第四章电磁感应专题5—电磁感应双杆模型

第四章电磁感应专题（五）一电磁感应双杆模型
课堂探究练•班级：_______ 姓名：_________________
示意图规律分析
光滑的平行导轨不光滑平行导轨
Z
摩擦力F fi = F f2质量m i = m2
长度L1= L电阻r i= 3长度L i = L
开始时，若F <2F f,则PQ杆先变加速后匀速运
开始时，两杆做变加速运动；稳定
质量m i= m2电阻
时，两杆以相同的加速度做匀加速
动；MN杆静止.若F>2F f, PQ杆先变加速后匀加运动
速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时
做匀加速运动，且加速度相同
例1 •间距为L=2m的足够长的金属直角导轨如图3所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面•质量均为m= 0.1 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直放置形成闭合回路•细杆与导轨之间的动摩擦因数均为尸0.5，导轨的电阻不计，细杆ab、cd接入电路的电阻分别为R1= 0.6 Q, R = 0.4 Q整个装置处于磁感应强度大小为B= 0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中(图中未画出).当ab杆在平行于水平导轨的
拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动，且t= 0时，F = 1.5 N. g= 10 m/s2.
(1) 求ab杆的加速度a的大小；
(2) 求当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小；
(3) 若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做的功为5.2 J,求该过程中ab杆所产生的焦耳热
例2•如图所示，平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不计。

质量分别为
生碰撞。

重力加速度为 g ,求:
绝缘棒a 与金属棒b 发生弹性正碰后分离时两棒的速度大小; 金属棒b 进入磁场后，其加速度为其最大加速度的一半时的速度大小;
例3•两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内， 两导轨间的距离为I 。

导轨上面横放着两根导
体棒ab 和cd ,构成矩形回路，如图所示。

两根导体棒的质量皆为
m ，电阻皆为R ,回路中其它部分的电
阻可不计。

在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为
B 。

设两导体棒均可沿导轨无摩擦
地滑行，开始时，棒 cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 。

若两导体棒在运动中始终不接触，求: (1) 在运动中产生的焦耳热最多是多少？
(2) 当棒ab 的速度变为初速度的3时，棒cd 的加速度是多大?
m 和2m 的金属棒b 和c 静止放在水平导轨上,
b 、
c 两棒均与导轨垂直。

图中 de 虚线往右有范围足够大、
方向竖直向上的匀强磁场。

质量为m 的绝缘棒 a 垂直于倾斜导轨静止释放，释放位置与水平导轨的高度差 为h 。

已知绝缘棒a 滑到水平导轨上与金属棒 b 发生弹性正碰，金属棒
b 进入磁场后始终未与金属棒
c 发
(1) (2) (3) 两金属棒b 、c 上最终产生的总焦耳热。

例4.如图所示，M I N I P I Q I和M2N2P2Q2为在同一水平面内足够长的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下•导轨的M I N I段与M2N2段相互平行，距离为L ; P I Q I段与P2Q2段也是平
行的，距离为L。

质量均为m的金属杆a、b垂直于导轨放置，一不可伸长的绝缘轻线一端系在金属杆b 的中点，另一端绕过定滑轮与质量也为m的重物c相连，绝缘轻线的水平部分与P I Q I平行且足够长。

已
知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持光滑接触，两杆与导轨构成的回路的总电阻始终为R, 重力加速度为g o
(1) 若保持a固定，释放b，求b的最终速度的大小;
⑵若同时释放a、b，在释放a、b的同时对a施加一水平向左的恒力 F = 2mg，当重物c下降高度为h
a、b到a达到最大速度的过程中，两杆与导轨构成
时，a达到最大速度。

求：①a的最大速度；②从释放的
回路中产生的电能。

KF '2,
H—
i __ y
c口
第四章 电磁感应专题(五)一电磁感应双杆模型课后练习
班级： ________ 姓名： ________________
1. (重复)如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角 0.4 m .导轨所在空间被分成区域I 和H,两区域的边界与斜面的交线为
MN ,1中的匀强磁场方向垂直斜
面向下，H 中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为
B = 0.5 T .在区域I 中，将质
量m i = 0.1 kg ,电阻R i = 0.1 Q 的金属条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑.然后，在区域n 中将质量 口2=
0.4 kg ,电阻R 2 = 0.1 Q 的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑. cd 在滑动过程中始终处于区域n
的磁场中，ab 、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触， g 取10 m/s 2.问：
(1) cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向； (2) ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大;
(3) 从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中,
cd 滑动的距离x = 3.8 m ,此过程中ab 上产生的热量
多少.
2.
如图所示，两条足够长的平行金属导轨相距 L ,与水平面的夹角
为 0整个空间存在垂直于导轨平面的 匀强磁场，磁感应强度大小均为
B ,虚线上方轨道光滑且磁场方向垂直导轨平面向上，虚线下方轨道粗糙
且磁场方向垂直导轨平面向下.当导体棒 EF 以初速度V 。

