的四则运算矩阵乘向量的四则运算是线性代数中的基础运算，它是矩阵乘法的一个特例。
在实际应用中，矩阵乘向量的四则运算经常出现在各种数学模型和算法中，如神经网络、图形处理等领域。
下面我们将详细介绍矩阵乘向量的四则运算的具体步骤和数学原理。
首先，让我们来看一下矩阵和向量的定义。
矩阵是一个按照行和列排列的矩形数组，通常表示为一个大写字母，如A。
向量是一个只有一列的矩阵，通常表示为一个小写字母，如b。
在矩阵乘向量的四则运算中，我们需要确保矩阵的列数和向量的维度相匹配，才能进行运算。
矩阵乘向量的四则运算包括矩阵与向量的加法、减法、数乘和乘法四种运算。
下面分别介绍这四种运算的具体步骤：1. 矩阵与向量的加法：将矩阵的每一行与向量对应的元素相加即可得到结果向量。
例如，对于一个2×3的矩阵A和一个3×1的向量b，进行加法运算时，结果向量的第一个元素为矩阵A的第一行和向量b的第一个元素相加的结果，依此类推。
2. 矩阵与向量的减法：将矩阵的每一行与向量对应的元素相减即可得到结果向量。
和加法类似，只是这里是相减操作。
3. 矩阵与向量的数乘：将矩阵的每一个元素与数相乘，结果矩阵的每一个元素都等于原矩阵的对应元素乘以这个数。
例如，一个矩阵乘以一个标量k，结果矩阵的每一个元素都等于原矩阵的对应元素乘以k。
4. 矩阵与向量的乘法：矩阵乘向量的乘法是一种复杂的运算，它的结果是一个向量。
具体的计算方法是将矩阵的每一行的元素与向量的对应元素相乘，然后将乘积相加，得到结果向量的每一个元素。
这种运算的结果向量的维度和矩阵的行数相同。
矩阵乘向量的四则运算在实际应用中具有广泛的应用，特别是在计算机科学、工程学和物理学等领域。
熟练掌握矩阵乘向量的四则运算，能够帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识，提高解决实际问题的能力。
希望以上的介绍对您有所帮助，如有任何疑问，欢迎继续交流讨论。
矩阵的加减乘除运算法则
矩阵的加减乘除运算法则矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域中都有着广泛的应用。
矩阵的加减乘除运算是矩阵运算中最基本的操作，掌握了这些运算法则，才能更好地理解和应用矩阵。
一、矩阵的加法矩阵的加法是指将两个矩阵按照相同位置的元素进行相加得到一个新的矩阵。
两个矩阵相加的前提是它们的行数和列数相等。
具体的加法运算规则如下：- 相加的两个矩阵必须具有相同的行数和列数。
- 相加的结果矩阵的每个元素等于相加的两个矩阵对应位置的元素的和。
例如，对于两个3行3列的矩阵A和B，它们的加法运算可以表示为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]A +B = [10 10 10; 10 10 10; 10 10 10]二、矩阵的减法矩阵的减法是指将两个矩阵按照相同位置的元素进行相减得到一个新的矩阵。
两个矩阵相减的前提也是它们的行数和列数相等。
具体的减法运算规则如下：- 相减的两个矩阵必须具有相同的行数和列数。
- 相减的结果矩阵的每个元素等于相减的两个矩阵对应位置的元素的差。
例如，对于两个3行3列的矩阵A和B，它们的减法运算可以表示为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]A -B = [-8 -6 -4; -2 0 2; 4 6 8]三、矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵进行相乘得到一个新的矩阵。
乘法运算的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
具体的乘法运算规则如下：- 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
- 乘法的结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
- 结果矩阵中的每个元素等于第一个矩阵的对应行与第二个矩阵的对应列的乘积之和。
例如，对于一个2行3列的矩阵A和一个3行2列的矩阵B，它们的乘法运算可以表示为：A = [1 2 3; 4 5 6]B = [7 8; 9 10; 11 12]A *B = [58 64; 139 154]四、矩阵的除法矩阵的除法并不像加减乘法那样常见，因为矩阵的除法并没有一个统一的运算法则。
矩阵运算矩阵的加减乘除和求逆运算
矩阵运算矩阵的加减乘除和求逆运算在数学领域中，矩阵运算是非常重要的一部分。
矩阵的加减乘除和求逆运算是常见的运算方式，本文将对这些运算进行详细的介绍和讨论。
一、矩阵的加法运算矩阵的加法是指两个同型矩阵之间的对应元素相加。
设有两个m×n 矩阵A=[aij]和B=[bij]，则它们的和矩阵C=A+B定义为C=[cij]，其中cij=aij+bij。
换句话说，对应位置的元素相加，得到的结果矩阵的对应位置元素即为相加的结果。
