射影平面

定义 通常点和无穷远点统称拓广点, 记作P,Q,…; 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为仿射直线, 记作 l,m,…; 添加无穷远直线后的平面称为仿射平面, 记作.
定义 如果将通常的点与无穷远点不加区别，通常的直线与 无穷远直线不加区别，则仿射直线就叫射影直线，仿射平面 就叫射影平面。在射影直线上，通常的点和拓广点都叫点。
通常直线：两点确定直线上的一条线段。
射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
射影直线与射影平面
2、射影平面
(1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分通常平面为两个不同的区域 任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分通常平面为四个不同的区域 两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域
若两个三点形对应边的交点共线, 则称 这对对应三点形具有透视轴, 透视轴也 称为Desargues 线.
Desargues透视定理
2、Desargues透视定理
定理 (Desargues透视定理及其逆) 对于两个对应三点形, 存在 Desargues点存在Desargues线.
或者叙述如下：
迪沙格定理 如果两个三点形对应 顶点的连线交于一点，则对应边的 交点共线。
Desargues透视定理
（2）三点形 ABC 和 A'B'C' 共面 如图，设这个平面是 。
Desargues透视定理
此时，过 O 作一条异面直线 l ，然后在 l 上任取两点 S 和 S' 。
考虑三点形 SBC 和 S'B'C' ，则这两个三点形异面（否则，如 果它们共面，则这个平面必须是 ，于是 S, S' 就在 上，这 与 l 为异面直线矛盾）。
给定不同的O, 则决 定不同的中心射影.
三个特殊的点： X = l l' 自对应点 OU // l', 与 l' 不相交， U 为 l 上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!
射影直线与射影平面
2、平面到平面的中心射影
定义
定理 在射影平面上, 点与直线的关联关系成立： (1) 两个相异的点确定唯一一条射影直线； (2) 两条相异的射影直线确定唯一一个点.
射影直线与射影平面
四、射影直线、射影平面的基本性质及模型
1、射影直线
(1) 射影直线的封闭性 欧氏直线：向两个方向无限伸展 射影直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
定义 通过中心射影决定了直线与平面间的一一对应， 叫透视对应。图形在透视对应下的不变量或不变性质 叫射影不变量或射影性质。
射影性质：单比不是射影不变量。
Desargues透视定理
一个古老、美丽、实用的重要定理！
一、Desargues透视定理
1、两个三点形之间的对应 若两个三点形对应顶点的连线共点, 则 称这对对应三点形具有透视中心, 透视 中心也称为Desargues 点.
在射影平面上，可 以证明：
I，II为同一区域
III，IV为同一区域
射影直线与射影平面
(2) 射影平面的拓扑模型
(i) 叠合对径点的球面
(ii) 欧氏空间过原点的 直线的集合(线丛模型)
(iii) 叠合赤道上对径 点的半球面
(iv) 叠合周界上对径 点的圆盘
射影直线与射影平面
射影直线与射影平面
射影性质
射影直线与射影平面
(2) 射影直线的拓扑模型
(i) 欧氏平面上的圆
(ii) 叠合对径点的圆
(iii) 欧氏平面上过原点的直 线的集合(线束模型) (iv) 欧氏平面去掉原点后， 过原点每一直线的所有点作 为拓广直线的一个点
射影直线与射影平面
(3) 射影直线上点的分离关系 通常直线：一点区分直线为两个部分。 射影直线：一点不能区分直线为两个部分。
Desargues透视定理
2、作图题 例1. 已知平面上二直线a, b, P为不在a, b上的一点. 不定出a, b的交点ab, 过P求作 直线c, 使c经过ab. 作法： (1) 在a, b外取异于P的一点O. 过O作三 直线l1, l2, l3. 设l1, l2, 分别交a, b于A1, A2; B1, B2. (2) 连PA1, PB1分别交l3于A3, B3. (3) 连A2A3, B2B3交于Q. (4) PQ=c为所求直线.
