6.2 稳定性 奇点 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件
第六章 非线性微分方程 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件
稳定性定理推广
d x f (x), f (0) 0, x Rn (14) dt
• 进一步的推广有
定理5 如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其 通过方程组(14)的全导数dV(x)/dt为常负，但使 dV(x)/dt=0的x的集中除零解x=0外不包含方程(14)的整 条正半轨线，则方程组（14）的零解是渐近稳定的。
1
a1, 2
a1 a3
a0 a2
, 3
a1 a3 a5
a0 a2 a4
其中ai=0(对一切i>n)。
0 a1 , a3
a1 , n a3
a2n1
a1 a2
a2n2
0 0
ann1
an
定理3 方程(8)的一切根均具负实部充分必要条件为成立不等
式
a1 0, 2 0, 3 0, , n1 0, an 0
x0
D时，满足初值条件x(t0)=
x0的解x(t)均有
lim
t
x(t)
0
则域D0称为(渐近)稳定域或吸引域。
• 若稳定域为全空间，即 0 =+∞，则称零解x=0是全局渐近
稳定的或简称为全局稳定的。
• 当零解x=0不是稳定时，称它是不稳定的，
• 即：如果对某给定的 ，不管怎样小，总有x0满足||x0||≤ ， 使方程组(5)的由初值条件x(t0)= x0确定的解x(t) ，至少存在 某有t1>t0，有||x(t1)||= 。
其中a>0,b>0,c>0. 考虑其根均具负实部时参数c的变化范围. 解 对应方程,有
a0 1, a1 a b 1, 2 (a b 1)(b(a c) 2ab(c 1), a3 2ab(c 1)
常微分方程(讲课)
解：将原方程变形为
dx 3 y − x=− dy y 2
−∫ 3 dy y
通解
x= e
∫
3 dy y
y (∫− e 2
dy + C )
1 2 = Cy + y 2
3
可微， 例3：设函数 f (x) 可微，且 f (1) = 2，又对右半平面 ( x > 0)内任意 ： 闭曲线 C，有 ∫C 4x3y dx + xf (x)dy = 0. ， ⑴ 求 f (x);
例（函授）
的一段弧. ⑵ 计算 ∫L 4x3y dx + xf (x)dy 其中 L 是从 (1, 0)到 (2, 3)的一段弧 ， ∂Q ∂P ，即 f (x) + xf ′(x) = 4x3 , = 依题意， 解：⑴ 依题意，有 ∂x ∂y y 1 2 ( 2, 3 ) f ′(x) + f (x) = 4x , . x
第二节 一阶微分方程
⒈ 可分离变量的一阶微分方程
dy 一般形式： 一般形式： = f (x) ⋅ g(y) dx 1 解法： 解法： ⑴ 分离变量 dy = f (x) dx, g(y) ≠ 0 g(y) 1 即得通解. ⑵ 两边分别对各自的变量积分 ∫ dy = ∫ f (x)dx, 即得通解 g(y)
⒉ 齐次方程
例5：求 x y′ = y ( 1 + ln y − ln x ) 的通解. 的通解 dy y y 解：方程变为 = (1 + ln ) dx x x y 令 u = , 则 y = ux x dy du = u+x dx dx du 则 u+x = u( 1 + lnu ) dx 1 1 分离变量得 du = dx ulnu x 两边积分得 lnlnu = lnx + lnC
《常微分方程》全套课件(完整版)
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
常微分方程定性理论课件
E~捕捞强度 r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
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3. 周期轨道Lyapunov稳定性的判别方法
第15页/共21页
第2页/共21页
第3页/共21页
第4页/共21页
2. 奇点Lyapunov稳定性的判别方法
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第7页/共21页
第8页/共21页
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x1 (t )
x2
(t
)
f ( x1, g( x1,
x2 ) x2 )
,
f ( x1, x2 ) 0
g(
h(x)=Ex, E~捕捞强度
建模
记 F(x) f (x) h(x)
捕捞情况下渔 场鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
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产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
F(x) 0
平衡点
x0
N (1
E ), r
x1 0
稳定性判断 F(x0 ) E r, F(x1) r E
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作业
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作业
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感谢您的观看。
