第五章流体力学

代入
v5
2gh,
A3

1 2
A5
得： v3 2v5 2 2gh,
由伯努利方程得： p3

p5

1 2
(v5 2
v32 )

patm
3gh
（3） 空吸作用
如图，在容器A的下部开口，与一水 平管道相接，管道中间c处是收缩段， 水平管道d端与外界相连。试求c处 压强；B容器中的液体在何条件下能 流进水平管发生空吸作用？
小孔流速 vB 2gh
例2 如图，在一个桶的侧面不同的高度的两处
开了两个小孔A, B。A孔距水面的高度为h1, 距地 面的高度为h2. 问：B孔在距地面什么高度处才可 以保证两个孔喷出的水达到同样远的距离?若容器
装满水，在什么高度开孔水的射程最远？
解：A孔水射程： RA vAt A
2gh1 2h2 g 2 h1h2
为什么？
vB 2gh 如同一质点自由下落 h 高度！
射出流体将做平抛运动
例1 一直立圆柱形容器，高0.2m，直径0.1m，顶部开启， 底部有一面积为10-4 m2的小孔，水以每秒1.4×10-4 m3的快慢由水管自上面放入容器中。
问 ： 容器内水面可上升的高度？若达到该高度时不再放
水，求容器内的水流尽需多少时间。
问 最细处的压强为多少？若在此最细处开一小孔，水 会不会流出来？
解：由连续性方程 S1v1 = S2v2 ， 得 v2 = 6（m/s）
由伯努利方程在水平管中的应用得：
P1

1 2
v12

P2

1 2
v22
代入数据得：P2 = 85（kPa）
∵ P2 < P0， 水不会流出来
生活中的流体力学：
血压测量最早由英国牧 师黑尔斯(R. S. Hales， 1677-1761) 在 1733 年 完 成的。
1896 年 意 大 利 医 生 里 瓦 罗 基 (Riva-Rocci ， 18631937) 发 明 了 现 在 仍 在 使 用的腕环血压计。
二、伯努利方程的应用
（1 ）小孔流速
通过截面S1进入的流体质量：
m1 1(v1t) S1
通过截面S2 流出的流体质量：
m2 2 (v2t) S2
定常流动，质量守恒
m1=m 2
ρ1 S1 v1 =ρ2 S2 v2
ρ1 S1 v1Δt =ρ2 S2 v2Δt
ρS v = 常量
定常流动时的连续性方程 又称质量-流量守恒定律
解：由图，c, d 两截面处的中心线等高，
由伯努利方程得：1
2
vc2

pc

1 2

vd2

p0
由连续性方程： vc Sc vd Sd
得
vc

Sd Sc
vd

Sd Sc
2gh
pc

P0

1 2
(vd 2

vc2 )

P0

gh 1
பைடு நூலகம்(Sd
Sc )2
p0 pc gh (Sd S c )2 1
在一般管道流动中，忽略各物理量在其横截面 上的变化也可近似成立，式中各量为管道截面上所 取的平均值。
如果流体在水平管子中流动（h1=h2）， 则流体的势能在流动过程中不变， P + 1/2ρv 2 = 常量
流速大的地方压强较小，流速小的地方压强较大 (即流线相对靠近的地方，压强较小，反之亦然)
Pc Pd Pe g(H h)
可见：Pa Pe Pb Pc Pd
回顾：
理想流体的条件：不可压缩 无粘性 定常流动（稳流） 特点？
流线
流管
流线不相交
流体不会穿过流线 流入或流出流管!!! 流线越密地方流速越大，
越稀地方流速越小。
定常流动的 ρS v = 常量（质量流量守恒定律）
P1 S1 v1t - P2 S2v2t P1 V - P2 V
P1 F1v1
S1h1 xX
机械能增量
E

