线性规划求最值的常见题型
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④综上,z最大值为3；z最小值为-3.
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
������0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理 解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点 或最小值点．
(2)������ = ������������++31的最值.
从目标函数的 几何意义思考
非线性目标函 数
（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值
可求得������可���目���9���行标���,���域8函���������中数.=的���的������点几������������到������何���������P2意=点义=的���可���距2���表���离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中 徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题 二、求非线性目标函数的最值问题 三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函 数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视 台的广告时间为主要变 量，公司的收益为两个 电视台获得的收益总和， 故可设两个电视台的广 告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别
为 x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元，由题意得
目标函数为 z＝3 000x＋2 000y.
万元．
[类题通法]
利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当
数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确
立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得
出结论．
小结：
利用线性规划求最值主要有三种类型：目标函数 为线性，目标函数为非线性，实际应用。
解题的本质是画出可行域，数形结合解题。当目 标函数非线性时，要注意利用其几何意义解题。 在实际应用中，要注意实际问题的定义域。
取得最大值．联立x5＋ x＋y＝2y＝3009，00， 解得 x＝100，y＝200.
∴点 M 的坐标为(100,200)．∴z 最大值＝3 000x＋2 000y＝ 700 000(元)．因此，该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在
乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70
方
X-2y+7=0
4x-3y-12=0
`
P(-3,-1)
x+2y-3=0
(2)������ = ������������++31的最值.
tmax kPA
可求得������ ቀ−2， 5ቁ . ������ 3，0
2
1 ������������������������ = ������������������ = 6
x＋y≤300， 500x＋200y≤90 000， x≥0，
y≥0.
x＋y≤300， 二元一次不等式组等价于x5≥x＋0，2y≤900，
y≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，
如图．作直线 l：
3 000x＋2 000y＝0，即 3x＋2y＝0.
平移直线 l，从图中可知，当直线 l 过 M 点时，目标函数
(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数 的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离， 过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起
到事半功倍的效果． (2)常见代数式的几何意义主要有：
① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
②
y x
表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
y－b x－a
表示点(x，y)与
点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得 以转化，往往是解决问题的关键．
题型三、实际问题中的最值问题
[例4] 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收 费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台 为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万 元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时
解：①作可行域（如图）
② z=2x+y，z可看成直线在y轴上的 截距。可作直线������0: 2������ + ������ = 0,因此平 行移动直线������0，若直线截距z取得最 大值，则z取得最大值；截距z取得最 小值，则z取得最小值. ③因此直线平移到过A（2，-1）处 取得最大值，即Zmax=2×2-1=3； 在过B（-1，-1）处取得最小值， 即Zmin=2×（-1）+（-1）=-3。
题型二、求非线性目标函数的最值
������ − 2������ + 7 ≥ 0 例2.已知������, ������满足线性约束条件 ቐ4������ − 3������ − 12 ≤ 0
������ + 2������ − 3 ≥ 0 求（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值.
7 ������������������������ = ������������������ = 2
X-2y+7=0 Q(x,y)
t的几何意义可表 示为可行域中的 点与p点连线的
斜率
4x-3y-12=0
tmin kPB
P(-3,-1)
x+2y-3=0
[类题通法] 非线性目标函数最值问题的求解方法
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
������0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理 解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点 或最小值点．
(2)������ = ������������++31的最值.
从目标函数的 几何意义思考
非线性目标函 数
（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值
可求得������可���目���9���行标���,���域8函���������中数.=的���的������点几������������到������何���������P2意=点义=的���可���距2���表���离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中 徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题 二、求非线性目标函数的最值问题 三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函 数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视 台的广告时间为主要变 量，公司的收益为两个 电视台获得的收益总和， 故可设两个电视台的广 告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别
为 x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元，由题意得
目标函数为 z＝3 000x＋2 000y.
万元．
[类题通法]
利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当
数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确
立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得
出结论．
小结：
利用线性规划求最值主要有三种类型：目标函数 为线性，目标函数为非线性，实际应用。
解题的本质是画出可行域，数形结合解题。当目 标函数非线性时，要注意利用其几何意义解题。 在实际应用中，要注意实际问题的定义域。
取得最大值．联立x5＋ x＋y＝2y＝3009，00， 解得 x＝100，y＝200.
∴点 M 的坐标为(100,200)．∴z 最大值＝3 000x＋2 000y＝ 700 000(元)．因此，该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在
乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70
方
X-2y+7=0
4x-3y-12=0
`
P(-3,-1)
x+2y-3=0
(2)������ = ������������++31的最值.
tmax kPA
可求得������ ቀ−2， 5ቁ . ������ 3，0
2
1 ������������������������ = ������������������ = 6
x＋y≤300， 500x＋200y≤90 000， x≥0，
y≥0.
x＋y≤300， 二元一次不等式组等价于x5≥x＋0，2y≤900，
y≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，
如图．作直线 l：
3 000x＋2 000y＝0，即 3x＋2y＝0.
平移直线 l，从图中可知，当直线 l 过 M 点时，目标函数
(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数 的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离， 过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起
到事半功倍的效果． (2)常见代数式的几何意义主要有：
① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
②
y x
表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
y－b x－a
表示点(x，y)与
点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得 以转化，往往是解决问题的关键．
题型三、实际问题中的最值问题
[例4] 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收 费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台 为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万 元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时
解：①作可行域（如图）
② z=2x+y，z可看成直线在y轴上的 截距。可作直线������0: 2������ + ������ = 0,因此平 行移动直线������0，若直线截距z取得最 大值，则z取得最大值；截距z取得最 小值，则z取得最小值. ③因此直线平移到过A（2，-1）处 取得最大值，即Zmax=2×2-1=3； 在过B（-1，-1）处取得最小值， 即Zmin=2×（-1）+（-1）=-3。
题型二、求非线性目标函数的最值
������ − 2������ + 7 ≥ 0 例2.已知������, ������满足线性约束条件 ቐ4������ − 3������ − 12 ≤ 0
������ + 2������ − 3 ≥ 0 求（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值.
7 ������������������������ = ������������������ = 2
X-2y+7=0 Q(x,y)
t的几何意义可表 示为可行域中的 点与p点连线的
斜率
4x-3y-12=0
tmin kPB
P(-3,-1)
x+2y-3=0
[类题通法] 非线性目标函数最值问题的求解方法