二、矩阵的减法运算矩阵的减法与加法类似，也是对应元素相减的运算。
设有两个同型矩阵A=[aij]和B=[bij]，则它们的差矩阵C=A-B定义为C=[cij]，其中cij=aij-bij。
同样，对应位置的元素相减，即可得到结果矩阵的对应位置元素。
三、矩阵的乘法运算矩阵的乘法是指两个矩阵按照一定规则进行相乘的运算。
设有两个矩阵A（m×n）和B（n×p），它们的乘积矩阵C（m×p）定义为C=AB，其中C=[cij]，cij=∑(k=1 to n)(aij·bkj)。
换句话说，矩阵A的行与矩阵B的列相乘，然后求和得到结果矩阵的对应位置元素。
四、矩阵的除法运算矩阵的除法运算涉及到矩阵的逆运算。
设有两个矩阵A和B，如果存在一个矩阵C，满足C=AB，那么我们可以称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作B=A^(-1)。
矩阵的逆矩阵有一些特性，例如矩阵A与其逆矩阵B的乘积为单位矩阵，即AB=BA=E。
五、矩阵的求逆运算求矩阵的逆矩阵是一个重要的运算过程。
对于一个给定的n×n矩阵A，如果存在一个n×n矩阵B，使得AB=BA=E，那么我们称矩阵A是可逆的，矩阵B则是矩阵A的逆矩阵。
求逆矩阵的方法有多种，例如高斯-约当消元法、初等变换法等，具体的求解过程和方法在此不一一赘述。
综上所述，矩阵的加减乘除和求逆运算是矩阵运算中的重要内容。
通过对矩阵的加减乘除运算，我们可以实现对矩阵的相加、相减和相乘等操作，进而应用于各个领域的问题求解中。
矩阵的四则运算
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2, ×3
b11
B
b21
b31
b12
b22
b32 3×2
AB
2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
性质：设矩阵 A 为A 的伴随矩阵. 试证
证 设 A aij , 记 AA bij , 则
A, i j,
bij ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn A ij
0,
i j.
18
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
A
O
故
AA
A ij
A
O
A E. A
类似有 A A A1ia1 j A2ia2 j Ani anj A ij A E.
1n M
a1b1 a2b2 anbn
n
11 ai bi
i 1
bn n1
是一个数.
b1
b2
M
a1, a2 ,L
bn n1
, an 1n
b1a1
b2a1 bna1
b1a2
b2a2
bna2
b1an
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
6）用矩阵的乘法表示线性变换和线性方程组
设给定一个线性变换
系数矩阵
a11 a12
A
aij
a21
am1
a22 am2Biblioteka a1n a2n amn
Matlab应用线性代数
矩阵的行列式
可用函数det求矩阵的行列式大小。 例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=det(a) b=
1
矩阵的四则运算
❖ 数组和矩阵的加减运算使用加号和减号，即 “+”和“-”。
❖ 矩阵相乘使用“*”运算符。
❖ 如果只是将两个矩阵中相同位置的元素相乘， 使用“.*”运算符。
线性方程组的求解
❖ 方形系统 p135 ❖ 超定系统 ❖ 不定系统
符号矩阵
❖ 符号矩阵的四则运算 ❖ 符号矩阵的转置运算 ❖ 符号矩阵的行列式运算 ❖ 符号矩阵的求逆运算 ❖ 符号矩阵的求秩运算 ❖ 符号矩阵的常用函数运算 ❖ 符号矩阵常用线性方程(组)的求解
符号矩阵运算的函数： symadd(a,d) —— 符号矩阵的加 symsub(a,b) —— 符号矩阵的减 symmul(a,b) —— 符号矩阵的乘 symdiv(a,b) —— 符号矩阵的除 sympow(a,b) —— 符号矩阵的幂运算 symop(a,b) —— 符号矩阵的综合运算
load mri; montage(D,map);
❖ Imwrite;将图像写成图像文件 （bmp,hdf,jpeg,tiff等）; imwrite(A,文件名，‘格式’)；
❖ Warp 显示图像为纹理映射表面 warp(x,y,z,….) [x,y,z]=sphere; d=imread('test.jpg'); warp(x,y,z,d); warp(x,y,z,X,map);%% load trees; 具有颜色图map的索引图X
0000
矩阵的秩
用函数rank求矩阵的秩。 例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=rank(a) b=
矩阵运算与应用