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x1,பைடு நூலகம்
x2
)
0
9
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lim
t
lim
t
x1 (t ) x2 (t)
第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt
5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1，线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
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11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
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14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
ppt课件
1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
ppt课件
2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
42常系数线性微分方程的解法常微分方程课件高教社王高雄教材配套
n
a1 (t )
dt
n1
an1 (t )
dt
an (t ) z f (t )
的复值函数z(t)称为方程(1)的复值解。
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复值函数性质
• 极限
• 导数 • 微分
t t0
lim z (t ) lim (t ) i lim (t )
t t0 t t0
复指数函数性质
• 设、为实数，t为实变量，则K= +i 为复数，复指 数函数定义为 eK t e( i )t et (cos t i sin t ) • 有 1 1 cos t (ei t e i t ), sin t (ei t e i t )
连续 lim z (t ) z (t0 )
t t0
t t0
lim
z (t ) z (t0 ) d z (t0 ) z '(t0 ) t t0 dt
d z (t ) d (t ) d (t ) i dt dt dt
d z1 (t ) d z2 (t ) d [ z1 (t ) cz2 (t )] c dt dt dt
n
e
( 1 2 L n )t
1
M
2
M
n
M
n 1 n
1n1e t
n 1 t 2 e L
n 1 1n1 2 L
1 j i n
(i j ) 0.
即n个解在区间上线性无关，构成的基本解组。 方程有通解 t t t
x c1e 1 c2e
dn x d n1 x dx a ( t ) L a ( t ) an (t ) x u(t ) iv(t ). (**) 1 n1 n n1 dt dt dt
6.2 稳定性 奇点 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件
§6.2稳定性奇点d (,)((,))d (,)y Y x y X x y 0x X x y =≠d (,)((,))d (,)x X x y Y x y 0y Y x y =≠或d (,)d ()d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩奇点驻定解奇点d d ()d d x ax by t 21y cx dy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩a b 0c d ≠标准形式11122122k x k y k x k y ξη=+⎧⎨=+⎩,,,010000λλλαβμλλβα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b 0c d λλ-=-,(),2p q 0p a d q ad bcλλ++==-+=-情形Ⅰ同号相异实根情形Ⅰ同号相异实根(),()12t t t Ae t Be λλξη==()()()()21t t B e 0t t Aλληκξ-==→→∞当()()()()12t 1t A e 0t t Bλλξκη-==→→∞当d d ,d d 12tt ξηλξλη==情形Ⅰ同号相异实根图结点稳定结点不稳定结点情形Ⅱ异号实根情形Ⅱ异号实根鞍点不稳定(),()12t t t Ae t Beλλξη==d d ,d d 12tt ξηλξλη==情形Ⅱ异号实根图情形Ⅲ重根(1)情形Ⅲ重根•(1) b ≠0或c ≠0 退化结点稳定退化结点不稳定退化结点()(),()t t t At B e t Aeλλξη=+=()()()t A 0t t At B ηξ=→→∞+当d d ()d d x ax by t 21y cx dy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩d d ,d d tt ξηλξηλη=+=情形Ⅲ重根(1)图情形Ⅲ重根(2)•(2) b =c =0奇结点稳定的不稳定的(),()t t x t Ae y t Be λλ==d d ,,d d x y x y a d t tλλλ====情形Ⅳ非零实部复根•情形Ⅳ非零实部复根,tr Ae t Bαθβ==-+d d ,d d ttξηαξβηβξαη=+=-+d d d