椭圆经典结论

极速秒杀法-------椭圆经典结论

[结论1]：椭圆焦点三角形周长：122PFF =2a 2,=4a c MNF +周长周长；

[例题]：（1）椭圆22

131

x y +=，点A,B 经过椭圆左焦点，2ABF ∆的周长。

解：2AB F 周长

（2）过椭圆

221259

x y +=左焦点作直线与椭圆交于AB ，若22AF +BF =12AB ，求的值。 解：2AB =4a=12+AB AB =8F ∴周长。

[结论2]：焦点三角形离心率：1212

22F F c e a PF PF =

=+；1221cos

2=PFF =PF F cos

2

e αβ

αβαβ+=∠∠-（，）； [例题]：（1）过椭圆22

221x y a b

+=左焦点作x 轴的垂线与椭圆交于P ，若1260F PF ∠=，求离心率。

解：121222F F c e a PF PF =

===

+ 。 （2）过椭圆

22

112m

x y +=右焦点2F 作x 轴的垂线与椭圆交于A,B ，若1ABF ∆为正三角形，求椭圆方程。

解：3090

cos

cos

22===830903cos cos 22

e m αβ

αβ++=

=-

- 。

（3）已知正方形ABCD ，求以A ，B 为焦点且过C ，D 的椭圆的离心率。 解：1212212F F c e a PF PF =

===+ 。 （4）在三角形ABC 中，AB=BC ，7

cos 18

B =-

，求以A,B 为焦点，且过C 的椭圆的离心率。 解：2122

1225523

59328

3

F F t t c t AC AC e t a PF PF t =∴=∴====++ 。 （5）设22

2221

F x y a

b

+=以的右焦点为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若1F M 与圆相切，求e.

解：1212212F F c e a PF PF =

===+。

[结论3]：焦点三角形之夹角：122

PF F 12S =b tan

,sin 1=FPF 22e θ

θθ⎡⎫∈∠⎪⎢⎣⎭

，，； [例题]：已知椭圆22

221x y a b

+=的两焦点，P 为椭圆上点且12120F PF ∠=，求离心率取值范围。

解：sin

1,12e e θ⎫

⎡

⎫

∈∴∈⎪⎪⎢⎪⎣

⎭⎣⎭

， 。 [结论4]：中点弦斜率：则22222200

22222200

x x 11a x x y b y a k k a b a y b b y +=∴=-+=∴=-；；

[例题]：(1)已知椭圆2222x 1a y b +=

的焦点F 0（被直线y=3x-2截得弦中点横坐标为1

2

，求椭圆方程。

解：2

222

21

11a 2-c 503-11227525

2

y x k b =∴==∴+=-中点（，），。

(2)已知椭圆 22

x 143y +=，确定m 取值范围，使得对于直线y=4x+m ，椭圆上总有不同两点关于该直线对称。 解：0

00000

13AB x -344x k y x y ∴=-=∴=设中点（，y ）,

，

22m 9-m -3m 1431313

m m ∴∴+<∴-<<中点（，）在椭圆内。

[结论5]：椭圆上任意不与x 轴垂直弦AB 中点M ，O 为原点，则22

AB OM

2k k =e 1b a

=-- ；

[例题]：(1)过点M （1,1）作斜率为1

-2的直线与椭圆2222x 1y a b +=交于A,B 两点，且M 为AB

中点，求离心率。

解：2AB OM 211k =1,K =-k k 222

OM AB b e a ∴=-=-∴

=。

（2）过椭圆2222x 1y a b +=的右焦点直线x 0y +-=交椭圆于A,B 两点，且p 为AB 中点，OP

斜率为1

2

，求椭圆

方程。

解：222

P AB OM 211

k =-1,K =k k F 30a 6,12263

O AB b x y b a ∴=-=-

∴==+=（，）。

（3）椭圆22

221x y a b

+=的右焦点F(3,0),过F 作直线交椭圆于A ，B 两点，若中点M(1,-1),求椭圆方程。

解：222

22

2119k 1-11=3122a 189

AB OM

x y k e e e a b =-∴⨯=-∴=∴==∴+=（）。

[结论6]：椭圆上两关于原点对称点为A ，B ，任意点为P ，则22

2k k =e 1PA PB

b a

=-- ；

[例题]：(1)已知椭圆22

22x

1y a b

+=的离心率e=3过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A,B 两点，且斜率

分别为12k ,k ，若A ，B 关于原点对称，求12k k 的值。

解：2222

12221k k =-1a 3

b a

c e a -=-=-=-。

(2)已知椭圆22x 143

y +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且PA 斜率取值范围：[]-2-1，,直线PB 的斜率取值范围。

解：[]2122333k k k 2,1==-,484b k a ⎡⎤

=---∴∈⎢⎥⎣⎦

。

[结论7]：焦点弦：设通径长为H ，

则22

22222222

22H 2ab H 2ab AB ==(x AB =(cos sin 1-e cos 1-e sin a c a c αααα=--焦点在轴）；焦点在y 轴）； [例题]：(1)已知斜率为1的直线过椭圆2

2

x 14

y +=焦点交椭圆于A ，B 两点，求AB 。 解：22

22H 8

2

AB =

==351-e sin 1-sin 454

α； (2)已知过椭圆 22

1x 1F 32

y +=的左焦点的直线叫椭圆于B ，D 两点，过2F 右焦点的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥,垂足为P

，求四边形ABCD 的面积最小值。

解：ABCD 2

2219696

S =min 224sin 2251-cos 1-sin 33

ABD BCD S S BD AC ααα+=

⨯==+. [结论8]：焦半径：

则2222

b b b b AF =AF =(x BF BF (cos +cos sin +sin a

c a c a c a c αααα

==--；焦点在轴）；；焦点在y 轴）；