矩阵运算与应用矩阵运算是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于科学、工程和计算机领域。
矩阵运算能够方便地描述和解决复杂的问题，如线性方程组的求解、向量的变换和图像处理等。
本文将从矩阵的定义与性质出发，介绍矩阵的四则运算、特殊矩阵的应用以及矩阵在图像处理中的应用。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由m行n列的数按照一定的排列顺序排列而成的矩形数组，常用大写字母表示。
例如，一个3行2列的矩阵可表示为：A = [a11 a12; a21 a22; a31 a32]矩阵的行数为m，列数为n，记作m×n。
矩阵中的每个元素aij表示在第i行第j列的数。
矩阵可以进行加法、减法和数乘运算，从而实现矩阵的四则运算。
矩阵的性质还包括可交换性、可结合性和可逆性等。
两个矩阵相乘时，满足结合律，但一般不满足交换律。
当且仅当矩阵A的行数等于列数时，矩阵A存在逆矩阵，即AA^-1=I，其中I为单位矩阵。
二、矩阵的四则运算1. 矩阵的加法矩阵的加法要求两个矩阵的行数和列数相等。
对于两个矩阵A和B，其和矩阵C的元素由相应位置的元素相加得到，即C = A + B。
2. 矩阵的减法矩阵的减法同样要求两个矩阵的行数和列数相等。
对于两个矩阵A和B，其差矩阵D的元素由相应位置的元素相减得到，即D = A - B。
3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是将一个矩阵的每个元素乘以一个常数。
对于矩阵A和常数k，其数乘结果矩阵E的元素由矩阵A的对应元素乘以k得到，即E = kA。
4. 矩阵的乘法矩阵的乘法需要满足左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
对于两个矩阵A和B，其乘积矩阵F的元素由矩阵A的对应元素与矩阵B对应元素的乘积相加得到，即F = AB。
三、特殊矩阵的应用1. 单位矩阵单位矩阵是一个特殊的方阵，对角线上的元素为1，其它元素为0。
单位矩阵在矩阵运算中起到类似于数字1的作用。
2. 零矩阵零矩阵所有元素都是0。
在矩阵运算中，零矩阵与任何矩阵的加法和减法结果都是其本身。
线性代数第四讲_矩阵的概念及其加减乘运算讲义
一 部分特殊矩阵
1
零矩阵 所有元素均为 0 的矩阵称为零矩阵，记为O 例如
O22 0 0 0 0 O23 0 0 0 0 0 0
O33 0 0 0 0 0 0 0 0 0
一 矩阵的定义：
第四讲 矩阵的概念及其运算
由 mn 个数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成 的一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵
a11 a21 记作 Amn= am1
a12 a1n a22 a2n am2 amn
a11±b11 a12±b12 … a1n±b1n a21± b21 a22 ±b22 … a2n±b2n A±B= … … … am1±bm1 am2±bm2 … amn±bmn
1 2 例1 设 A 3 +5 2+6 解 A B 3 4 7 8 3+7 4+8
2 方阵 若矩阵A的行数与列数都等于n， 则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵
例如
A22 1 2 3 4
B33 2 5 3 1 2 2 7 4 4
3 行矩阵与列矩阵： 只有一行的矩阵称为行矩阵 只有一列的矩阵称为列矩阵
也可以用小写黑体字母 例如
1 0 0 diag(1,2,3) 0 2 0 0 0 3
2 0 diag(2,1,3,4) 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4
5 数量矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵 a A 0 0 0 a 0
b11 0 B b21 b22 bn1 bn2
[理学]23矩阵及其运算
![[理学]23矩阵及其运算](https://img.taocdn.com/s3/m/30b7ae1dba68a98271fe910ef12d2af90242a832.png)
c, rand(m,n,p,…)=rand([m n p …])
d. rand %只产生一个随机数
e. rand(size(A))
randn 产生正态分布随机数
2.3.6 矩阵的一些特殊操作
1． 变维
(1) reshape (X,M,N) 把矩阵X变成M行N列的矩阵。 注：X的元素个数必须为M*N
=
2
⎨5x1 + 0.5x2 + 4x3 = 6
⎪ ⎩7 x1
+
8x2
+ 11x3
=
3
解：在MATLAB命令窗中输入
>>A=[2,5,1.2;5,0.5,4;7,8,11];
