第四讲 远期与期货的定价原理
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券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率
f Ke r(T t) Se q(T t)
f Se q(T t ) Ke r (T t )
支付已知收益率资产远期合约的定价
现货－远期平价公式
❖ 远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割 价格（K）
❖即当f=0时，K=F ， F Se(rq)(T t)
F Se(rq)(T t ) 25e0.060.5 25.67美元
远期和期货的定价模型
❖ 持有成本模型 ❖ 风险收益模型
持有成本模型
❖ 完全市场假设下的期货定价 投资性资产期货合约的定价 消费性资产期货合约的定价
❖ 非完全市场情况下的期货定价 存在交易成本的时候 借贷存在利差的时候 存在卖空限制的时候
金融工程概论
史英哲 中央财经大学金融学院
第四讲 远期与期货的定价原理
远期价格和期货价格的关系 远期的定价 远期和期货的定价模型
基本假设
❖ 没有交易费用和税收 ❖ 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 ❖ 远期合约没有违约风险 ❖ 允许现货卖空行为 ❖ 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动 ❖ 期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率
完全市场假设下的期货定价
投资性资产期货合约的定价
F Ser(T t)
❖ 持有成本＝保存成本＋利息成本 －标的资产在合约期限内提供的收益
❖ 如果我们用C表示持有成本，那么，投资性资产的期货价 格就为：
f Se(cr )(T t ) Ker (T t)
F Sec(T t)
完全市场假设下的期货定价
❖
F Sec(T t)
F Se(cz)(T t)
非完全市场情况下的期货定价
存在交易成本的时候： 假定每一笔交易的费率为Y，那么不存
在套利机会的远期价格就不再是确定的值，而 是一个区间：
S 1Y er(T t) , S 1 Y er(T t)
非完全市场情况下的期货定价
借贷存在利差的时候： 利率，如对果非用银行rb表的示机借构入和利个率人，，用一般是表r示l 借出 。这时远期和期货的价格区间为：
远期的定价
❖ 无收益资产远期合约的定价 ❖ 支付已知现金收益资产远期合约的定价 ❖ 支付已知收益率资产远期合约的定价
无收益资产远期合约的定价
❖ 无收益资产远期合约多头的价值
例：构建如下两种组合： 组合A：一份远期合约多头f 加上一笔数额为eKr(T t) 组合B：一单位标的资产S
的现金
根据无套利原则，这两种组合在t时刻的价值必须相 等
rb rl
Serl (T t) , Serb (T t)
非完全市场情况下的期货定价
存在卖空限制的时候： 假设保证金比例为X，那么均衡的远期
和期货价格区间应该是：
（ 1 X）Se（r T t) , Ser(T t)
如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该是：
完（全1市场可X以）看成S是1Y erlT ,的S特1殊情况Y。 erbT
X 0,Y 0, rl rb r
远期和期货的价格关系
❖ 罗斯等证明：当无风险利率恒定，且对所有到期 日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格 应相等
❖ 当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就 不相等
❖ 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有 效期的长短。
风险收益模型
● F E(ST )
现货－远期平价公式
❖ 远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交 割价格（K）
❖即当f=0时，K=F ， F=(S－I) er(T t)
❖证明 （反证法）
现货－远期平价公式
❖ 例：假设黄金的现价为每盎司450美元，其存储成本为 每年每盎司2美元，在年底支付，无风险年利率为7% 。则一年期黄金远期价格为：
❖ 例如，市场预期某一不易保存的商品3个月后的现货 市场价格为$10，而当前市场上3个月后到期的该商 品的期货价格为$12。假设市场预期是准确的，则投 机者可以通过卖出该期货合约，等合约到期时再从现 货市场上买入该商品进行实物交割，从而获得$2的投 机利润。反之，如果当前市场上该商品期货合约的价 格为$8，则投机者可以通过买入该期货合约，待合约 到期时接受实物交割，再拿到现货市场上去卖，从而 获得$2的投机利润。
❖ 如果市场上该合约的交割价格为30.10元，则套利者可 以卖出股票并将所得收入以无风险利率进行投资，期末 可以获得30.30－30.10＝0.20元。反之，如果市场上 的远期合约的交割价格大于30.30元，套利者可以借钱 买入股票并卖出远期合约，期末也可以获得无风险的利 润。
