证券投资的数学模型
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X4 0.000000 0.6363636E-03
X5 0.5000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.3282000 1.000000
QIANSHU 0.000000 0.2983636E-01
TOUZHI 4.100000 0.000000
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
问题分析这个优化问题的目标是使投资收益最大，要做的决策是投资计划，即分别投资A、B、C、D、E五种证券各多少。决策受到三个条件的限制：政府及代办机构的证券购买、平均信用等级、平均到期年限。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可以得到下面的模型。
RighthandSideRanges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
QIANSHU 10.00000 INFINITY 4.567901
TOUZHI 4.000000 3.363636 INFINITY
DENGJI 0.0 105.7143 20.00000
P130
1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.2983636 1.000000
QIANSHU 0.000000 0.2983636E-01
TOUZHI 3.363636 0.000000
DENGJI 0.000000 0.6181818E-03
NIANXIAN 0.000000 0.2363636E-02
即
平均信用等级所购证券的平均信用等级不超过1.4
即
化简为：6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
平均到期年限所购证券的平均到期年限不超过5年
即wk.baidu.com
化简为：4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
非负约束x1、x2、x3、x4、x5均不能为负值。
软件实现
model:
max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;
X2 0.2700000E-01 0.3018182E-01 INFINITY
X3 0.2500000E-01 0.1733333E-01 0.5600000E-03
X4 0.2200000E-01 0.6363636E-03 INFINITY
X5 0.4500000E-01 0.5200000E-01 0.1400000E-01
NIANXIAN 0.0 10.00000 12.00000
（1）最优解为x1=218.1818万元，x2=0，x3=736.3636万元，x4=0，x5=45.45455万元，最优值为29.83636万元。
（2）由（一）中的影子价格可知，若资金增加100万，收益可增加29.83636万元，而以利率为2.75%借100万的利息小于增加100万购买证券的利益，所以要借100万投资。将模型中的第一个约束条件改为11，得到的结果：
（二）
Ranges in which the basis is unchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 0.4300000E-01 0.3500000E-02 0.1300000E-01
Global optimal solution found at iteration: 4
Objective value: 0.3282000
Variable Value Reduced Cost
X1 2.400000 0.000000
X2 0.000000 0.3018182E-01
X3 8.100000 0.000000
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
表一证券信息
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
问：
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
需要注意的是：一般情况下LINGO给出的敏感性分析结果只是充要条件，只是此时无法通过敏感性分析直接得到结论，而需要重新求解新的模型进行判断。
评注本例在投资钱数、等级等参数均可设为常数的情况下，建立了线性规划模型。线性规划模型的三要素是：决策变量、目标函数和约束条件。线性规划模型可以方便地用LINGO软件求解，得到内容丰富的输出，而且利用其中的影子价格和敏感分析，可对模型结果进一步的研究，它们对实际问题常常是十分有益的。
[qianshu]x1+x2+x3+x4+x5<=10;
[touzhi]x2+x3+x4>=4;
[dengji]6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
[nianxian]4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
End
可得到的结果：（以百万为单位）
（一）
Global optimal solution found at iteration: 0
Objective value: 0.2983636
Variable Value Reduced Cost
X1 2.181818 0.000000
X2 0.000000 0.3018182E-01
X3 7.363636 0.000000
X4 0.000000 0.6363636E-03
X5 0.4545455 0.000000
DENGJI 0.000000 0.6181818E-03
NIANXIAN 0.000000 0.2363636E-02
则最优解为x1=240万，x2=0，x3=810万，x4=0，x5=50万，最优值为32.82万元，但借的100万交利息后，利益为30.07万元。
（3）由（二）的结果，目标函数的允许范围可知，A的税前收益可增加0.35%，故当A的税前收益增加为4.5%时，投资不应改变。同理，可知C的税前利益可减少0.112%，C的税前收益减少为4.8%时，投资应该变。
基本模型
决策变量：设分别用x1、x2、x3、x4、x5表示购买A、B、C、D、E五种证券的钱数。
目标函数：设获益为z元，则五种证券的收益分别为 、 、 、 、 ，则总收益可以表示为：
z= 。
约束条件：
总购买钱数经理共有1000万资金，即x1+x2+x3+x4+x5<=1000.
