利用空间向量求空间角教案设计

利用空间向量求空间角

备课人：龙朝芬 授课人：龙朝芬

授课时间：2016年11月28日

一、高考考纲要求：

能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．

二、命题趋势：

在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.

三、教学目标

知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；

过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力.

四、教学重难点

重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题.

五、教学过程

（一）空间角公式

1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r

,异面直线l ，m

2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r

为平面α的法向量，θ为

l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r

r

a n a n

⋅r r r r .

3、面面角公式：设1n r

，2n r

分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r

或

12,n n θπ=-r r

（需要根据具体情况判断相等或互补）

，其中121212

cos ,n n n n n n ⋅=r r

r r r r .

（二）典例分析

如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o

，SO ⊥面OABC ，且

1,2OS OC BC OA ====.求：

（1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值.

α

θ

O

O

A

B

C

S

n

r a

解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ，

于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r

，

（1

）cos ,SA OB SA OB SA OB

⋅==

=u u r u u u r

u u r u u u r u u r u u u r ， 所以异面直线SA 和OB

. （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r

，

则0,0,

n AB n SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u r

，即0,20.x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r

，

sin cos ,OS n OS n OS n α⋅∴===

=u u u r r

u u u r r u u u r r （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r

，

又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r

是平面AOS 的法向量，

令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r

，则有121212

cos ,n n n n n n ⋅==

=u r u u r

u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --

的余弦值为

6

（三）巩固练习

1、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，点E 、F 分别11A C ，1AD 的中点，求：

（1）异面直线EF 和CD 所成的角的余弦值；（2）11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值； （3）平面11A BC 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.

解析：以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，1DD ，为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系D xyz -，由于2AB =，11BC AA ==，所以(0,0,0)D ，(0,2,0)C ，

1(,1,1)2E ，11(,0,)22F ，1(1,0,1)A ，

(1,2,0)B ，1(0,2,1)C ，1(0,0,1)D ，则1

(0,1,)2EF =--u u u r ，(0,2,0)DC =u u u r ，11(1,2,0)AC =-u u u u r ，1(1,0,1)BC =-u u u u r ，11(0,2,0)DC =u u u u r .

（1

）cos ,EF DC EF DC EF DC

⋅==u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r ∴异面直线EF 和CD

所成的角余弦值为

5

； （2）设平面11A BC 的法向量(,,)n x y z =r

，则有

则1110,0,

n A C n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u u r

，即20,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩ 令2x =，则1y =，2z =，所以(2,1,2)n =r

，

又设11D C 与平面11A BC 所成的角为θ，

则11111121

sin cos ,233D C n D C n D C n θ⋅===

=⨯u u u u r r

u u u u r r u u u u r r . （3）由（2）知平面11A BC 的法向量1(2,1,2)n =r

，

又1DD ⊥Q 平面ABCD ，1DD ∴u u u u r

是平面ABCD 的法向量，

令21(0,0,1)n DD ==u u r u u u u r ，则12121222

cos ,313

n n n n n n ⋅==

=⨯u r u u r

u r u u r u r u u r . 故所成的锐二面角的余弦值为

23

. 2、如图所示，四棱锥P ABCD -，ABC ∆为边长为2

的正三角形，CD =1AD =，

PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1PO =，求：

（1）异面直线AB 与PC 所成角的余弦值； （2）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.