基本不等式的实际应用

基本不等式的实际应用

例1某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．

(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；

(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？

(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用

)

建筑总面积

练习

1..某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．

(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

2.经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度

v(千米/小时)之间有函数关系y＝

920v

v2＋3v＋1 600(v>0)．

(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？

(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

3.某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．

(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；

(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．

线性规划相关应用题

例1.一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料, 甲种饮料主要西方是每3份李子汁加1份苹果汁, 乙种饮料的西方是李子汁和苹果汁各一半. 该厂每天能获得的原料是2000L李子汁和1000L苹果汁, 又厂方的利润是生产1L甲种饮料得3元, 生产1L乙种饮料得4元. 那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少, 才能获利最大?

练习

1.有粮食和石油两种物资, 可用轮船与飞机两种方式运输, 每天每艘轮船和每架

现在要在一天内运输2000吨粮食和1500吨石油, 需怎样安排轮船和飞机，使轮船和飞机总数最少?

2. (2010·四川)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()

A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

3. (2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于()

A．4 650元B．4 700元

C．4 900元D．5 000元

4．(12分)(2010·广东)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

例1 解 (1)依题意得

y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x

(x ≥10，x ∈N *)． (2)∵x >0，∴48x ＋10 800x

≥248×10 800＝1 440， 当且仅当48x ＝10 800x

，即x ＝15时取到“＝”， 此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．

答 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．

练习1 解 (1)由题意可设3－x ＝k t ＋1

， 将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1

.当年生产x 万件时， ∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3.

当销售x (万件)时，年销售收入为

150%⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3＋12

t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，

得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)

(t ≥0)． (2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝ ⎛⎭

⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2

t ＋12×32t ＋1

＝50－216＝42(万元)， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1

，即t ＝7时，y max ＝42， ∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．

2．解 (1)y ＝920v v 2＋3v ＋1 600＝920v ＋1 600v ＋3

≤ 9202v ×1 600v ＋3

＝92083≈11.08.(4分) 当v ＝1 600v ，即v ＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时(6分) (2)据题意有920v v 2＋3v ＋1 600

≥10，(8分) 化简得v 2－89v ＋1 600≤0，即(v －25)(v －64)≤0，

所以25≤v ≤64.

所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．

(12分)

3．解 (1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x －1)天．

∴每次购买的原材料在x 天内总的保管费用

y 1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝6x 2－6x .(6分)

(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x ，

∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为