d d d ,d d d d d d 2r rrt t t t t tξηηξθξηξη+=-=d d ,d d rr t tθαβ==-情形Ⅳ非零实部复根图情形Ⅴ纯虚根•情形Ⅴ纯虚根中心零解稳定线性奇点定理定理6 •(1) 结点鞍点•(2)退化结点奇结点•(3) 焦点()()dxax by a b dt21022dy cdcx dy dt⎧=+⎪⎪≠⎨⎪=+⎪⎩,(),()2p q 0p a d q ad bc 24λλ++==-+=-奇点类型图p2-4q=0,(),()2p q0p a d q ad bc24λλ++==-+=-例1 讨论二阶线性微分方程的奇点：解d dd d22x x32x0 t t++=ddddxyty2x3yt⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩极限环例例1 即轨线按顺时针方向从圆上走出圆外；,,,,0000r 0t t t t r 1t t t t θθ==-≥==-≥和d ()d d ()d 2222x x y x x y t y x y y x y t⎧=+-+⎪⎪⎨⎪=-+-+⎪⎩d d (),d d 2r r 1r 1t tθ=-=-d d (),d d 1211r R r R 1R 010t t θθθ*===->=-<d d (),d d 2222r R r R 1R 010t t θθθ*===-<=-<极限环稳定不稳定半稳定极限环d(,)d()d(,)dxX x yt18yY x yt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩环域定理定理7定理8证X Yx y∂∂+∂∂:(),(),x x t y y t 0t T Γ==≤≤d d (,)(,)18d d x yX x y Y x y t t==，.（）()()d d d d d d d d d d T TD 00X Y y x x y X y Y x X Y t XY YX t 0x y t t ΓΓ⎛⎫∂∂⎛⎫+=-=-=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰数学摆和范得波尔(van der Pol)方程例2 解范得波尔(van der Pol)方程李纳(Lienerd)方程0X Y x y m μ∂∂+=-<∂∂d d ,sin ,(0)d d x y g y x y t t l m μμ==-->222d d (1)0d d x x x x t t μ+-+=d d ()()d d 22x x f x g x 0t t ++=d ()()d ,()d x 0x F x f x x y F x t ==+⎰d d (),()d d x y y F x g x t t=-=-李纳(Lienerd)方程定理定理9(1) (2) (3) 稳定的极限环()()d x 0F x f x x =⎰d d ()()d d 22x x f x g x 0t t++=d d (),()d d x y y F x g x t t =-=-范得波尔方程极限环2d d (1),d 3d x x y y x t tμ=--=-222d d (1)0d d x x x x t tμ+-+=Poincare映射k重极限环Poincare映射P后继函数•k重极限环希尔伯特第16问题个数唯一性唯n性平面图貌d (,)d ()d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩两种群模型竞争系统被捕食-捕食系统共生系统d (1)d 36d (1)d x rx ax by t y sy cx dy t⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（）竞争系统Volterra被捕食-捕食模型--=c dx a byx e y e k分界线、同宿、异宿环(轨)分界线同宿环(轨)异宿轨异宿环全局图貌。
常系数线性微分方程的解法常微分方程课件高教社王高雄教材配套
汇报人：
特征值和特征向量
特征值：线性变 换的特征值是线 性变换矩阵的特 征多项式的根
特征向量：线性 变换的特征向量 是线性变换矩阵 的特征多项式的 解
特征值和特征向 量的关系：特征 值和特征向量是 线性变换矩阵的 特征多项式的解 和根
特征值和特征向量 的应用：特征值和 特征向量在常系数 线性微分方程的解 法中有广泛的应用， 如求解线性微分方 程的解、求解线性 微分方程组的解等
积分因子法
积分因子法的定义：通过求解积分因子，将微分方程转化为积分方程，从而求解微分方程的方法。 积分因子法的步骤：首先，求解积分因子；然后，将微分方程转化为积分方程；最后，求解积分方程。
积分因子法的应用：适用于求解常系数线性微分方程，如二阶常系数线性微分方程。
积分因子法的优缺点：优点是简单易行，缺点是适用范围有限，仅适用于常系数线性微分方程。
,
汇报人：
目录
定义和形式
常系数线性微分方程：含有未知函数及其导数的方程，其系数为常数
一阶常系数线性微分方程：形如y' + py = q(t)的方程，其中p和q(t)为常数
二阶常系数线性微分方程：形如y'' + py' + qy = r(t)的方程，其中p、q和r(t)为 常数
高阶常系数线性微分方程：形如y(n) + p(n-1)y(n-1) + ... + qy = r(t)的方程，其中p(n-1)、q和r(t)为常 数
描述物体运动：如自由落体、弹簧 振子等
在物理中的应用
描述热传导：如热传导方程、热扩 散方程等
6.2 稳定性 奇点 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材.
