过程不合格率的估算

过程产品不合格率的估算
质保部——张林
在我们日常生产过程中，常常需要了解过程产品的不合格率。

对于已生产结束的某个批次产品的不合格率，我相信大家都会计算。

如果这个批次产品的总量为N ，其中的不合格品数量为n ， 则不合格率F 的计算公式为：
%100⨯=N
n F 例如：某供应商提供的1500只金属面板，在生产过程中发现部分面板的表面存在缺陷，生产结束后统计不合格品有24只，则这批金属面板的不合格率为：
%6.1%1001500
24%100=⨯=⨯=N n F 但是，对于生产过程中的产品如何计算其不合格率呢？很多人的做法是：从已生产好的或正在生产的产品中随机抽出批量为M 的样品进行检验，若检验出的不合格品数量为n ，则认为过程产品不合格率P 为：
%100⨯=M
n P 虽然这种方法简单、快速，但计算结果与真正的过程产品不合格率存在很大的差异。

因为过程产品不合格率，它考虑的对象是整个产品生产过程，不是某个具体批次或阶段，无法精确计算，只能估算。

笔者依据个人经验，设计了两种方法供大家参考：
第一种方法，平均抽样法，基本原理与前面的相似。

假设一个过程是由N 个分过程或阶段组成，其中某个阶段的产品数量为M N 只，若其中有M n 只不合格品数量，则该阶段的不合格率M P 为：
%100⨯=M
M M N n P 这是过程中某个阶段的不合格率，由于过程是由N 个分过程或阶段组成的，这样就需要抽查N 次，而且每次都能算出一个阶段的不合格率，分别为1P 、2P 、3P ……N P ，则过程产品不合格率P 为：
∑==N
i i
P N P 11 这种方法的估算结果，虽与真实结果之间仍存在差异，但比前面的方法精确，因为它的
取样没有局限于某个具体批次或阶段。

在实际应用中，N 的大小，也就是到底取多少个阶段，对估算的准确率有直接影响。

一般情况下，我们根据过程的稳定性来确定N ，若过程稳定，N 可以小点，若过程不太稳定，N 需大点，通常情况N 在15～25之间取值。

另外关于每组样品的批量的大小及取样间隔时间，需根据取样难度、检测费用、生产批量及生产速度等因素决定，一般每隔2～4小时取样80～100只。

【例1】，假设某公司的高速冲床正在生产某个零件，我们为了估算过程产品不合格率，决定每间隔2小时抽取100只样品，共25组进行检验。

经过检验、统计后得到每组的不合格率分别为：2%、1%、0%、4%、4%、4%、7%、5%、9%、10%、10%、9%、1%、9%、1%、0%、0%、9%、4%、6%、0%、1%、2%、1%、3%，则可以估算该零件的生产过程产品不合格率为：
9%5%7%4%4%4%0%1%2%(25125111251++++++++===∑∑==N
i i i i P P N P 4%9%0%0%1%9%1%9%10%10%++++++++++
)3%1%2%1%0%6%++++++
%08.4=
第二种方法，正态分布估算法
对于像我们公司一样的制造企业，绝大部分需要控制的项目都是定量参数，就像长度、重量、体积等。

如果生产过程稳定，这些参数的分布都是正态分布，这也是正态分布估算法的前提。

在解释第二种方法前，我先介绍正态分布的两个参数：分布的均值μ和标准差σ，均值μ反映正态分布的分布中心，计算公式为：
()⎰+∞
∞-=dx x xp μ 标准差σ反映正态分布的分散程度，正常情况下我们先计算方差2
σ，然后再开平方计算标准差σ，方差2σ的计算公式为： ()⎰+∞
∞--=dx x p x 22)(μσ 上面两式中)(x p 为正态分布的概率密度函数，具体为：
∞<<-∞=--x e x p x ,21
)(22
2)(σμπσ
从上面的计算公式，我们可以看出是无法精确计算正态分布的均值μ和标准差σ的，这就是在现实中用样品的分布情况来推测整体分布的情况的原因之一。

因此，我们用样品的均值X 和标准差s 来估算整体分布的均值μ和标准差σ。

假设现有某注塑机生产某种塑料件，为了了解该塑料件重量的分布情况，现场人员相隔固定时间取一次样本，其中某个样本有n 只样品，每只样品重量分别为11X ，12X ，13X ，14X ，15X ……n X 1，则该样本的样品平均重量1X 和标准差1s 为：
∑==n
i i X n X 1
111 211
11)(11X X n s n
i i --=∑= 若取了N 个样本，则我们可以按照第一种方法的思路，计算平均重量X 和平均标准差s 为：
∑==N i i X N
X 11 ∑==N i i s
N s 11
则整体分布的均值μ和标准差σ的估算值为：
∑===N i i X
N X u 11ˆ
∑===N i i s Nc c s 1441ˆσ
上述的两个计算公式中，μˆ、σˆ分别为整体分布的均值μ和标准差σ的估算值；4c 为σ
估算值的修偏系数，它只与样品量n 有关，具体见附表：
这种估算整体分布均值μ和标准差σ的方法，要求N 次取样时，每次取样的数量n 必须相等。

如果每次取样的数量n 不同，那么可以先估算每次取样的标准差i σ，然后再用第
一种方法----平均抽样法，用N 次的平均值估算整体分布的标准差σ，具体公式为：
4
ˆc s i i =σ，i σˆ为第i 次取样标准差i σ的估算值 ∑==N i i N 1ˆ
1ˆσσ
当正态分布的均值μ和标准差σ估算好后，我们就可以知道这个正态分布的大概情况，并根据此计算过程产品不合格率。

