线线平行.线面平行、面面平行的练习题

线线平行、线面平行、面面平行部分的练习题

1．如图2-3-3所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB ∥α.求证：ＣＤ∥EF.

2.已知直线

a∥平面α，直线a∥平面β，平面α平面β=b，求证//a b．

3. 正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如图所示）M、N在

对角线AC、FB上且AM= FN。求证：MN //平面BCE

4．如图2-3-7所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.

5．、已知

PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，

求证：MN//平面PAD.

6.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；（2）面AMN ∥面EFBD.

7．已知在正方体ABCD －1111D C B A 中，M 、N 分别是11D A 、11B A 的中点，在该正方体中作出与平面AMN 平行的平面，并证明

你的结论。

8．已知点 是△ 所在平面外一点，点 ， ， 分别是△ ，△ ，△ 的重心，求证：平面 平面 ．

9. 已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心.

(1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′：

S △ABC .

.

10. 如图所示11

1

ABC A B C 中，平面ABC//平面A 1B 1C 1

，

若D 是棱1

CC 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使

11//C AB DE ？证明你的结论

答案与提示： 1.证明：∵AB

β,AB

α,又∵AB ∥α,α∩β=CD,

∴AB ∥CD,同理ＡＢ∥ＥＦ，∴ＣＤ∥ＥＦ.

2. 证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ，

∵a ∥平面α，a ∥平面β， ∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ， 又∵d ⊂平面β，c ∉平面β， ∴c ∥平面β，

又c ⊂平面α，平面α∩平面β=b ，∴c ∥b ，又∵a ∥c ，所以，a ∥b

3.证：过N 作NP//AB 交BE 于P ，过M 作MQ//AB 交BC 于Q

AB

QM

AC CM =

MQ

NP EF NP

BF BN =⇒=

又 ∵ ⇒MQ AB NP //// MQPN

BCE

MN BCE PQ PQ

MN 面面////⇒⎭⎬⎫

⊂

4. 直线A1B ∥平面ADC1，取B1C1的中点D1，连接A1D1，BD1，则A1D1∥AD,D1B ∥C1D,

∴AD ∥平面A1D1B ，C1D ∥平面A1D1B. 又∵AD ∩C1D=D,∴平面ADC1∥平面A1D1B ， ∵A1B

平面A1D1B ，∴A1B ∥平面ADC1.

5. 证明：连AC ，取AC 的中点O ，连OM 、ON ，则ON//PA ，

d c b a

δ

γ

β

α

OM//BC//AD ，又O OM NO = ，所以平面MNO//平面PAD. 又⊂MN 平面MNO ，因此，MN//平面PAD.

6. .证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如答图9-3-3，

则由正方体性质得 B 1D 1∥BD.

∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1. ∴EF ∥2

1BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.

（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O .

∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,

∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ⊂平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.

且PA∩MN =P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.

7 . ．解析：与平面AMN 平行的平面可以有以下三种情况：

下面以第（1）个图为例进行证明。

证明：因为四边形ABEM 是平行四边形，所以BE//AM ，而⊂BE 平面BDE ，

所以AM//平面BDE. 又因为MN 是▲111D B A 的中位线，所以MN//11D B ，而四边形

BD 11D B 是平行四边形，所以BD//11D B ，由平行公理可得MN//BD ，又⊂BD 平面BDE ，

所以MN//平面BDE. 又M AM MN = ，所以由平面与平面平行的判定定理可得，

平面AMN//平面BDE.其他两种情况如图（二）、(三)所示，可以自己证明。

8. 略证：设 分别是边 的中点，则 ， 且 ，从而得 ， 面 ；同理 平面 ．

9.（１）证明：设Ｍ，Ｎ是ＢＣ，ＡＢ的中点. 连接ＰＮ，ＰＭ，则C ′,Ａ′分别在ＰＮ,ＰＭ上. 在△PMN 中， . ∴ ∥MN ∥AC,且 ＝ ＡＣ. ∴ ∥平面ＡＢＣ. 同理，A ′B ′∥平面ＡＢＣ. 又∵ ∩A ′B ′=A ′, ∴平面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥平面ＡＢＣ.

（２）同理A ′B ′= AB, = ， ∴△A ′B ′C ′∽△ABC. ∴S △A ′B ′C ′：S △ABC =1：9.

10.证明： 当点E 为棱AB 的中点时，DE //平面11AB C ． 证明如下：如图，取1BB 的中点F ，连EF 、FD 、DE ， ∵D 、E 、F 分别为1CC 、AB 、1BB 的中点， ∴EF//AB 1∵1AB ⊂平面11AB C ，EF ⊄平面11AB C ， ∴EF//平面

11

AB C ． 同理可证FD//平面

11

AB C ．∵

EF

FD F =，