b=[2,6,sqrt(3)]';
x=A\b
x=
2.0236
-0.1674
-1.0085
右除“/” : B/A=(A’\B’)’
7．零空间函数
齐次线性方程组 Am×n x = 0 的解空间，即零空间
{ } N (A) = x ∈ Rn Ax = 0
命令：null(A); 零空间N(A)的标准正交基所组成的矩阵。 命令：null(A,’r’); 零空间N(A)的n-rank(A)个线性无关的
解向量（基础解系）所组成的n*(n-rank(A))阶矩阵。
0.1111 0.1111 0.1111
2.3.5 特殊矩阵的生成
空阵 空阵[ ] 是0╳0阶矩阵 作用: 用于缩维等 【例2.3.8】 >>a=[1:18]
a= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
>>a=reshape(a,3,6) % 重组成3╳6阶矩阵 a= 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 17 3 6 9 12 15 18
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3 4
f ( A) 2E 3A A2
2
1 0
0 1
3
1 0
1 2
1 0
3 4
0 0
00
二、矩阵的关系运算
线性代数 第二章 矩阵及其运算
12
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
1.矩阵的转置
定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，
叫做矩阵A的转置矩阵，记作 AT .
若 A
则
a11 a21 am1
再如：若 A 是m×但n矩B阵A， 而121B 103是n143× 12m矩10 阵03 ，2则1A无B与法B相A乘都.有
意义 但AB≠BA. 若阶方阵A,B 满足 AB=BA 称A与B 可交换
线性代数 第二章 矩阵及其运算
8
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
2）实数运算存在化0因子，即若ab=0,则a,b至少有一个数是0。但矩
线性代数 第二章 矩阵及其运算
1
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
本次课讲： 1.教材第二章第二节：矩阵的基本运算和关系运算
2.教材第二章第三节：逆矩阵的概念与性质 3.下次上课时交作业：P9－P12 下次课讲： 1.教材第二章第三节（续）：逆矩阵的运算与证明 2.教材第二章第四节：矩阵的分块法 3.教材第三章第一节：初等变换的基本概念
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
班级：
时间：
年 月 日；星期
教学目的 重点
掌握矩阵的加减、数乘、乘法和幂等基本运算。理解 并熟悉矩阵的转置、对称、共扼等概念，理解伴随矩 阵理解方阵运算，会用方阵运算方法进行相关运算。 掌握逆矩阵的概念性质及伴随矩阵求法
矩阵的基本运算
难点 矩阵的乘法、幂及方阵的运算性质
讲授方法 讲练结合
2 分析：因为矩阵乘法有结合律，注意到 T 2是一个数，于是
A2 ( T )( T ) ( T ) T 2 T 2A 归纳一下：
A4 A2 A2 (2 A)(2 A) 4 A2 8 A
1
A4
23
A
8
2
1
1
1 2
1
0
8
2 1
1
2 1 1
2
0 0
8 16
0
8
4 8 4
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn
ym am1 x1 am 2 x2 amn xn
a11 a12
A
aij
a21
am1
a22 am2
a1n
a2n amn
,
X
x1
xxn2 ,
k 1
线性代数 第二章 矩阵及其运算
6
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
注意：只有当左矩阵的列数等于右 矩阵的行数时，
两个矩阵才可以相乘(与顺序有关).
如:
b1
a1, a2 ,L
, an
b2
1n M
a1b1 a2b2 anbn
n
11 ai bi
i 1
bn n1
是一个数.
b1
证明：设 f x a0 x n a1x n1 an1x an f A a0 An a1 An1 an1 A an E
f AT a0 An T a1 An1 T an1 AT an ET
a0 An T a1 An1 T an1 A T an E T
若令A
2 3
4 6
,
B
2 2
05,C 10
12
则AB
AC
4 6
1105, A O,但是，B C
4)可相乘的单位矩阵与任意矩阵可交换
Em Amn Amn , Amn En Amn . 或简写成 EA = AE = A.