(1 2
mv22

mgh2 )
- ( 1 2
mv12

mgh1)
P1
v1
S1h1 x
v2
P2 S2
F2
y h2
v2 P2 S2
y h2
由W

E得：P1V

P2V

流体不会穿过流线流入或流出流管!!!
流线越密地方流速越大，越稀地方流速越小。
三、定常流动和不定常流动
不定常流动 v v(x, y, z, t)
• 经过空间某处的质元速度随时间变化 • 流线的形状随时间变化
定常流动 v v(x, y, z)
• 流场中任一点的流速、压强和密度等都不随时间 变化
其中 - 流体密度，s - 截面面积，v - 流速。
ρS v 单位时间内通过任一截面S的流体质量
对不可压缩流体, ρ为常量，则
S v =常量
体积-流量守恒定律
Sv 单位时间内通过任一截面S的流体体积
流体的连续性方程是质量守恒定律在定常 流动流体中的一个推论，它与流体是否存 在粘性无关。
例：水从龙头流下过程中，由于其
间每一点都具有一定的流速。
流速随空间的分布 流体速度场（流场） v v(r , t)
在流场中假想一组曲线，使曲线上每一点的切线方 向与处在该点流体粒子的速度方向一致，此曲线称流线
注意：
流线
引入流线只 是为了形象的 描述流场，是 假想曲线
流线不会相交
在流动的流体中划出一个小截面，则通过其 周边各点的流线所围成的管状体称 流管
第五章 流体力学
§5-1 流体运动的描述
液体和气体统称为流体。 流体的基本特征是具有流动性，即它的各个部
分之间很容易发生相对运动，没有固定的形状。
流体力学研究流体的宏观平衡和运动的规律以及 流体与相邻固体之间相互作用规律。
流体的宏观物性
• 流动性 • 可压缩性 • 粘滞性
理想流体
流体力学
流体静力学:研究静止流体规律的学科，如阿 基米德原理、帕斯卡原理等。
流体动力学:研究流体运动的学科，是水力学、 空气动力学、生物流体力学等学 科的理论基础。
一、 流体运动的描述方法
• 拉格朗日法 考察每个质元的位置随时间的变化
x f ( x0 , y0 , z0 , t) y g( x0 , y0 , z0 , t) z h( x0 , y0 , z0 , t)
解： （1）设容器内水面可上升的高度为H，此时 放入容器的水流量和从小孔流出的水流量相等，
Q = S2 v2
小孔处水流速v2为： v2 2gH
Q S2v2 S2 2gH

H

1 2g
(
Q S2
)2

2
1 9.8
1.4 104 ( 104
)2

0.1 (m)
（2）设容器内水流尽需要的时间为T
流量为：
RV A0v0 1.2cm2 28.6cm / s 34cm3 / s
§5-3 理想流体的伯努利方程
一、理想流体的伯努利方程
定常流动 取一细流管
截取一段流体 xy
设流体在x处：压强P1，速度v1，高度h1，截面积S1
在y处：压强P2，速度 v2，高度h2，截面积S2
经过时间Δt后，此段流 体的位置由 xy移到了
速率增加，水流必定“收缩下去”。
若A0处水流横截面为1.2cm2,A处为 0.35cm2，A0,A之间的竖直距离为 h=45mm,求龙头流出的体积流量。
解：两截面体积流量相等
A0v0 Av
落体运动的速度关系
A0
v2 v02 2gh
A
v0
2 ghA2 A02 A2
0.286m / s
不同的（x0 , y0 , z0） 代表了不同质元 牛顿定律适用
• 欧拉法 考察经过空间某位置(x, y, z)处质元的运动
如： v v(x, y, z, t) a a(x, y, z, t) p p(x, y, z, t)
这种方法把流体看成一 个场，考虑场中各点的 各个物理量。
二、流场、流线和流管 在流体流动过程中的任一瞬时，流体所占据的空
h1
B孔水射程： RB vBt B

