(优选)离散数学近世代数代数结构

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左分配律 若有(a* b)c=(a* c)(b* c),则称“” 对“*” 满足右分配律。 若(ab)*c=(a* c)(b* c),则称“*”运算对“”运算满足右分配律。
例:代数系统(N,+,×)。其中+,×分别代表通常数的 加法和乘法。
是否满足交换律?
单位元( 幺元)
一个代数系统(S,*), 若存在一个元素eU, 使得对 xS,有:e * x =x * e = x,则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。
例 设代数系统(N,*),* 的定义为: 对 a,b N , a *b ab
那么,(N,*)有没有单位元?左幺元?右幺元?
解:对任何 因此 1 是右幺a元 N。, a *1 a1 a
但 1 不是左幺元,因为 所以(N,*)没有左幺元,1*当2 然12也1就没2 有幺元。
定理
代数系统(U,)的单位元若存在,则唯一。 证:设 e 为运算“ ”的幺元,另有一单位
例1 〈Z; +,*〉, 〈Z; -, *〉,〈N, - 〉, 〈{T,F}; ┐,∧,∨〉, 〈P(A); ∪,∩〉
是否代数系统? 需要满足的条件?
对于集合A,称运算f: A B 是封闭的, 如果BA。
代数系统的基本概念
一个代数系统需要满足以下三个条件: 有一个非空集合S; 有一些建立在集合S上的运算; 这些运算在S上是封闭的。
元 e,
∵e是幺元,∴对xU,有ex =x,取x= e ,
则e e = e

又∵ e是幺元,∴对xU,有x e =x,取
x=e,则e e =e

由 ① ② 式可得: e =e,即幺元唯一。
零元
代数系统(S,),如果存在一个元素θS,使得对 xS有:θx =xθ=θ,则称θ为对于运算“ ” 的零元。
于1,且该代数系统存在幺元 e 和零元θ,则θe。 证明:用反证法,设θ=e,则对于任意的xA,必有
x = ex = θx =θ= e, 即对于A中所有元素都是相同的,这与A中含有多个元
素相矛盾。源自文库
逆元
一个存在幺元 e 的代数系统(U,),如果对 U 中的 元素 x 存在 x-1,使得 x-1 x = x x-1 = e, 则称x-1为x的逆元。 ➢ 若 x x-1 = e,则称 x-1 为 x 的右逆元。 ➢ 若 x-1 x = e,则称 x-1 为 x 的左逆元。 ➢ 既是左逆元,又是右逆元,则称 x-1 为 x 的一个
例 在整数集合 I 上定义 如下:
对任何 a,b I , a b a b a b 其中的+, 分别是通常数的加法和乘法。 那么 是一个从 I 2 到 I 的函数, 易知 在集合 I 上是封闭的,<I, > 是 一个代数系统。
代数系统的基本概念
如果两个代数系统有相同个数的运算符,每个相 对应的运算符的元数是相同的,则称这两个代 数系统是同类型的。
例:在整合集合 I 上定义运算 : 对任何 a,b I , a b a b (a b) 其中的 +, 分别是通常数的加法和乘法。 可以满足交换律吗?
分配律(左分配,右分配)
设有代数系统(S,,*),对a,b,cS,如果有 a(b*c)=(ab)*(ac),则称 “”运算对“*”运算满足左分配律。 若“*”对“”满足a*(bc)=(a*b)(a*c),则称 “*”对 “”满足
(优选)离散数学近世代数代数 结构
什么是代数结构
由集合以及集合上的运算组成的数学结构 称为代数结构(也称为代数系统).
代数结构是抽象代数的一个主要内容.
研究的中心问题: 集合上的抽象运算及运算的性质和结构。
关于代数结构
研究意义:研究抽象代数结构的基本特征和基本 结构,不仅能深化代数结构的理论研究,也能 扩展其应用领域。
bA,有a★b=b,证明:★是满足结合律的。 证:∵ 对于任意的a,b ,c A,
(a ★b)★c= b ★c= c 而a★(b★c)=a★ c= c, ∴(a★b)★c= a★(b★c) ∴★是满足结合律的.
交换律
设有代数系统(S,*),如果对于a,b S,有 a*b = b*a,则称此代数系统的运算“ * ”满 足交换律。
重点:
代数结构的判定与构造,代数结构关系:同态、同构
难点:
同态基本定理
代数运算、代数结构
S是非空集合,映射 f: SnS称为S上的n元运算。 写法: f(a,b)=c可改写为: a f b=c 例如,在集合R上,对任意两个数所进行的普通加
法和乘法,都是在集合R上的二元运算。
由集合S及S上的封闭运算f1,f2,…,fk所组成的系统 就称为一个代数系统,记作<S,f1,f2 ,…,fk>, 或 (S,f1,f2 ,…,fk).
定义:两个代数系统(U,)与(U,*) ,如果满足 下列条件:
① U U;
② 若a U,bU,则a*b =a b;则称(U,*) 是(U,)的子系统或子代数 。
代数运算及其性质
设有代数系统(S,*),对a,b,cS,如果有 (a*b)*c= a*(b*c), 则称此代数系统的运算满足结合律。 例:设A是一个非空集合, ★是A上的二元运算,对于任意a,
若只满足θx =θ,则θ称为左零元。 若只满足 xθ=θ,则θ称为右零元。
例:
代数系统(I,×)的零元是什么? 在所有n阶方阵集合M上的代数系统(M,×),零
元是什么?
在I+上定义一个二元运算取极小“Min”,( I+, Min)的零元是什么?
性质、定理
定理 一个代数系统,其零元若存在,则唯一。 定理 一个代数系统(S,),若集合 A 中元素的个数大
应用: 现代数学,如拓扑学、泛函分析,等 计算机科学:如 半群自动机、形式语言 群纠错码的设计
格和布尔代数计算机硬件设计、通讯系统设计
其他:代数方程求解、物理、化学
主要内容
第12章 第13章 第14章 第15章
代数结构的概念 半群与群 环和域 格与布尔代数
第12章 代数结构的概念
第1节 代数运算及其性质 第2节 代数结构的同态和同构
注意: 单位元是跟运算有关系的,不同的运 算可能单位元是不一样的。
左单位元或右单位元(左幺元或右幺元)
一个代数系统(S,), 若存在一个元素elS,使得对 xS,有:elx =x,则称 el 为对于运算“ ” 的左幺元 。
若存在一个元素erS,使得对xS,有:x er=x, 则称 er为对于运算“ ”的右幺元 。
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