§6.2 稳定性 奇点d (,)((,))d (,)y Y x y X x y 0x X x y =≠d (,)((,))d (,)x X x y Y x y 0y Y x y =≠或d (,)d ()d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩奇 点驻定解奇点 d d ()d d x ax by t 21y cx dy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩a b 0c d ≠标准形式11122122k x k y k x k y ξη=+⎧⎨=+⎩,,,010000λλλαβμλλβα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b 0c d λλ-=-,(),2p q 0p a d q ad bc λλ++==-+=-情形Ⅰ同号相异实根情形Ⅰ 同号相异实根 (),()12t t t Ae t Be λλξη==()()()()21t t B e 0t t A λληκξ-==→→∞当()()()()12t 1t A e 0t t B λλξκη-==→→∞当d d ,d d 12tt ξηλξλη==情形Ⅰ同号相异实根图结点稳定结点不稳定结点情形Ⅱ异号实根情形Ⅱ 异号实根 鞍点不稳定(),()12t t t Ae t Beλλξη==d d ,d d 12tt ξηλξλη==情形Ⅱ异号实根图情形Ⅲ重根(1)情形Ⅲ 重根•(1) b ≠0或c ≠0 退化结点稳定退化结点 不稳定退化结点()(),()t t t At B e t Aeλλξη=+=()()()t A 0t t At B ηξ=→→∞+当d d ()d d x ax by t 21y cx dy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩d d ,d d tt ξηλξηλη=+=情形Ⅲ重根(1)图情形Ⅲ重根(2)•(2) b =c =0奇结点稳定的不稳定的(),()t t x t Ae y t Be λλ==d d ,,d d x y x y a d t tλλλ====情形Ⅳ非零实部复根•情形Ⅳ 非零实部复根 ,t r Ae t Bαθβ==-+d d ,d d ttξηαξβηβξαη=+=-+d d d d d d ,d d d d d d 2r r r t t t t t t ξηηξθξηξη+=-=d d ,d d r r t t θαβ==-情形Ⅳ非零实部复根图情形Ⅴ纯虚根•情形Ⅴ纯虚根中心零解稳定线性奇点定理定理6 •(1) 结点鞍点•(2)退化结点奇结点•(3) 焦点()()dxax by a b dt21022dy cdcx dy dt⎧=+⎪⎪≠⎨⎪=+⎪⎩,(),()2p q 0p a d q ad bc 24λλ++==-+=-奇点类型图p2-4q=0,(),()2p q0p a d q ad bc24λλ++==-+=-例1 讨论二阶线性微分方程的奇点：解d dd d22x x32x0 t t++=ddddxyty2x3yt⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩极限环例例1 即轨线按顺时针方向从圆上走出圆外；,,,,0000r 0t t t t r 1t t t t θθ==-≥==-≥和d ()d d ()d 2222x x y x x y t y x y y x y t⎧=+-+⎪⎪⎨⎪=-+-+⎪⎩d d (),d d 2r r 1r 1t tθ=-=-d d (),d d 1211r R r R 1R 010tt θθθ*===->=-<d d (),d d 2222r R r R 1R 010t t θθθ*===-<=-<极限环稳定不稳定半稳定极限环d(,)d()d(,)dxX x yt18yY x yt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩环域定理定理7 定理8 证 X Yx y∂∂+∂∂:(),(),x x t y y t 0t TΓ==≤≤d d (,)(,)18d d x yX x y Y x y t t==，.（）()()d d d d d d d d d d T TD 00X Y y x x y X y Y x X Y t XY YX t 0x y t t ΓΓ⎛⎫∂∂⎛⎫+=-=-=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰数学摆和范得波尔(van der Pol)方程 例2 解范得波尔(van der Pol)方程 李纳(Lienerd)方程 0X Y x y m μ∂∂+=-<∂∂d d ,sin ,(0)d d x y g y x y t t l m μμ==-->222d d (1)0d d x x x x t t μ+-+=d d ()()d d 22x x f x g x 0t t ++=d ()()d ,()d x 0x F x f x x y F x t ==+⎰d d (),()d d x y y F x g x t t =-=-李纳(Lienerd)方程定理 定理9 (1) (2) (3) 稳定的极限环()()d x 0F x f x x=⎰d d ()()d d 22x x f x g x 0t t++=d d (),()d d x y y F x g x t t =-=-范得波尔方程极限环2d d (1),d 3d x x y y x t t μ=--=-222d d (1)0d d x x x x t t μ+-+=Poincare映射k重极限环Poincare映射P后继函数•k重极限环希尔伯特第16问题个数唯一性唯n性平面图貌 d (,)d ()d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩两种群模型竞争系统被捕食-捕食系统共生系统d (1)d 36d (1)d x rx ax by t y sy cx dy t⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（）竞争系统Volterra被捕食-捕食模型--=c dx a byx e y e k分界线、同宿、异宿环(轨)分界线同宿环(轨)异宿轨异宿环全局图貌。
常微分方程与运动稳定性-第一篇_图文_图文
证明： 将y代入(3.24)即可
----------------------------------------------------------------有一对复特征根的情况。复值解:
则 y1的共轭复值解: ------实值解
例3 求微分方程组的通解。 解： 求特征值 所以方程的通解为：
(3.34)
缺点: 求Jordan标准 型 J 和变换阵成过急 P 的计算量太大
2.4 特征根法
设齐次线性方程组
(3.24 )
有解 ( r, 待定 )
r0
利用式(3.34), 应用待定系数法，可直接求得(3.24)的相应基解 矩阵，按矩阵 A 的Jordan 型特征根的重数分为两种情况：
(一) A 只有单的特征根
引理3 解组的朗斯基行列式满足下面的刘维尔公式
(3.8)
证明： 利用行列式的基本性质可得
定理 2 线性微分方程组(3.2)的解组(3.7)是线性无 关的充要条件为
(3.9
)
线性无关。 从引理2的证明中可见，
(3.10)
推论 1 解组(3.7)式线性相关的充要条件为
例1 验证微分方程组 的通解为：
(3.15 )
1.2 非齐次线性微分方程组
考虑非齐次线性微分方程组 (3.1)
的通解的结构。
得证
利用常数变易法可以求得(3.1)的一个特解(已知(3.2)的 一个基解矩阵)。
假设(3.1)有如下形式的特解：
(3.16 )
(3.17)
(3.17)
(3.18)
把上式代回(3.16)式，得到非齐次线性微分方程的一个特解
：
(3.19)
(3.20 )
常微分方程课件
在经济中的应用
描述经济现象：通过常微分方程描述经济现象的变化趋势和规律 预测经济走势：利用常微分方程对经济走势进行预测和分析 优化资源配置：通过常微分方程找到最优的资源配置方案，提高经济效益 制定经济政策：利用常微分方程分析政策对经济的影响，制定合理的经济政策
在生物与工程中的应用
描述种群增长模型
常微分方程是描述函数随时间变化的数学模型。 常微分方程的性质包括解的存在性、唯一性和连续依赖性。 解的存在性是指对于给定的初值问题，存在至少一个解。 唯一性是指对于给定的初值问题，存在唯一的解。
分类与表示方法
线性微分方程： 形如y' = px + q的方程，其中p 和q是常数
非线性微分方程： 形如y' = f(y)的 方程，其中f(y) 是一个关于y的 函数
一阶微分方程： 只含有一个自变 量和一个导数的 微分方程
高阶微分方程： 含有多个自变量 和多个导数的微 分方程
求解方法简介
分离变量法 变量代换法 欧拉方法 龙格-库塔方法
03 一阶常微分方程
一阶线性微分方程
定义：形如 y'=f(x)g(y)的 一阶微分方程， 其中f和g都是
可导函数。
求解方法：通 过变量分离法、 积分因子法、 公式法等求解。
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汇报人：
分岔与混沌
分岔：当系统的参数发生变化时，系统的定性行为发生突然改变的现象。 混沌：在确定性非线性系统中，由于对初值的高度敏感性而产生的复杂运动状态。 举例：Lorenz 方程。 应用：天气预报、生态学、经济学等。
定性理论的应用与限制
应用领域：物理学、生物学、经济学等 解决实际问题：解释自然现象、预测未来趋势等 限制：定性理论无法处理某些复杂系统或非线性问题 未来研究方向：如何克服定性理论的局限性，拓展其应用范围
常微分方程PPT
• 参考书目： [1] 常微分方程, 东北师大数学系编，高教出版社 [2] 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社 [3] 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社 [4] 微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
教学安排
• 第1周——第12周，共48学时 （第5周四，第6周国庆，实际授课时42学时） • 考试安排：在结课后一周考试， • 总成绩=平时（40%）+期末（60%），有 小论文可以加分，每周四课后交作业 • 答疑时间：周四晚7：00-9：00，地点7112
• 基本思想: 把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系 找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个 或几个方程中去求得未知函数的表达式，即求解 微分方程
