函数创新题型专题训练

函数创新题型专题训练

⑴．函数值问题

1．若曲线()y f x =上存在三点A 、B 、C ，使=，则称曲线有“中位点”，下列曲线：①c o s y x =，②1

y x

=

，③322y x x =+-，④2c o s y x x =+，⑤|1||2|y x x =-++，其中有“中位点”的曲线有 ★ (写出所有满足要求的曲线序号)①③⑤；

2．若对任意的x D ∈，均有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数1()f x 到函数2()f x 在区间D 上的“折中函数”．已知函数()(1)1,()0,f x k x g x =--=()(1)ln h x x x =+，

且()f x 是()g x 到()h x 在区间[1,2]e 上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ．{2}

3．如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域

内，就有()f a ，()f b ，()f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“Л型函数”．则下列函数：

①()f x = ②()sin g x x =，(0,)x π∈； ③()ln h x x =[2,)x ∈+∞， 其中是“Л型函数”的序号为 ▲ ． ①③； 4．若对任意x A ∈，y B

∈(,)A B ⊆⊆R R 有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称

(,)f x y 为关于x ，y 的二元函数．现定义满足下列性质的(,)f x y 为关于实数

x ，y 的广义“距离”

： ⑴．非负性：(,)0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； ⑵．对称性：(,)(,)f x y f y x =；

⑶．三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立． 今给出三个二元函数，所有能够成为关于x ，y 的广义“距离”的序号是 ▲ ．①

①

(,)||f x y x y =-；②2(,)()f x y x y =-；③(,)f x y =

5．已知221

()1x kx f x x x ++=++，若对任意的非负实数,,a b c ，(),(),()f a f b f c 为三角

形三边，则k 的取值范围是 ；（142

-，

） 6．已知函数

421()421

x x x x k f x +⋅+=++．

⑴．若对于任意的()0x R f x ∈>，恒成立，求实数k 的取值范围； ⑵．若()f x 的最小值为3-，求实数k 的取值范围；

⑶．若对于任意的123x x x 、、，均存在以123()()()f x f x f x 、、为三边长的三角形，求实数k 的取值范围． 解：⑴．2k >-；

⑵．4211

()11421212

x x x x x x k k f x +⋅+-==+

++++，令12132x x t =++≥，则11(3)k y t t -=+≥； 当10k ->，即1k >时，2(1,]3

k y +∈，无最小值，舍去；

当10k -=时，即1k =时，{1}y ∈，最小值不是3-，舍去；

当10k -<，即1k <时，2[,1)3

k y +∈，最小值为233

k +=-，11k =-；

综上11k =-；

⑶．因123x x x R ∀∈,,，都存在123()()()f x f x f x ,,为三边长的三角形，故

123()()()f x f x f x +>，123x x x R ∀∈,,恒成立．当1k >时，因12242()()3

k f x f x +<+≤

且321()3

k f x +<≤，故223

k +≤，则14k <≤；1k =时，因123()()()1f x f x f x ===满

足条件；当1k <时，因1224()()23

k f x f x +≤+<且32()13

k f x +≤<，故2413

k +≤，

即112

k -≤<．

综上所述：142

k -≤≤

7．设定义在12[,]x x 上的函数()y f x =

的图象为C ，C 的端点为点A ，B ，M 是

C 上的任意一点，向量11(,)OA x y =u u r

，22(,)OB x y =u u u r

，(,)OM x y =uuu r

，若12(1)x x x λλ=+-，

记向量(1)ON OA OB λλ=+-u u u r u u r u u u r

，现在定义“函数()y f x =在12[,]x x 上可在标准k 下线

性近似”是指||MN k ≤u u u r

恒成立，其中k

是一个人为确定的正数．

⑴．证明：01λ≤≤；

⑵．请你给出一个标准k 的范围，使得[0,1]上的函数2y x =与3y x =中有且只

有一个可在标准k 下线性近似．

【解】⑴．由题意，12x x x ≤≤，

即1122(1)x x x x λλ≤+-≤，故1212()0x x x x λ-≤-≤．因120x x -<，故01λ≤≤．

⑵．由(1)ON OA OB λλ=+-u u u r u u r u u u r ，得BN BA λ=uu u r uu r

．故B ，N ，A 三点在一条直线上．又由⑴的结论，N 在线段AB 上，且与点M 的横坐标相同．对于[0,1]上的函数

2y x =，(0,0)A ，(1,1)B ，则有221

1||()42

MN x x x =-=--uuu r

，故1

||[0,]

4

MN ∈uuu r

．对于[0,1]上

的函数3y x =，则有3||()MN x x g x =-=u u u r

，在(0,1)上，2()13g x x =-，可知在(0,1)上

()y g x =只有一个极大值点x =

，故函数()y g x =在上是增函数；在

上是减函数．又g =||[0,MN ∈uuu r ．经过比较， 14<，故

取1[4

k ∈，则有函数2y x =在[0,1]上可在标准k 下线性近似，函数3y x =在

[0,1]上不可在标准k 下线性近似．

8．若实数x ，y ，m 满足：||||x m y m -<-，则称x 比y 接近m ． ⑴．若21x -比3接近0，求x 的取值范围；

⑵．对任意两个不相等的正数a ，b ，证明：22a b ab +比33a b +接近2

⑶．已知函数()f x 的定义域11[2,][,2]22D =-- ．任取x D ∈，()f x 等于211x x

++

和21

1x x

+-中接近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、

最值和单调性（结论不要求证明）． 解：⑴．(2,2)x ∈-；

⑵．对任意两个不相等的正数,a b ，有222a b ab +>332a b +>

因22|a b ab +- 3322|2()()0a b a b a b -+-=-+-<，故

2233|2|a b ab a b +-<+- 2，即22a b ab +比33a b +接近2