支付已知现金收益资产远期合约的定价
f+ eKr(T t)
=S
f=Se－ r (TKt )
无收益资产远期合约的定价
❖
现货－远期平价定理
❖ 例如：考虑一个股票远期合约，标的股票不支付红利。 合约的期限是3个月，假设标的股票现在的价格是30元 ，连续复利的无风险年利率为4%。那么这份远期合约的 合理交割价格应该为：
F 30e0.040.25 30.30
F=(450－I)e0.071
其中，I=－2e0.071 =－1.865，故：
F=(450+1.865)e0.071 =484.6美元/盎司
支付已知收益率资产远期合约的定价
构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头
加上一笔数额为Ker(T t) 的现金
组合B：eq(Tt) 单位证券并且所有收入都再投资于该证
❖ 支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法
例：构建如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头
加上一笔数额为 K
的现金；
期限为从组现合在B：到一现单金位收标益的派证发券日加、e上本r利(金T率t为) 为I 的无负风债险。利率、
er(T t)
f+ K
=S－I
e f=S－I－ K
r(T t)
支付已知现金收益资产远期合约的定价
❖证明 （反证法）
现货－远期平价公式
❖ 例：A股票现在的市场价格是25美元，年平均
红利率为4％，无风险利率为10％，若该股票
6个月的远期合约的交割价格为27美元，求该
远期合约的价值及远期价格:
远期合约多头的价值
远期价
格
f Seq(T t) Ker(T t) 25e0.040.5 27e0.10.5 1.18美元
符号
❖
概念
❖ 远期价格：使得远期合约价值为零的交割价格
❖ 远期价值是指远期合约本身的价值 关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形 － 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的 预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选பைடு நூலகம்的交割价格应使远 期价值在签署合约时等于零。 － 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期 价值将随着标的资产价格的变化而变化。
f Ke r(T t) Se q(T t)
f Se q(T t ) Ke r (T t )
支付已知收益率资产远期合约的定价
现货－远期平价公式
❖ 远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割 价格（K）
❖即当f=0时，K=F ， F Se(rq)(T t)
F Se(rq)(T t ) 25e0.060.5 25.67美元
远期和期货的定价模型
❖ 持有成本模型 ❖ 风险收益模型
持有成本模型
❖ 完全市场假设下的期货定价 投资性资产期货合约的定价 消费性资产期货合约的定价
❖ 非完全市场情况下的期货定价 存在交易成本的时候 借贷存在利差的时候 存在卖空限制的时候
金融工程概论
史英哲 中央财经大学金融学院
第四讲 远期与期货的定价原理
远期价格和期货价格的关系 远期的定价 远期和期货的定价模型
基本假设
❖ 没有交易费用和税收 ❖ 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 ❖ 远期合约没有违约风险 ❖ 允许现货卖空行为 ❖ 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动 ❖ 期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率
完全市场假设下的期货定价
投资性资产期货合约的定价
F Ser(T t)
❖ 持有成本＝保存成本＋利息成本 －标的资产在合约期限内提供的收益
❖ 如果我们用C表示持有成本，那么，投资性资产的期货价 格就为：
f Se(cr )(T t ) Ker (T t)
F Sec(T t)
完全市场假设下的期货定价
❖
F Sec(T t)
F Se(cz)(T t)
非完全市场情况下的期货定价
存在交易成本的时候： 假定每一笔交易的费率为Y，那么不存
在套利机会的远期价格就不再是确定的值，而 是一个区间：
S 1Y er(T t) , S 1 Y er(T t)
非完全市场情况下的期货定价
借贷存在利差的时候： 利率，如对果非用银行rb表的示机借构入和利个率人，，用一般是表r示l 借出 。这时远期和期货的价格区间为：
远期的定价
❖ 无收益资产远期合约的定价 ❖ 支付已知现金收益资产远期合约的定价 ❖ 支付已知收益率资产远期合约的定价
无收益资产远期合约的定价