• 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的 • 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用 级数来求解 • 瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家 克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究 和丰富了微分方程的理论 • 法国数学家Poincare及前苏联数学家Lyapunov等 对现代微分方程理论的建立做出了巨大的贡献
N (t ) r (1 ) Nm
logistic模型
传染病模型
• 假设传染病传播期间其地区总人数不变， 为常数n，开始时染病人数为x0，在时刻t的 健康人数为y(t)，染病人数为x(t) • 假设单位时间内一个病人能传染的人数与 当时的健康人数成正比，比例系数为k
SI模型 易感染者：Susceptible 已感染者：Infective
SIS模型
• 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被 感染，设单位时间治愈率为mu
SIR模型（R：移出者（Removed））
• 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在 被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出 者，而治愈率l为常数
常微分方程课件
n 阶隐式方程的一般形式为 n 阶显式方程的一般形式为
（1.11）
(1.12)
在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数 y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为 非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性 微分方程具有如下形式：
而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹. 产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个 自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初 始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何 一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的 高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹. 为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个 初始值条件，即 初始位置 x(0)= H 初始速度 代入到通解中，推得 于是，得到满足上述初值条件的特解为 (1.14)
上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分
本节要点：
1．变量可分离方程的特征． 2．分离变量法的原理：微分方程（1.18） 与分离变量后的积分方程（1.26）当 时 是同解方程． 3．变量可分离方程一定存在常数解 y=y_0, 并且满足 ．
第3讲 齐次微分方程 1．什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们 形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后， 就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离 的方程. 如果一阶显式方程 （1.9） 的右端函数可以改写为的函数，那么称方程(1.9)为一阶齐次 微分方程.
回通解，即得所求初值问题的 例2 求方程 的满足初值条件 解 方程通解为 求导数后得
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§6.2稳定性奇点
d (,)((,))d (,)y Y x y X x y 0x X x y =≠d (,)((,))d (,)x X x y Y x y 0y Y x y =≠或d (,)d ()d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
奇点
驻定解奇点d d ()d d x ax by t 21y cx dy t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩a b 0c d ≠
标准形式
11122122k x k y k x k y ξη=+⎧⎨=+⎩,,,010000λλλαβμλλβα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
a b 0c d λλ-=-,(),2p q 0p a d q ad bc
λλ++==-+=-
情形Ⅰ同号相异实根
情形Ⅰ同号相异实根(),()12t t t Ae t Be λλξη==()()()()21t t B e 0t t A
λληκξ-==→→∞当()()()()12
t 1t A e 0t t B