证券购进要求政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，
X5 0.5000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.3282000 1.000000
QIANSHU 0.000000 0.2983636E-01
TOUZHI 4.100000 0.000000
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
问题分析这个优化问题的目标是使投资收益最大，要做的决策是投资计划，即分别投资A、B、C、D、E五种证券各多少。决策受到三个条件的限制：政府及代办机构的证券购买、平均信用等级、平均到期年限。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可以得到下面的模型。
RighthandSideRanges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
QIANSHU 10.00000 INFINITY 4.567901
TOUZHI 4.000000 3.363636 INFINITY
DENGJI 0.0 105.7143 20.00000
P130
1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.2983636 1.000000
QIANSHU 0.000000 0.2983636E-01
TOUZHI 3.363636 0.000000
DENGJI 0.000000 0.6181818E-03
NIANXIAN 0.000000 0.2363636E-02
即
平均信用等级所购证券的平均信用等级不超过1.4
即
化简为：6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
平均到期年限所购证券的平均到期年限不超过5年
即wk.baidu.com
化简为：4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
非负约束x1、x2、x3、x4、x5均不能为负值。
软件实现
model:
max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;
X2 0.2700000E-01 0.3018182E-01 INFINITY
X3 0.2500000E-01 0.1733333E-01 0.5600000E-03
X4 0.2200000E-01 0.6363636E-03 INFINITY
X5 0.4500000E-01 0.5200000E-01 0.1400000E-01
NIANXIAN 0.0 10.00000 12.00000
（1）最优解为x1=218.1818万元，x2=0，x3=736.3636万元，x4=0，x5=45.45455万元，最优值为29.83636万元。
（2）由（一）中的影子价格可知，若资金增加100万，收益可增加29.83636万元，而以利率为2.75%借100万的利息小于增加100万购买证券的利益，所以要借100万投资。将模型中的第一个约束条件改为11，得到的结果：
（二）
Ranges in which the basis is unchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 0.4300000E-01 0.3500000E-02 0.1300000E-01
Global optimal solution found at iteration: 4
Objective value: 0.3282000
Variable Value Reduced Cost
X1 2.400000 0.000000
X2 0.000000 0.3018182E-01
X3 8.100000 0.000000
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
表一证券信息
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
问：
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
需要注意的是：一般情况下LINGO给出的敏感性分析结果只是充要条件，只是此时无法通过敏感性分析直接得到结论，而需要重新求解新的模型进行判断。
评注本例在投资钱数、等级等参数均可设为常数的情况下，建立了线性规划模型。线性规划模型的三要素是：决策变量、目标函数和约束条件。线性规划模型可以方便地用LINGO软件求解，得到内容丰富的输出，而且利用其中的影子价格和敏感分析，可对模型结果进一步的研究，它们对实际问题常常是十分有益的。
[qianshu]x1+x2+x3+x4+x5<=10;
[touzhi]x2+x3+x4>=4;
[dengji]6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
[nianxian]4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
End
可得到的结果：（以百万为单位）
（一）
Global optimal solution found at iteration: 0
Objective value: 0.2983636
Variable Value Reduced Cost
X1 2.181818 0.000000
X2 0.000000 0.3018182E-01
X3 7.363636 0.000000
X4 0.000000 0.6363636E-03
X5 0.4545455 0.000000
DENGJI 0.000000 0.6181818E-03
NIANXIAN 0.000000 0.2363636E-02
则最优解为x1=240万，x2=0，x3=810万，x4=0，x5=50万，最优值为32.82万元，但借的100万交利息后，利益为30.07万元。
（3）由（二）的结果，目标函数的允许范围可知，A的税前收益可增加0.35%，故当A的税前收益增加为4.5%时，投资不应改变。同理，可知C的税前利益可减少0.112%，C的税前收益减少为4.8%时，投资应该变。
基本模型
决策变量：设分别用x1、x2、x3、x4、x5表示购买A、B、C、D、E五种证券的钱数。
目标函数：设获益为z元，则五种证券的收益分别为 、 、 、 、 ，则总收益可以表示为：
z= 。
约束条件：
总购买钱数经理共有1000万资金，即x1+x2+x3+x4+x5<=1000.
证券购进要求政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，