线性代数 第二章 矩阵及其运算
9
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
5)矩阵的乘法虽然一般不能满足交换律，但结合律却总是成立的，
x2
b21t1
b22t2
(2)
x3 b31t1 b32t2
求出从 t1 , t2到 y1, y2的线性变换.
y1 y2
(a11b11 (a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 )t1 a23b31 )t1
(a11b12 (a21b12
a12b22 a22b22
讲授内容 概念－同型加减－数乘全－乘法行列算、一般不交换 主线 －方阵可算幂－行列式宜单算－转置行列换－引来对
称与伴随，伴随有转置。逆矩阵的概念与性质
作业要 求
练习册 P9-13, 习题110;其中 交：P910,习题： 1－4
内容概括
乘法是行列式对应元素乘积和，交换化零与消去均不 可，方阵可算幂与行列式，行列式注意数乘与积的乘 法，变换导出的逆阵具有唯一、非奇异与单侧性及数 乘转置的运算律。
线性代数 第二章 矩阵及其运算
7
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
1）乘法一般不满足交换律:
例1
求矩阵
A
1 2
0 1
3 0
21
与B
4 1 2 1
1 1 0 3
0
3
1 4
的乘积AB.
解
C
AB
1 2
0 1
3 0
4
21
1 2 1
1 1 0 3
0 3 1 4
9 9
2 9
1 11 2×3
4 1 0
y1
Y
yym2 ,
由矩阵乘法知： Y AX
线性代数 第二章 矩阵及其运算
10
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
4. （方）矩阵的幂 设 A 是 n 阶方阵，定义
A1 A, A2 A1 A1 , , Ak1 Ak A1 .
注：1. 只有方阵，它的幂才有意义。
2. Ak Al Akl , Ak l Akl .
线性代数 第二章 矩阵及其运算
3
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
一、矩阵的四则运算 3.矩阵与矩阵相乘（重点是乘的过程与表达式）
（1）乘法的历史
设有两个线性变换:
y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
(1)
x1 b11t1 b12t2
a12 a22 am2
a1n
a2n amn
mn
,
a1T1 a1T2 a1Tm
a11 a21
AT
＝
a2T1
a2T2
anT1 anT2
a2Tm
anTm
nm
a12 a1n
a22 a2n
转置的特点：A (aij ), AT (aiTj ) (a ji )
a11b12 a12b22 a13b32 a 21b12 a 22b22 a 23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2, , m; j 1,2, , n k 1
证明(iv)
设
Aaij,ms来自Bbij,
sn
s
s
cij aik bkj , c ji a jk bki ,
AB C
cij
,
mn
k 1
k 1
(AB)T (cij )T (ciTj ) (c ji )
设BT AT (dij ) BT AT的(i, j)元dij为BT的 第i行 与AT的 第j列 对 应 元 素 乘 积 和 ， 由 转 置 定 义 ，即 为B的 第i列 与A的 第j行 对 应 元 素 乘 积 和 ，
cm
1
c1 j cij cmj
c1n c11 a11b11 a12b21 a1sbs1
s
cin
a1k bk1 k 1
cmn
c12
a11b12 a12b22
s
a1sbs2
a1k bk 2
k 1
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j ais bsj aik bkj
0 3
21,
1 B 4
2
7 2 0
1 3 , 1
解
1 4 2 2 1 0 17
ABT BT AT 7 2 0 0 3 14 13.
1 3 1 1 2 3 10
线性代数 第二章 矩阵及其运算
15
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
例5（2000.2） 已知＝（1 2 3)T , (1 1 0)T A T ,则A4 ___
阵运算不存在化0因子，即若AB=0,A与B可能都不为0，如下例
例2 求矩阵
A
2 1
42与
B
2 3
46的乘积AB 与 BA.
解
AB
2 1
42
2 3
46
16 8
32 16
BA
2 3
46
2 1
42
0 0
0 0
3）实数满足消去律，但矩阵乘法消去律不再成立。就是说，若矩阵
A、B、C满足AB=AC，并且A不为0，则不能推出B＝C，例如
也就是
s
dij bkia jk k 1
s
s
dij bkia jk a jk bki c ji ,
k 1
k 1
所以
BT AT ABT .
线性代数 第二章 矩阵及其运算
14
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
注：行矩阵的转置矩阵是列矩阵，列矩阵的转置矩阵是