❖ 无收益资产远期合约多头的价值
例：构建如下两种组合： 组合A：一份远期合约多头f 加上一笔数额为eKr(T t) 组合B：一单位标的资产S
的现金
根据无套利原则，这两种组合在t时刻的价值必须相 等
rb rl
Serl (T t) , Serb (T t)
非完全市场情况下的期货定价
存在卖空限制的时候： 假设保证金比例为X，那么均衡的远期
和期货价格区间应该是：
（ 1 X）Se（r T t) , Ser(T t)
如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该是：
完（全1市场可X以）看成S是1Y erlT ,的S特1殊情况Y。 erbT
X 0,Y 0, rl rb r
远期和期货的价格关系
❖ 罗斯等证明：当无风险利率恒定，且对所有到期 日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格 应相等
❖ 当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就 不相等
❖ 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有 效期的长短。
风险收益模型
● F E(ST )
现货－远期平价公式
❖ 远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交 割价格（K）
❖即当f=0时，K=F ， F=(S－I) er(T t)
❖证明 （反证法）
现货－远期平价公式
❖ 例：假设黄金的现价为每盎司450美元，其存储成本为 每年每盎司2美元，在年底支付，无风险年利率为7% 。则一年期黄金远期价格为：
❖ 例如，市场预期某一不易保存的商品3个月后的现货 市场价格为$10，而当前市场上3个月后到期的该商 品的期货价格为$12。假设市场预期是准确的，则投 机者可以通过卖出该期货合约，等合约到期时再从现 货市场上买入该商品进行实物交割，从而获得$2的投 机利润。反之，如果当前市场上该商品期货合约的价 格为$8，则投机者可以通过买入该期货合约，待合约 到期时接受实物交割，再拿到现货市场上去卖，从而 获得$2的投机利润。
❖ 如果市场上该合约的交割价格为30.10元，则套利者可 以卖出股票并将所得收入以无风险利率进行投资，期末 可以获得30.30－30.10＝0.20元。反之，如果市场上 的远期合约的交割价格大于30.30元，套利者可以借钱 买入股票并卖出远期合约，期末也可以获得无风险的利 润。
支付已知现金收益资产远期合约的定价
f+ eKr(T t)
=S
f=Se－ r (TKt )
无收益资产远期合约的定价
❖
现货－远期平价定理
❖ 例如：考虑一个股票远期合约，标的股票不支付红利。 合约的期限是3个月，假设标的股票现在的价格是30元 ，连续复利的无风险年利率为4%。那么这份远期合约的 合理交割价格应该为：
F 30e0.040.25 30.30
F=(450－I)e0.071
其中，I=－2e0.071 =－1.865，故：
F=(450+1.865)e0.071 =484.6美元/盎司
支付已知收益率资产远期合约的定价
构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头
加上一笔数额为Ker(T t) 的现金
组合B：eq(Tt) 单位证券并且所有收入都再投资于该证
❖ 支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法
例：构建如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头
加上一笔数额为 K
的现金；
期限为从组现合在B：到一现单金位收标益的派证发券日加、e上本r利(金T率t为) 为I 的无负风债险。利率、
er(T t)
f+ K
=S－I
e f=S－I－ K
r(T t)
支付已知现金收益资产远期合约的定价
❖证明 （反证法）
现货－远期平价公式
❖ 例：A股票现在的市场价格是25美元，年平均
红利率为4％，无风险利率为10％，若该股票
6个月的远期合约的交割价格为27美元，求该
远期合约的价值及远期价格:
远期合约多头的价值
远期价
格
f Seq(T t) Ker(T t) 25e0.040.5 27e0.10.5 1.18美元
符号
❖
概念
❖ 远期价格：使得远期合约价值为零的交割价格
❖ 远期价值是指远期合约本身的价值 关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形 － 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的 预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选பைடு நூலகம்的交割价格应使远 期价值在签署合约时等于零。 － 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期 价值将随着标的资产价格的变化而变化。