沿导轨上滑至最大高度的过程中，导体棒 MN 直静止在导轨上，若两导体棒质量均为 体棒EF 上产生的电热为Q ,求： (1) 导体棒MN 受到的最大摩擦力； (2) 导体棒EF 上升的最大高度.
3.
如图所示，竖直固定的足够长的光滑金属导轨 MN 、PQ ,间距L =
0.2 m ,其电阻不计。

完全相同的两根
0= 30。

的斜面上，导轨电阻不计，间距 L =
m 、电阻均为 R ,导轨电阻不计，重力加速度为
g ,在此过程中导
金属棒ab、cd垂直导轨放置，每根金属棒两端都与导轨始终良好接触。

已知两棒质量均
5
N
为m = 0.01 kg,电阻均为R= 0.2 Q,棒cd放置在水平绝缘平台上，整个装置处在垂直于导轨平面向里的
匀强磁场中，磁感应强度B= 1.0 T。

棒ab在竖直向上的恒力F作用下由静止开始向上运动，当ab棒运动x= 0.1 m时达到最大速度v m，此时cd棒对绝缘平台的压力恰好为零，g取10 m/s2。

求：
(1) ab棒的最大速度v m；
(2) ab棒由静止到最大速度的过程中通过ab棒的电荷量q;
(3) ab棒由静止到最大速度的过程中回路产生的焦耳热Q。

4•如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为B的绝缘斜面上，导轨间距为L,导轨上端连接一个
定值电阻，导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并接触良好，斜面上水平虚线PQ以下区域内，存在着
垂直斜面向上的磁场，磁感应强度大小为B0,已知b棒的质量为m, a棒、b棒和定值电阻的阻值均为R, 导轨电阻不计，重力加速度为g。

AB
(1) 断开开关S, a棒和b棒固定在磁场中，恰与导轨构成一个边长为L的正方向，磁场从B0以W =k均匀
增加，写出a棒所受安培力随时间变化的表达式。

(2) 若接通开关S,同时对a棒施以平行导轨斜向上的拉力F，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下
端的b棒恰好静止。

当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力F, a棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b棒已滑离导轨。

当a棒再次滑回磁场上边界PQ时，又恰能沿导轨匀速向下
运动，求a棒质量m a及拉力F的大小。

第四章电磁感应专题(五)一电磁感应双杆模型答案
例3.解析 (1)从开始到两棒达到相同速度
v 的过程中，两棒的总动量守恒，有 mv 0= 2mv ,
例1•解析⑴由题可知，在t = 0时，F = 1.5 N 对ab 杆进行受力分析，由牛顿第二定律得 F —卩mg= ma
代入数据解得a = 10 m/s 2
⑵从d 向c 看，对cd 杆进行受力分析，如图所示，当
cd 杆速度最大时，ab 杆的速度大小为 v ，有F f = mg
综合以上各式，解得 v = 2 m/s
2
2
⑶整个过程中，ab 杆发生的位移 x =卷=2 x 10 m = 0.2 m
1
对ab 杆应用动能定理，有 W F —卩mg —W 安=^mv 2 代入数据解得W 安=4.9 J 根据功能关系得 Q 总=W 安 所以ab 杆上产生的热量 Q ab =
—Q 总=2.94 J. R 1 十 R 2
例2.解析 (1 )设a 棒滑到水平导轨时，速度为
v °,下滑过程中a 棒机械能守恒?mv 2= mgh a 棒与b 棒发生弹
性碰撞
由动量守恒定律 mv 0= mv 1十mv 2 由机械能守恒定律~mv 0= *mv 2十*mv 2 解出 v 1= 0, v 2 = v 0= 2gh
(2) b 棒刚进磁场时的加速度最大。

b 、
c 两棒组成的系统合外力为零，系统动量守恒。

由动量守恒定律 mv 2 = mv 2十' 设b 棒进入磁场后任一时刻，
b 棒的速度为v b ,
c 棒的速度为v c ,则b 、c 组成的回路中的感应电动势
E =
2 2
BL (v b — v c ),由闭合电路欧姆定律得 I =乎，由安培力公式得 F = BIL = ma ,联立得a = BL(
目一心。

(3) 最终b 、c 以相同的速度匀速运动。

由动量守恒定律 mv 2=( m + —) v
由能量守恒定律 詁2= 1 (m +m ) v 2 + Q 解出Q = ^mgh
=aF , F N = F 安，F 安=BIL ,
BLv R 1 + R 2
故当b 棒加速度为最大值的一半时有 v 2= 2 ( v 2‘一 v 3‘)
5
联立得v2‘= 6v
根据能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热
1 2 1 2 1 2 Q = qmv o — q 2mv = Rmv o 。