2g(h1 h2 h3)
2h3 g
h2
由R相等可解得： h3= h1
B
h3
A
RA 2gh1 2h2 g 2 h1h2 令 H h1 h2
对 R 2 h1h2 2 (H h2 ) h2 求导
令 R 0, 解得：
H 2h2 时， 即 h1 h2时，射程最远
t 时刻水的高度为h ，小孔处流速为 v2 2gh 液面下降dh高度从小孔流出的水体积为dV = S1·dh， 需要的时间dt 为 dV/Q
dt S1 dh S1 dh S2v2 S2 2gh
T
T
dt
0
S1 dh
S1
2H 11.2 (s)
0
H S2 2gh S2 g
（2） 虹吸作用
如图，一大容器中插入一弯管，若弯管最初充满液 体，则随后液体从弯管下端 e 源源流出。试求 a, b, c, d, e 各处的速率及压强大小。
解： Pa Pe P0 va 0
cd h ab
ve 2gH vb vc vd ve H
Pb Pe gH, e
(
1 2
mv22

mgh2
)
-
(
1 2
mv12

mgh1)
ρ= m /ΔV是流体的密度

1 2
v22

gh2

P2

1 2
v12

gh1

P1
由于对x,y点的选择没有限制，故上式对同一流管
的任一截面有：
1 v2 gh P 常量
2
--- 伯努利方程
单位体积 单位体积 流体的动 流体的势
单位体积 流体的静
F Fl W
P
S Sl V
能
能
压能
1 v2 gh P 常量
2
单位体积 单位体积 单位体积
流体的动 流体的势 流体的静
能
能
压能
说明： 1）此方程实质上是能量守恒定律在理想流体做定常流动
中的具体表现。 2）惯性系中成立 3）其中p,v,h对应于同一根流线,不同流线对应的常数不同
一直立容器，截面积为S，在容器下部开一面积为s的 小孔，小孔与液面的高度差为h，求小孔处的流速。
解：对A、B流管，由伯努利方程得： A
PA


gh
1 2

v
2 A

PB

1 2
vB2
，PA =
PB
h
由SvA=svB,且 S>>s ，故vA<<vB，
Bv
可将vA近似为零 小孔流速只与 h 有关!
• 流线的形状不变，和质元的运动轨迹重合 • 流体的各流层不相混合，只作相对滑动。
§5-2 定常流动的连续性方程
研究对象：在定常流动的流场中任取 一段细流管 流管的任一横截面上各点的物理量看做均匀
截面 S1 和 S2 处：流速分别为 v1 和 v2 ， 流体密度分别为ρ1 和ρ2 。 在 Δt 时间时间内：
pB p0
故当满足 pB pc p0 pc g hb
容器B中的液体就会被吸到水平管道中－空吸作用
联立得空吸作用的条件：Sd 1 hb
Sc
h
水
空吸作用应用：
水流抽气机、射流真 空泵、喷雾器等
抽气机
接被抽容器 水+空气
（4）汾丘里流量计
由 S1v1 S2v2
1 2
x´y´
考察Δt时间内这段 流体机械能变化
F1
P1
v1
S1
h1 xX
P1 S1
h1
v1 x’
v2
P2 S2
F2
y
h2
v2 P2 S2
y‘ h2
外力： 其它流管中流体的压力对它不做功
流管中段外流体的压力F1 F2对它作功 F1作正功，F2作负功。 x截面的位移是 v1Δt，y截面的位移是 v2Δt
总功：W F1v1t - F2v2t
连续性方程 RV=Sv=常量（体积流量守恒定律）
伯努利方程： 1 v2 gh P 常量
2
单位体积流 单位体积流 单位体积流体 体的动能 体的势能 的静压能
实质为能量守恒; 用于理想流体做定常流动时；同一流管 在一般管道流动中，忽略各物理量在其横截面上的变
化也可近似成立，式中各量为管道截面上所取的平均值。
v12

P1

1 2
v22

P2
gh

p

p1

p2

1 2

v12
(
s12 s22
1)
p2，v2
2 gh
Q S1v1 S1S2 S12 S22 k h
5)流速计 皮托管
动压强
Pc

1 2
v2

Pd
v 2gh k h
静压强
c
d
p1，v1 总压强
例 水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面 积为管的最细处的3倍。若出口处的流速为2m/s，
h1= h2时，
P 1 v2 常量
2
流速大的地方压强小， 流速小的地方压强大
（
）
解： 由伯努利方程 ：
1 v2 gh P 常量
2
考察2、4、5 点：
截面积相等，所以 v2 v4 v5 2gh
高度相等，所以 p2 p4 p5 patm
由图可得：v1 0, p1 patm gh