初二年级数学动点问题练习(含答案)

动态问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想数形结合思想转化思想
1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始
沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，
Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6
当t= 时，四边形是等腰梯形
. 8
2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，
则DN+MN的最小值为 5
3、如图，在Rt ABC
△中，9060
ACB B
∠=∠=
°，°，2
BC=．点O是AC的中点，过
点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作
CE AB
∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．
（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；
②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；
（2）当90
α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
解：（1）①30，1；②60，1.5；
（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形
在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.
∴AB=4,AC
∴AO=
1
2
AC
在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.
∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形
4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
（备用图）C
B
E
D
图1
N
M
A B
C
D
E
M
A
C
B
E
D
N
M
图3
(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；
(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB
② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE
(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.
5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
解：（1）正确． 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）
． AE EF ∴=． （2）正确．
证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．
BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．
ANE ECF ∴△≌△（ASA ）
． AE EF ∴=．
6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；
（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值
A
D F
C G E B 图1 A
D F
G B 图3
A D F
C G
E B 图2
A D F C G
B M A D F
C G B N
7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC
∥，E是AB的中点，过点E作EF BC
∥交CD于点F．46
AB BC
==
，，60
B=︒
∠.求：（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF
⊥交BC于点M，过M作MN AB
∥交折线ADC 于点N，连结PN，设EP x
=.
①当点N在线段AD上时（如图2），P M N
△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN
△的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN
△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由
解（1）如图1，过点E作EG BC
⊥于点G．∵E为AB的中点，∴
1
2
2
BE AB
==．
在Rt EBG
△中，60
B=︒
∠，∴30
BEG=︒
∠．
∴
1
1
2
BG BE EG
====
，
A D
E
B
F
C
图4（备用）
A D
E
B
F
C
图5（备用）
A D
E
B
F
C
图1 图2
A D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）
即点E 到BC
（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，， ∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥， ∴EP GM =
，PM EG == 同理4MN AB ==． 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，
∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．
∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=． 则35
422
NH MN MH =-=-=．
在Rt PNH △
中，PN === ∴PMN △的周长
=4PM PN MN ++=．
②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．
类似①，3
2MR =．
∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．
此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．
当MP MN =时，如图4
，这时MC MN MP ===
此时，615x EP GM ===-= 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，
又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠． 因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4
或(5-时，PMN △为等腰三角形．
8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．
(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动
图3
A D E B
F
C
P
N M 图4
A D E
B
F C
P M
N 图5
A D
E
B
F （P ） C
M N
G
G
R
G
图1
A D E
B
F C
G 图2
A D E
B
F
C
P
N
M
G H
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．
又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵
P Q
v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，
∴点P ，点Q 运动的时间
4
33BP t =
=秒， ∴
515
443Q CQ v t
=
==厘米/秒。

（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得153210
4x x =+⨯，解得80
3x =秒． ∴点P 共运动了80
380
3⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过80
3秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．
9、如图所示，在菱形ABCD 中，AB =4，∠BAD =120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．
（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE =CF ；
（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°， ∠BAE +∠EAC =60°，∠FAC +∠EAC =60°， ∴∠BAE =∠FAC 。

∵∠BAD =120°，∴∠ABF =60°。

∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。

∴∠ACF =60°，AC =AB 。

∴∠ABE =∠AFC 。

∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE =∠FAC ，AB =AC ，∠ABE =∠AFC ， ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。

∴BE =CF 。

（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。

理由如下：
由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △ACF 。

∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值。

作AH ⊥BC 于H 点，则BH =2，
AECF ABC 11
S S BC AH BC 22
∆==⋅⋅==四形边
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直
时，边AE 最短．
故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，
又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．
∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF 1
2
=⋅。

∴△CEF
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。

【分析】（1）先求证AB =AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠ACF =60°，AC =AB ，从而求证△ABE ≌△ACF ，即可求得BE =CF 。

（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AEC F=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△AB E=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。

当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。

10、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P 从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA 于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）．
（1）求t=1时FC的长度．
（2）求MN=PF时t的值．
（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．
（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．
＜t≤时；当＜t≤3
）∵AP=
＜t≤t
．。