3
（2）设棒ab 的速度变为-v o 时，cd 棒的速度为v',
4 -
则由动量守恒可知 吋=秒0+ mv
由牛顿第二定律可得棒 cd 的加速度大小为 例4•解析：（1）当b 的加速度为零时，速度最大，设此时速度为 V m ,则: L E
E = B^v m 1
=
R
分别以b 、c 为研究对象：F T = BI L , F T = mg 联立解得：v m = 4B 2L R
（2）①在加速过程的任一时刻，设 a 、be 的加速度大小分别为 a a 、a bc ，电流为i ，轻绳的拉力为 F T ',分
别以a 、b 、c 为研究对象，根据牛顿第二定律：
F — BiL = ma a F T — Bi L = ma bc
2
mg — F T '= ma bc 联立解得a a = 4a bc
设a 达到最大速度v a 时，b 的速度为V b ，由上式可知：V a = 4v b 当a 的加速度为零时，速度达到最大： 2mg = Bi L
根据法拉第电磁感应定律： E = BLv a + B^v b 联立解得v a =
, v b =饗
②设重物下降的高度为 h 时，a 的位移为X a ,故X a = 4h 1 2 1
2
1
2
根据功能关系：2mgx a + m gh = E 电+ ^mv a + ^mv b + ^mv c 联立解得E 电=9mgh — m （—曇?）2
1. 【解析】 （1）由右手定则可判断出 cd 中的电流方向为由d 到c ,贝U ab 中电流方
向为由a 流向b.
1
得心猝，此时棒cd 所受的安培力
F = BII
2 2
B I v o 4R
F
a = ■= m
2 2
帶，方向水平向右。

BLx 1.0 x 0.2X 0.1
C = 0.05 C 。

2X 0.2
(2)开始放置ab 刚好不下滑时,ab 所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为 设ab 刚要上滑时，cd 棒的感应电动势为 E ,由法拉第电磁感应定律有 设电路中的感应电流为I ，由闭合电路欧姆定律有
E R i + R 2
设ab 所受安培力为F 安，有F 安=BIL
④
此时ab 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有 综合①②③④⑤ 式，代入数据解得 v = 5 m/s. ⑶设cd 棒运动过程中在电路中产生的总热量为
Q 总，由能量守恒定律有
m 2gxsin 0= Q 总+ *m 2v 2
R 1
又 Q =R 1
T R;Q
总
解得 Q = 1.3 J. 2. 【解析】 (1)EF 获得向上初速度 V 。

时，产生感应电动势 E = BLv 。

，电路中电流为I ，由闭合电路的
欧
姆定律有I = E , 2R
此时对导体棒MN 受力分析，由平衡条件有 F A + mgs in a= F f , F A = BIL ,
3.
解析：(1)当ab 棒达到最大速度v m 时，对cd 棒，受重力和向上的安培力作用， 根据共点力平衡条件有:
mg = ILB ①
对整个回路，根据闭合电路欧姆定律有：
E = 2IR ②
根据法拉第电磁感应定律可知， ab 棒切割磁感线产生的感应电动势为： E = BL v m ③
由①②③式联立解得：
2mgR 2X 0.01 x 10X 0.2 v m = B 2L 2 = 1 02x 0 22 m/s = 1 m/s 。

④ (2)设ab 棒由静止开始运动经过时间
t 后速度达到最大，根据电流强度的定义可知： 7 =；⑤
E
根据闭合电路欧姆定律可知：
I = ⑥
2R
根据法拉第电磁感应定律有： E =三⑦
由题意可知，在该过程中，穿过回路的磁通量变化量为: 由⑤⑥⑦⑧式联立解得：
F max ， 有 F max = m i gsin 0 ① E = BLv ②
F 安=m^sin 0+ F max ⑤
解得F f = 2 2
B L v o 2R
卜 mgs in 0
(2)导体棒EF 上升过程MN —直静止，对系统由能的转化和守恒定律有
1
mv 0= mgh + 2Q ,解得 h =
mvl 4Q 2mg
△①=BLx ⑧
(3) 当ab棒速度达到最大时，其加速度为0，根据牛顿第二定律有：
F —ILB —mg = 0 ⑨
在ab棒由静止到最大速度的过程中，根据功能关系有：(F —mg)x= |mv m2+ Q⑩
由①④⑨⑩式联立解得：
1 2 —3
Q= mgx—2mv m = 0.01 J —0.005 J= 5 x 10 j。

4. ［解析］(1)由法拉第电磁感应定律可得
△①E=W，△①=A BL2
t时刻的磁感应强度为B= B0+ kt
此时a棒受到的安培力为F安=BIL
kL3
解得：F安=示(氐+ kt)。

(2)由题意可知a棒沿斜面向上运动时，a棒为电源，b棒和电阻R并联，设通过a棒(干路)的电流为11,由并联电路关系可得：11 = l b+ I R
B棒和电阻R的阻值相等，则通过b棒的电流为
1
I b= 2I1
电路的总电阻为R总=R R+R R+ R a
由欧姆定律可得干路电流为11=旦
R总
感应电动势为 E = BLv
b棒保持静止，则mgsin 0= BI b L
a棒脱离磁场后撤去拉力F, a棒机械能守恒，返回磁场时速度大小还是v,此时a棒和电阻R串联，则电
路中的电流为12 = E D
R a十R
a棒匀速下滑，则m a gsi n 0= BI2L
联立解得m a=》m
a棒向上运动时受力平衡： F = m a gsi n 0+ BhL
解得 F = |mgsin 0。

由闭合电路欧姆定律可得: 1 =2R。