迪沙格定理的逆定理 如果两个三 线形的对应边的交点共线，则对应 顶点的连线交于一点。
Desargues透视定理
证明. 只需证明迪沙格定理。 设这两个三点形分别是 ABC 和 A'B'C'，令 AA'、BB'、 CC' 三线的交点是 O。
下面分两种情况证明：
（1）三点形 ABC 和 A'B'C' 不共面 （2）三点形 ABC 和 A'B'C' 共面
证明. （1）如上图：考虑 BCA' 与 B'C'A，对应顶点连线共 点 O，所以对应边的交点 P, M, N 共线。
（2）由（1）可知 BC, B'C', MN 交于 P 点。同理可知 CA, C'A', NL 交于 Q 点，AB, A'B', LM 交于 R 点。因此三 点形 LMN 和 ABC 的对应边交点共线，所以对应顶点连线 共点。同理三点形 LMN 和 ABC 的对应顶点连线共点。
: '
O ：投射中心 ( O ' ) OP：投射线 P' ： 上的点 P 在 ' 上的像 P：' 上的点 P' 在 上的像
1: ' 是 ' 到 的中心射影.
三条特殊的直线： x=' 自对应直线 u, Uu, OU//', u为由影消点构成的影消线 v'', V'v', OV'//, v'为由影消点构成的影消线
射影直线与射影平面 一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义 映射 : l l ' O ： 投射中心 ( O l l' )
OP： 投射线 P' ：l 上的点 P 在 l' 上的像 P ： l' 上的点 P' 在l上的原像 –1: l' → l 是从 l' 到 l 的中心射影.
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线(添加无穷远直线之 后的平面比通常平面多出一条直线).
4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同 一条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面： 两平面 平 行 交于唯一 无穷远直线 有穷远直线
不平行
空间中任二平面必相交于唯一直线
射影直线与射影平面 三、射影平面
给定不同的O, 则决 定不同的中心射影.
影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射!
射影直线与射影平面
二、无穷远元素
目标： 途径： 要求： 改造空间，使得中心射影成为双射 给平行直线添加交点 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定唯一一个点(交点) 两个相异点确定唯一一条直线(连线)
}
点与直线的关联关系
平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于唯一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于唯一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于唯一无穷远点.
Байду номын сангаас
射影直线与射影平面 理解约定(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无 穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直 线上的无穷远点.
射影直线与射影平面 二、无穷远元素
约定 (1) 在每一条直线上添加唯一一个点，此点不是该直线 上原有的点，称为无穷远点(理想点)，记作P。 (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同，不平行的直线 上添加的无穷远点不同。 区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)。 约定 (3) 按约定(1)、(2)添加无穷远点之后，平面上全体无 穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l。 区别起见，称平面上原有的直线及其拓广为有穷远直线(通常 直线)。 总结 在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
另一方面，三点形 SBC 和 S'B'C' 对应顶点连线交于一点 O ， 由（1）可知它们对应边的交点共线。
Desargues透视定理
设 A'' = AS×A'S' ，B'' = BS×B'S' ，C'' = CS×C'S' ，则 B'', C'', P 共线。 同理可知 A'', C'', Q 共线，A'', B'', R 共线。 再考虑三点形 ABC 和 A''B''C'' ，则它们对应顶点的连线 交于一点 S 。 另一方面，这两个三点形不共面（否则，B''C'' 在 上，从 而三点形 SBC 也在 上。同理 S'B'C' 也在 上，这与 SBC 和 S'B'C' 异面矛盾），因此由（1）可知对应边的交点共线， 即 P, Q, R 共线。
Desargues透视定理
（1）设 ABC 和 A'B'C' 不共面 因 BB' 与 CC' 交于 O，所以 B,B',C,C' 四点共面，于是 BC 与 B'C' 交于一点，设为 P。同理可设 AC 与 A'C' 交于 Q，AB 与 A'B' 交于 R。