附图：正态分布示意图
附图是一个正态分布示意图，μ为正态分布的均值，U T 、L T 分别是我们所统计参数的上下规格极限，也就是上下公差。

根据概率密度函数，我们知道过程产品合格率就是上下规格极限线、横向数轴与正态分布曲线之间围成的图形的面积，也就是示意图中阴影部分的面积，记为)(U L T x T P ≤≤，则过程产品不合格率为：
)(1U L T x T P P ≤≤-=
上式中的)(U L T x T P ≤≤，我们可以利用正态分布的性质来计算：
)()()(L U U L T x P T x P T x T P <-≤=≤≤
因为一般的正态分布计算复杂、繁琐，我们可以将它转换成均值0=μ，标准差1=σ标准正态分布，利用标准正态分布函数表查得相关数据，则
L T U T
μ
)()()()()(σμ
φσμ
φ---=<-≤=≤≤L U L U U L T T T x P T x P T x T P
上式中正态分布的均值μ和标准差σ，可以用估算值μ
ˆ、σˆ代替。

【例2】，某公司生产的某类型产品，对产品功率有严格的要求，其中某型号产品的功率为21.25瓦，要求控制在±2.75瓦之间，就是要求将产品功率控制在18.5～24瓦范围内。

现在为了了解生产过程中的产品不合格率，每隔2小时从生产现场抽取9只样品进行测量，共连续抽取了25组，各组测量数据见附表。

对于第1组样品，其样品均值1X 为：
∑=++++++++==n i i X n X 111)06.2018.1962.1921.2022.1945.1975.1947.1923.19(9
11 58.19≈
计算第一组的样品标准差1s 时，我们需要先计算样品方差2
1s ： 2221112
1
)58.1975.19()58.1947.19()58.1923.19[(191)(11-+-+--=--=∑=n i i X X n s 2
22)58.1921.20()58.1922.19()58.1945.19(-+-+-+
])58.1906.20()58.1918.19()58.1962.19(222-+-+-+1374.0≈ 则37.01374.01≈=s
其余24组的样品均值和样品标准差，也以同样方法计算，具体计算结果见附表。

附表
根据附表的数据，我们可以估算该型号产品功率的整体正态分布的均值μ和标准差σ：
53.19ˆ==X u
45.0969
.044.0ˆ4≈==c s σ，式中修正系数4c 查自上面的附表 根据标准正态分布，计算生产过程的产品合格率：
)()()()()(σμ
φσμ
φ---=<-≤=≤≤L U L U U L T T T x P T x P T x T P
)29.2()93.9()45
.053.195.18()45.053.1924(--≈---=φφφφ 从标准正态分布函数表查得1)93.9(≈φ（因为......9999.0)93.9(=φ，所以取近似值
1），9890.0)29.2(=φ，根据标准正态分布的性质，知道
0110.09890.01)29.2(1)29.2(=-=-=-φφ
则 9890.00110.01)29.2()93.9()(=-=--=≤≤φφU L T x T P
所以，过程产品不合格率为：
%10.10110.09890.01)(1==-=≤≤-=U L T x T P P
为什么抽取的25组共225个数据都在产品公差范围内，生产过程产品不合格率仍达到
1.10%呢？这涉及到一个质量概念――过程能力，就是生产过程加工质量方面的能力，衡量生产过程中各影响因素的一致性，其具体的衡量指标就是过程能力指数p C 。

在知道整体正态分布的均值μ和标准差σ，就可以计算过程能力指数p C 。

如果正态分布中心与统计参数的规格中心不吻合，存在偏离，计算过程能力指数时需要考虑它们之间的偏离量，其计算所得的过程能力指数记为pk C 。

另外还有单侧极限要求的情况，就是只有上或下极限要求的情况的过程能力指数，我在这里不展开叙述。

对于本例，不是单侧极限要求的情况。

现在我们已经知道，该类型产品功率的规格中心为21.25，由于统计参数的整体分布的均值μ估算值为19.53，所以两者之间存在偏离的情况。

过程能力指数的具体计算公式和方法，我不在这里展开叙述。

最终可算得该公司生产该型号产品的过程能力指数pk C 为0.76，这个结果远远小于国家标准《GB/T4091-2001常规控制图》的要求：过程能力指数≥1.33，说明该公司生产该型号产品的过程能力低，影响过程的质量因素的波动比较大，所以才存在这么高的过程产品不合格率。

正态分布估算法与平均抽样法相比，后者计算简单，易理解操作，但抽样数量较多，质量成本高，不适合检测费用昂贵或破坏性检测的产品。

而正态分布估算法，抽样数量少，质量成本低，并且估算结果的准确度较高，但计算复杂抽象，不过随着计算机的广泛应用，这种方法的可行性应该逐渐增大。

在实际运用这两种方法估算过程产品不合格率时，需要注意以下几个问题：
1、两种方法都强调过程的稳定性，特别是第二种方法——正态分布估算法。

如果过程不稳定，质量波动大，频繁发生质量事故，或者影响产品质量的因素经常变动而不能稳定，那么就没有估算过程产品不合格率的必要，更谈不上降低过程产品不合格率，提高过程能力。

2、平均抽样法，一般用于产品的定性参数，就是外观、服务好坏等感官方面的。

也可用于对外购产品的过程产品不合格率的估算，特别是采用抽样方法检测外购产品时，它实际上就是对接受质量限AQL 的估算检查。

一般，我们是不需要去供应商生产现场抽样，只需从连续供应的产品批次中抽样估算。