λλξκη-==→→∞当d d ,d d 12t
t ξηλξλη==
情形Ⅰ同号相异实根图
结点稳定结点
不稳定结点
情形Ⅱ异号实根
情形Ⅱ异号实根鞍点不稳定(),()12
t t t Ae t Be
λλξη==d d ,d d 12t
t ξηλξλη==
情形Ⅱ异号实根图
情形Ⅲ重根(1)
情形Ⅲ重根•(1) b ≠0或c ≠0 退化结点稳定退化结点不稳定退化结点()(),()t t t At B e t Ae
λλξη=+=()()()t A 0t t At B ηξ=→→∞+当d d ()d d x ax by t 21y cx dy t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩d d ,d d t
t ξηλξηλη=+=
情形Ⅲ重根(1)图
情形Ⅲ重根(2)
•
(2) b =c =0奇结点稳定的不稳定的(),()t t x t Ae y t Be λλ==d d ,,d d x y x y a d t t
λλλ====
情形Ⅳ非零实部复根
•情形Ⅳ非零实部复根,t
r Ae t B
αθβ==-+d d ,d d t
t
ξ
η
αξβηβξαη=+=-+d d d d d d ,d d d d d d 2r r
r
t t t t t t
ξηηξθ
ξ
η
ξ
η
+=-=d d ,d d r
r t t
θ
αβ==-
情形Ⅳ非零实部复根图
情形Ⅴ纯虚根•情形Ⅴ纯虚根
中心零解稳定
线性奇点定理
定理6 •(1) 结点鞍点•(2)退化结点奇结点•(3) 焦点()()
dx
ax by a b dt
21022dy c
d
cx dy dt
⎧=+⎪⎪≠⎨
⎪=+⎪⎩,(),()
2p q 0p a d q ad bc 24λλ++==-+=-
奇点类型图
p2-4q=0,(),()
2p q0p a d q ad bc24λλ
++==-+=-
例1 讨论二阶线性
微分方程的奇点：解
d d
d d
2
2
x x
32x0 t t
++=
d
d
d
d
x
y
t
y
2x3y
t
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=--
⎪⎩
极限环例
例1 即轨线按顺时针方向从圆上走出圆外；
,,,,0000
r 0t t t t r 1t t t t θθ==-≥==-≥和d ()d d ()d 22
22x x y x x y t y x y y x y t
⎧=+-+⎪⎪⎨
⎪=-+-+⎪⎩d d (),d d 2r r 1r 1t t
θ=-=-d d (),d d 1
21
1
r R r R 1R 010t t θθ
θ
*
==
=->=-<d d (),d d 2
22
2
r R r R 1R 010
t t θθθ
*
===-<=-<
极限环
稳定不稳定半稳定极限环
d
(,)
d()
d
(,)
d
x
X x y
t18
y
Y x y
t
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
环域定理
定理7定理8证X Y
x y
∂∂+∂∂:(),(),x x t y y t 0t T Γ==≤≤d d (,)(,)18d d x y
X x y Y x y t t
==，.（）()()d d d d d d d d d d T T
D 00
X Y y x x y X y Y x X Y t XY YX t 0x y t t ΓΓ⎛⎫∂∂⎛⎫
+=-=-=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰
数学摆和范得波尔(van der Pol)方程例2 解范得波尔(van der Pol)方程
李纳(Lienerd)方程0X Y x y m μ∂∂+=-<∂∂d d ,sin ,(0)d d x y g y x y t t l m μμ==-->222d d (1)0d d x x x x t t μ+-+=d d ()()d d 22x x f x g x 0t t ++=d ()()d ,()
d x 0x F x f x x y F x t ==+⎰d d (),()d d x y y F x g x t t
=-=-
李纳(Lienerd)方程定理定理9(1) (2) (3) 稳定的极限环
()()d x 0
F x f x x =⎰d d ()()d d 22x x f x g x 0t t
++=d d (),()d d x y y F x g x t t =-=-
范得波尔方程极限环
2d d (1),d 3d x x y y x t t
μ=--=-222d d (1)0d d x x x x t t
μ+-+=
Poincare映射k重极限环
Poincare映射P
后继函数
•k重极限环
希尔伯特第16问题
个数
唯一性
唯n性
平面图貌d (,)d ()
d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
两种群模型
竞争系统被捕食-捕食系统共生系统d (1)d 36d (1)d x rx ax by t y sy cx dy t
⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（）
竞争系统
Volterra被捕食-捕食模型--=
c dx a by
x e y e k
分界线、同宿、异宿环(轨)
分界线
同宿环(轨)
异宿轨
异宿环全局图貌。