高中数学第二章数列231等比数列学案新人教B版

2.3.1 等比数列(一)

[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式了解其推导过程．

[知识链接]

下列判断正确的是________．

(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列； (2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列； (3)等差数列的公差d 可正可负，且可以为零； (4)在等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)． 答案 (1)(3)(4) [预习导引] 1．等比数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列． 2．等比中项

如果三个数a 、G 、b 组成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项．根据定义得G 2

＝ab ，G ＝±ab ，只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数这一点与等差数列不同．

3．等比数列的通项公式

等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q

n －1

，其中a 1与q 均不为0.

要点一 等比数列通项公式的基本量的求解 例1 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；

(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n ； (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝20

3

，求a n .

解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧

a 4＝a 1q 3

，

a 7＝a 1q 6

，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧ a 1q 3

＝2，

a 1q 6

＝8.

①

②

由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3

＝2， 于是a 1＝2

q 3＝12

，∴a n ＝a 1q n －1

＝3

522

-n .

(2)方法一 ∵⎩⎪⎨⎪

⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4

＝18，a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5

＝9，

③④

由④③得q ＝1

2，从而a 1＝32，又a n ＝1 ∴32×(12)n －1＝1，即26－n ＝20

，∴n ＝6.

方法二 ∵a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，∴q ＝1

2.

由a 1q ＋a 1q 4

＝18，知a 1＝32.由a n ＝a 1q

n －1

＝1，知n ＝6.

(3)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q

＝2

q

，a 4＝a 3q ＝2q ，

∴2q ＋2q ＝203，解得q 1＝1

3

，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×(13)n －1＝2×33－n .

当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29

×3n －1＝2×3n －3

.

综上，当q ＝13

时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3

.

规律方法 a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a 1和q 的方程(组)，求出a 1和q . 跟踪演练1 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝2

3，求项数n .

(2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n . 解 (1)由a n ＝a 1·q

n －1

，得13＝98(23

)n －1

，

即(23)n －1＝(23

)3

，得n ＝4.

(2)因为⎩

⎪⎨⎪⎧ a 5－a 1＝a 1q 4

－a 1＝15，

a 4－a 2＝a 1q 3

－a 1q ＝6，

①②

由①②得q ＝1

2

或q ＝2. 当q ＝1

2时，a 1＝－16；当q ＝2时，a 1＝1.

∴a n ＝－16·(12)n －1或a n ＝2n －1

.

要点二 等比中项的应用

例2 在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9

a 2＋a 4＋a 10

等于多少？

解 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 2

3＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2

＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ， ∴

a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝13

16

.

规律方法 由等比中项的定义可知：G a ＝b G

⇒G 2

＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G 2

＝ab ，则G a ＝b G

，即

a ，G ，

b 成等比数列．所以a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0)．

跟踪演练2 已知a ，－32，b ，－243

32，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．

解 由题意知b 2

＝(－32)×(－24332)＝(32)6，

∴b ＝±27

8

.

当b ＝278时，ab ＝(－32)2，解得a ＝23

；

bc ＝(－

24332)2＝(－32)10，解得c ＝(32

)7

. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－(32

)7

.

综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，(32)7或－23，－278，－(32)7

.

要点三 等比数列的判定

例3 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2，3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .