向量求空间距离距离ppt
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3.2立体几何中的向量方法(四)
-----利用向量解决空间的距离问题
-
向量法求空间距离的求解方法
1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的 距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行 平面的距离、异面直线间的距离.其中直线到平面的 距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离. 2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则
即 a23x22 (3x2co s) x
1 a
36cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.
-
思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?
分析：面面距离转化为点面距离来求
D1
C1
解： 过 A 1 点 A 1 H 作 平 A面 于 C H .点 A1
则A1H为所求相对两个的 面距 之离 . 间
Q 由 u A u C u u r 1 u A u B u r u A u D u r u A u A u u r 1 u A u C u u r 1 2 u A u B u r 2 u A u D u r 2 u A u A u u r 1 2 2 ( u A u B u r u A u D u r u A u B u r u A u A u u r 1 u A u D u r u A u A u u r 1 )
sinA1AC
6 3
A 1HA1A si nA 1A C36∴ 所求的距离是
6. 3
如何用向量法求点到平面的距离?
-
例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱
长为1，E为D1C1的中点，求下列z 问题：
解(1:ruA)u1uE求r=(B-11,到12,0面),uAAu1uB1rB=(E0,的1,-距1)离；
-
思考：(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以 D1
C1
某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于, 那么 A1
B1
有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
D
C
(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离
A
B
是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平
Байду номын сангаас
面的距离或两点间的距离）
思其 考中 (1 )分A B 析C : u B u D u A u r 1 B B u B 1 u A u r 1 2 u B 0 u C u r ， u B u B B u 1 u r 1 B C 6 0 易知对角线 BD1 的长与棱长的关系.
思考(2)分析: 设 A 1 a ， A C A B A 1 D x ， A B B A 1 D A D 1 A A
D
由 A H 1 A 在 A C 上 A B 1 .A B D 且 A A A B D A D 1A A H
B1 C B
u A u C u r 2 ( u A u B u r u B u C u r ) 2 1 1 2 c o s 6 0 3 A C 3
u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r
A A 1 A C A A 1 ( A B u u B u u r C u ) u u rA A 1 A B A A 1 B C c o s 6 0 c o s 6 0 1 .
co s A 1A C |u A u A A u u A r 11 ||A u A C u C u r|1 3
A B A D A A 1 2 ( A B A D A B A A 1 A D A A 1 )
1 1 1 2 ( c o s 6 0 c o s 6 0 c o s 6 0 ) 6
uuuur
所以| AC1| 6
回到图形问题
这个晶体的对角线
A
C
的长是棱长的
1
6 倍。
角线的长与棱长有什么关系？
D1
解: 如B图AD1,不 妨B A 设A 1 A B D A A A A 11 6 A 0 D 1，A1
C1 B1
依u u u 据u r向u u 量u r的u u 加u r法u u 法u u r 则，化为向量问题 D
C
A u A u C C u u r 1 12 A (u A u B u u B u u r r 2 A u A u u D D u u r u r 2 u A A u A u u A u r 1 u 1 u )u 2 r 2 进行u 向u u r 量u 运u u r 算 u u Au r u u u u r 图u 1u u r u u u u r B
D1
设n
r
则
n r
n
( xuuAAuu,11uuEByrr,z)00为,, 面 yAx1BzE12的y0 法 , 0向, 即量r ，zy 22 xx
A
, ,
1
D
x 取 x ＝ 1 ， 得 平 面 A 1 B E 的 一 个 法 u 向 u u u 量 r n ( 1 , 2 , 2 A )
u u u r A B ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2 ( z 1 z 2 ) 2
-
3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点，
点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过
点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的
角为，则点P到平面的距离
u u ur
d |PO |
nP
u u ur | P A | s in
O A
r u u ur
u u ur |PA
| | nr
•
uP uAur
|
| n || P A |
r u u ur
| n • u uPr A |
-
|n |
4.异面直线的距离:
①作直线a、b的方向向量a、
b，求a、b的法向量n，即此 异面直线a、b的公垂线的方
A a M
向向量；
②在直线a、b上各取一点
n
A、B，作向量AB；
③求向量AB在n上的射影
N Bb
d，则异面直线a、b间的距
uuur r
离为 uuur
uuurr ABn
dABcosAB,n r
-
n
典 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，
例
以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的 夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对
-----利用向量解决空间的距离问题
-
向量法求空间距离的求解方法
1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的 距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行 平面的距离、异面直线间的距离.其中直线到平面的 距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离. 2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则
即 a23x22 (3x2co s) x
1 a
36cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.
-
思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?
分析：面面距离转化为点面距离来求
D1
C1
解： 过 A 1 点 A 1 H 作 平 A面 于 C H .点 A1
则A1H为所求相对两个的 面距 之离 . 间
Q 由 u A u C u u r 1 u A u B u r u A u D u r u A u A u u r 1 u A u C u u r 1 2 u A u B u r 2 u A u D u r 2 u A u A u u r 1 2 2 ( u A u B u r u A u D u r u A u B u r u A u A u u r 1 u A u D u r u A u A u u r 1 )
sinA1AC
6 3
A 1HA1A si nA 1A C36∴ 所求的距离是
6. 3
如何用向量法求点到平面的距离?
-
例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱
长为1，E为D1C1的中点，求下列z 问题：
解(1:ruA)u1uE求r=(B-11,到12,0面),uAAu1uB1rB=(E0,的1,-距1)离；
-
思考：(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以 D1
C1
某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于, 那么 A1
B1
有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
D
C
(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离
A
B
是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平
Байду номын сангаас
面的距离或两点间的距离）
思其 考中 (1 )分A B 析C : u B u D u A u r 1 B B u B 1 u A u r 1 2 u B 0 u C u r ， u B u B B u 1 u r 1 B C 6 0 易知对角线 BD1 的长与棱长的关系.
思考(2)分析: 设 A 1 a ， A C A B A 1 D x ， A B B A 1 D A D 1 A A
D
由 A H 1 A 在 A C 上 A B 1 .A B D 且 A A A B D A D 1A A H
B1 C B
u A u C u r 2 ( u A u B u r u B u C u r ) 2 1 1 2 c o s 6 0 3 A C 3
u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r
A A 1 A C A A 1 ( A B u u B u u r C u ) u u rA A 1 A B A A 1 B C c o s 6 0 c o s 6 0 1 .
co s A 1A C |u A u A A u u A r 11 ||A u A C u C u r|1 3
A B A D A A 1 2 ( A B A D A B A A 1 A D A A 1 )
1 1 1 2 ( c o s 6 0 c o s 6 0 c o s 6 0 ) 6
uuuur
所以| AC1| 6
回到图形问题
这个晶体的对角线
A
C
的长是棱长的
1
6 倍。
角线的长与棱长有什么关系？
D1
解: 如B图AD1,不 妨B A 设A 1 A B D A A A A 11 6 A 0 D 1，A1
C1 B1
依u u u 据u r向u u 量u r的u u 加u r法u u 法u u r 则，化为向量问题 D
C
A u A u C C u u r 1 12 A (u A u B u u B u u r r 2 A u A u u D D u u r u r 2 u A A u A u u A u r 1 u 1 u )u 2 r 2 进行u 向u u r 量u 运u u r 算 u u Au r u u u u r 图u 1u u r u u u u r B
D1
设n
r
则
n r
n
( xuuAAuu,11uuEByrr,z)00为,, 面 yAx1BzE12的y0 法 , 0向, 即量r ，zy 22 xx
A
, ,
1
D
x 取 x ＝ 1 ， 得 平 面 A 1 B E 的 一 个 法 u 向 u u u 量 r n ( 1 , 2 , 2 A )
u u u r A B ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2 ( z 1 z 2 ) 2
-
3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点，
点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过
点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的
角为，则点P到平面的距离
u u ur
d |PO |
nP
u u ur | P A | s in
O A
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u u ur |PA
| | nr
•
uP uAur
|
| n || P A |
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| n • u uPr A |
-
|n |
4.异面直线的距离:
①作直线a、b的方向向量a、
b，求a、b的法向量n，即此 异面直线a、b的公垂线的方
A a M
向向量；
②在直线a、b上各取一点
n
A、B，作向量AB；
③求向量AB在n上的射影
N Bb
d，则异面直线a、b间的距
uuur r
离为 uuur
uuurr ABn
dABcosAB,n r
-
n
典 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，
例
以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的 夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对