翻折与旋转在正方形解题中的应用

翻折与旋转在正方形解题中的应用

季红娟（江苏省常州市武进区前黄实验学校 213172）

正方形素有完美的四边形之称，利用其本身的特性，巧用旋转和对称，对学生能力的培养是很有好处的。人教版数学八年级教科书中，有这样的一道习题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，∠AEF=90°，EF 交正方形外角的平分线CF 于F 。求证：AE=EF 。

图1 图2

按照教材提示做辅助线：在AB 上任取一点M ，使AM=EC ，连结ME ，如图2， 因为∠MAE=∠FEC ，∠AME=∠ECF ，所以△AME ≌△ECF ，故AE=EF 。这样很容易获得结果。但我们对于这道题目不妨做如下的探讨和研究：

（1）将上述问题中“点E 是边BC 的中点”，改为“点E 是边BC 上的任意一点”，其他条件不变，求证：AE=EF 。（如图3）

方法1：回归原问题，做同样的辅助线，如图3，在AB 上取一点M ，使得AM=EC ，可以证明AE=EF 。

图3 图4

方法2：如图4，连结AC 并延长到H ，使CH=CF ，连结EH 。

∴△HCE ≌△ECF

∴∠H=∠F ，EF=EH ∵∠EAC=∠F

∴∠EAC=∠H ， ∴AE=EH

∴AE=EF

此解法的基本思路就是构造全等，转化。我们可以看成将△FEC 沿BC 所在直线翻折而得到△HCE ，是轴对称的一个简单运用。同样的，我们将△AEB 沿BC 所在直线翻折而得到△HEB ，自然就有：

方法3：如图5，延长AB 、FC 交于H 点，连EH 。可得AE=EH=EF 。证明过程略。 方法4：如图6，连AC ，在AC 上取一点Q ，连EQ ，使EQ=EC 。

∴△FCE ≌△AQE ∴AE=EF

此方法的实质不就是将△FCE 绕点E 按逆时针方向旋转90°而出现的结果吗？多么完美的全等变换！

图5 图6

同样，若将△AEB 绕点B 按顺时针方向旋转90°，就会有： 方法5：如图7，延长AB 到R ，使BR=BE ，连RE ，RC

∴△ABE ≌△CBR ∴∠BCR=∠BAE ∵∠FEC=∠BAE ∴∠BCR=∠FEC ∴EF ∥RC ∴∠REC=∠FCE=135° ∴ER ∥FC ∴四边形ERCF 为平行四边形

∴CR=FE ∴AE=FE 图7

解法既漂亮又完美。证明了结论还复习了平行四边形的有关知识，而且还是旋转的一个简单应用。

（2）若E 在BC 的延长线上，其他条件不变，AE 与EF 还相等吗？试说明理由。

有了（1）的讨论，我们可以用类似的方法证明（2）的结论仍然成立，如图8，9，10。对于证明的过程就省略不写了。

图8 图9 图10

反思：问题的解答与探索，总结其方法，不就是构造全等，运用旋转与翻折吗？根据全等变

R F A B C

D E

G

换自身的特点，我们可以将其进行推广，可以进行下面更一般的探讨：

2、如图11，若△ABC为等边三角形，D为线段BC上任意一点，∠ADE=60°，DE交∠ACB 的外角平分线CE于E点，求证：AD=DE。

方法1：如图12，延长AC到P，使CP=CE，连结DP。（此方法实质即将△EDC沿BC所在直线翻折而得到△PDC）。可证△EDC≌△PDC，得DE=DP, ∠E=∠P

∴∠E=∠DAC=∠P

∴ AD=DP=DE

图11 图12

方法2：如图13，延长EC到P，使CP=CA，连结DP、DB。（此方法实质上是将△ADC或△ABD沿BC所在直线翻折而得到的）。

图13 图14

方法3：如图14，将△ABD绕B点顺时针旋转60°到△CBP的位置，连PD。

证明过程略。（此方法是旋转的简单应用）

在平面几何中,正方形是最特殊的四边形,它集平行四边形、矩形和菱形的性质于一身.因而在考察学生对四边形知识的掌握情况时,以正方形为背景的题目更具灵活性、代表性和综合性,因而成为各类命题的热点。

作者：季红娟

电子信箱：

QQ号：

通信地址：江苏省常州市武进区前黄实验学校

邮编：213172

移动电话：